等离子体课件—第2章 缓变要求，参数变化时间远大于回旋运动周期

[PPT] 等离子体课件—第2章
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电、磁同时存在时带电粒子运动方程. 平行方向为简单的加速运动 .... 费米加速. v||. z. 2.6.3 磁通不变量. 对地球磁场来说，磁通不变几乎没有应用的价值，漂移运动周期 ...
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第二章 单粒子轨道理论
2.1 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动
2.1.1 回旋运动
2.1.2 电漂移
2.1.3 重力漂移
2.2 带电粒子在非均匀恒定磁场中的运动
2.2.1 导向中心近似
2.2.2 梯度漂移
2.2.3 曲率漂移
2.3 带电粒子在非均匀恒定电场中的运动
2.4 带电粒子在缓变均匀电场中运动
2.5 漂移运动小结
2.6 绝热不变量
2.6.1 磁矩不变量
2.6.2 纵向不变量
2.6.3 磁通不变量
第二章 单粒子轨道理论


从电磁场中单个带电粒子的运动
—大致了解等离子体微观运动基本图像

适用于低密度等离子体



完全由单粒子描述的体系不是等离子体


单个带电粒子的运动代表等离子体运动？


忽略带电粒子本身对电磁场的贡献（自洽场）


忽略带电粒子之间的相互作用（近碰撞）
2.1 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动


2.1.1 回旋运动


磁场中垂直运动为回旋运动，一般运动为螺旋运动



回旋频率


电子回旋频率：


重新选择 原点


正电粒子左手螺旋，负电右手螺旋


等离子体物理中， “回旋”＝“拉莫（Larmor）”
沿磁力线方向的匀速直线运动
环绕磁力线的匀速圆周运动
—x, y方向的速度




回旋运动基本特征


动能守恒


粒子回旋运动线度：拉莫半径


电子和质子，速度相同、动能相同时

拉莫半径各相差多少倍？（大声回答）


引导中心概念

（导向中心）

回旋运动磁矩


回旋运动的时间、空间尺度： 、



回旋运动是逆磁的，与电荷正负无关 等离子体是逆磁介质


等离子体是非线性逆磁介质，磁化强度为：


回旋运动基本特征（续）

2.1.2 电漂移


电、磁同时存在时带电粒子运动方程


平行方向为简单的加速运动
垂直方向为：回旋运动加回旋运动中心的平动 （摆线）


平行方向简单的加速运动


垂直方向作伽利略变换


回旋运动


或：

电漂移图像


在电场作用下的电漂移速度


电漂移速度与粒子种类无关 等离子体整体漂移
电漂移运动垂直于磁场


磁场能够约束带电粒子吗？


电漂移运动垂直于电场，平均而言电场对粒子不作功


回旋运动中，运动方向与电场力方向相同受加速，运动曲率半径增加，反之则减小，一个周期后粒子的运动轨迹不闭合，形成漂移运动
2.1.3 重力漂移


在非电场力（如重力）作用下的漂移速度


重力漂移速度与粒子种类相关，正负离子漂移方向相反，有电荷分离的趋势


有产生电场、电流可能性


重力漂移


重力本身对等离子体的影响总可以忽略，重力漂移是指非电力产生的漂移


在漂移运动中，电场力、非电场力的表现与常识相反：



电漂移与电荷性质无关，非电场力漂移反而有关


一般力漂移
2.2 带电粒子在非均匀恒定磁场中的运动


回旋运动通常是磁场中粒子的基本运动，通常我们可以将回旋运动与其它运动分离开：


一般运动 回旋运动 导向中心的运动


外场变化时，回旋运动受影响，若在回旋运动的时间空间尺度中，外场相对变化小，则回旋运动近似是完整的，粒子的运动可以近似用导向中心代表，将场的变化对回旋运动的影响归结为对导向中心运动的修正


导向中心近似：对回旋运动平均


2.2.1 导向中心近似


导向中心近似：不考虑时空尺度较小的回旋运动，用导向中心代表粒子

导向中心近似时弱变化场


弱不均匀（磁）场表述为：


粒子回旋运动的轨道内，磁场的相对变化值为小量


缓变（磁）场表述为：


或记为：


：回旋运动位矢


或记为：


粒子回旋运动的周期内，磁场的相对变化值为小量
弱不均匀磁场等效外力


在导向中心处将磁场展开：


回旋轨道平均（导向中心近似）：


粒子运动方程：


粒子运动速度：


回旋运动


等效外力

平行于磁场的等效力


等效力的平行分量为：


采用以导向中心为原点的局域直角坐标系：


♨

垂直于磁场的等效力


等效力的垂直分量为：


♨


非均匀磁场的等效力为：
2.2.2 梯度漂移


梯度漂移，正负离子漂移方向相反，有使电荷分离的趋势
梯度是不可避免的


有产生电场、电流可能性


梯度漂移


梯度漂移图像：由于回旋半径变化，导致一个周期后粒子的运动轨迹不闭合，形成漂移运动


磁场梯度等效力同样会引起漂移
相当于在对牛顿方程进行回旋轨道平均：导向中心近似
2.2.3 曲率漂移


若磁力线是弯曲，粒子又具有平行速度，则粒子将感受到惯性离心力：


♨


1、不考虑磁镜效应：

2、磁场稳定局域无电流：


磁力线弯曲，磁场必然不均匀，曲率漂移必伴随梯度漂移


曲率漂移


横越磁场、电荷分离，对磁约束效果新的考验！

2.3 带电粒子在非均匀恒定电场中的运动
非均匀电场中的等效力


在导向中心处将电场展开：


等效力：


粒子运动方程：


粒子运动速度：
一般电场漂移


考虑电场的不均匀性，电场对带电粒子等效作用力为：


一般情况下电场漂移速度：


非均匀电场中，电漂移与粒子种类相关
有限拉莫半径效应：拉莫半径越大，非均匀性越起作用
漂移不稳定性：电漂移引起电荷分离，改变电场。若增强了原电场，则是一种不稳定的机制
惯性力


2.4 带电粒子在缓变均匀电场中运动
缓变电场的等效力


缓变电场，运动方程：


用电漂移速度作变换，参考系为非惯性系，出现惯性力：


漂移速度：
极化漂移


极化漂移：


漂移与种类相关，与电场平行，与介质极化图像一致，极化电流：


极化漂移也称为起动漂移


等离子体作为电介质，极化强度和（低频）介电常数：


在电场作用下加速至磁场起作用

2.5 漂移运动小结


电漂移：


重力漂移：


非均匀磁场时 梯度和曲率漂移：


缓变电场时 极化漂移：


非均匀电场时 电漂移：


回旋运动引导中心近似
举例-简单圆环磁场中的漂移


磁场不均匀


E


梯度漂移


电荷分离


电场


电漂移


等离子体外溢


Tokamak

（托卡马克）

环状大电流

箍缩等离子体，用于热核聚变

2.6 绝热不变量


常数


系统参数缓慢变化时，运动不再是严格的周期运动，但作用量积分并不改变，作用量积分为绝热不变量。


定理：系统周期运动的作用量积分为运动常数：


常数


常数


绝热


相空间周期运动轨迹为闭合路径，作用量积分为面积
闭合曲线为等能量线
绝热过程能量不变，等能量线内包含系综数不变
刘维定理：系综数密度不变
2.6.1 磁矩不变量


若荷质比不变，回旋运动的绝热不变量即为磁矩不变


回旋运动为周期运动，其作用量积分：


缓变要求，参数变化时间远大于回旋运动周期
－ 粒子参考系中磁场变化相对回旋运动较慢（弱不均匀磁场，或缓变磁场中）



缓变条件破坏，可以改变磁矩
－ 回旋加热（磁场变化与回旋运动同样快）

－ 会切位形中（磁场为零，回旋运动缓慢）


磁镜效应


磁镜场


能量不变：粒子垂直能量与平行能量交换
磁镜效应：带电粒子由由弱场向强场区运动，平行速度减小，最终被反射
损失锥：磁镜场可以约束粒子，但平行速度较大的粒子不能约束，速度空间有一个锥状空间无粒子
2.6.2 纵向不变量


应用：地球磁场捕获粒子，由于漂移将环绕地球漂移，漂移一周后能返回同一磁力线。若地球磁场稍有变化（太阳风），则仍能保证回同一磁力线。


磁镜场中的捕获粒子，将在两转折点之间反弹，反弹运动为周期运动，其作用量称纵向不变量：


磁矩不变量 转折点处磁场相等


纵向不变量 转折点之间长度相等

费米加速


v||


z

2.6.3 磁通不变量


对地球磁场来说，磁通不变几乎没有应用的价值，漂移运动周期太长，地球环境不满足缓变条件。


地球磁场中捕获粒子的漂移运动也是为周期运动，与之相对应的是不变量是漂移运动轨迹所包围的磁通量。


常数

第2章作业


求解带电粒子运动方程，导出带电粒子及其引导中心在均匀恒定磁场B中的轨迹表达式。
根据带电粒子在电磁场中的运动方程，用MathCAD编程，从数值计算的角度求出电子在正交场中运动的回旋频率，并画出轨迹图（三个回旋周期以上）。
条件：电场强度E沿x方向，大小为1.0×107V/m；磁感应强度B沿z方向，大小为1T；电子初始位置为(0, 0, 0)，初速度沿x正方向，大小为1×108m/s。提示见后一页。

要求：答卷直接用MathCAD编辑，提交电子文档。

第二题提示


中心差分格式：


(3)式的显式“半加速－

旋转－半加速”算法：


粒子运动方程：


n为时间步长数，Δt为时间步长


(6)式相当于v-旋转θ到v+