数学物理方程的定解问题实质上都反映场与产生这个场的 源之间的关系.例如,波动方程反映时变电磁场与电荷电 流分布之间的关系,热传导

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下载文档搜藏数学物理方法复习第1节(泊松方程的格林函数法) 数学物理方法复习 数学物理方法复习

数学物理方程的定解问题实质上都反映场与产生这个场的 源之间的关系.例如,波动方程反映时变电磁场与电荷电 流分布之间的关系,热传导方程反映温度场与热源之间的 关系,泊松方程反映静电场与电荷分布的关系,等等.由 于这些 场源都可以看作点源的叠加,因此当知道一个点 源的场,就可以利用叠加原理求出在同样边界条件下的任 意源的场.这种处理方法的根据是,上述方程都是线性偏 微分方程,它们的解遵守叠加原理.这种求解数学物理方 程的方法称为格林函数法,在一定边界条件下点源的场称 为格林函数. 1 第十二章 格林函数 解的积分公式 格林函数,又称点源影响函数 是数学物理中的重要概念 格林函数 又称点源影响函数,是数学物理中的重要概念 代表 又称点源影响函数 是数学物理中的重要概念,代表 一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场,而知道了 一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场 而知道了 点源的场,可以用叠加的方法计算任意源产生的场 点源的场 可以用叠加的方法计算任意源产生的场. 可以用叠加的方法计算任意源产生的场 第一节 泊松方程的格林函数法我们首先来介绍格林公式 我们首先来介绍格林公式. 格林公式 在区域T及其边界 上具有连续一阶导数,而在 而在T 设u(r)和v(r)在区域 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数 而在 和 在区域 中具有连续二阶导数,应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 中具有连续二阶导数 应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ∑ ∫∫ uv dS 化为体积积分 2 ∑ ∫∫ uv dS = ∫∫∫ (uv)dV T = ∫∫∫ uvdV + ∫∫∫ u vdV T T 第一格林公式 同理 ∑ ∫∫ vu dS = ∫∫∫ vudV + ∫∫∫ u vdV T T 两式相减可得 ∑ 即 ∫∫ (uv vu) dS = ∫∫∫ (uv vu)dV T v u ∫∫ (u n v n ) dS = ∫∫∫ (uv vu )dV T ∑ 其中 表示沿边界 ∑ 的外法向求导数 n 第二格林公式 3 讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题,泊松方程 讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题 泊松方程 u = f (r ), (r ∈ T ) 而第一,第二 第三类边界条件可以统一表示为 而第一 第二,第三类边界条件可以统一表示为 第二 u α n + βu = (M ) ∑ 其中 (M ) 是区域边界 ∑ 上的给定函数 α = 0, β ≠ 0 为第一 上的给定函数, 类边界条件 α ≠ 0, β = 0 为第二类边界条件 α ≠ 0, β ≠ 0 为第三 为第二类边界条件, 类边界条件. 其中,泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题 类边界条件 其中 泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题 第一边值问题或狄利希利问题,与第二类边界条件构成的定解 叫第一边值问题或狄利希利问题 与第二类边界条件构成的定解 问题叫第二边值问题或诺依曼问题 第二边值问题或诺依曼问题,与第三类边界条件构成的定 问题叫第二边值问题或诺依曼问题 与第三类边界条件构成的定 解问题叫第三边值问题 第三边值问题. 解问题叫第三边值问题 4 为研究点源产生的场,需要找一个能表示点源密度分布的函数 为研究点源产生的场 需要找一个能表示点源密度分布的函数, 需要找一个能表示点源密度分布的函数 脉冲函数正好描述一个单位正点量的密度分布函数,以 脉冲函数正好描述一个单位正点量的密度分布函数 以v(r,r0)表示 表示 位于r 点的单位强度的正点源在r产生的场 产生的场,即 满足方程: 位于 0点的单位强度的正点源在 产生的场 即v(r,r0)满足方程 满足方程 v(r , r0 ) = δ (r r0 ) 上式乘u(r),然后相减在 中求积分 然后相减在T中求积分 上式乘 然后相减在 u = f (r ), (r ∈ T ) 乘v(r,r0),上式乘 ∫∫ (vu uv) dV = ∫∫∫ vfdV ∫∫∫ uδ (r r )dV 0 T T T (*) 的奇异性,不能用 先从区域T中挖去包含 的小块,(半径 不能用,先从区域 中挖去包含r 具有 δ 的奇异性 不能用 先从区域 中挖去包含 o的小块 半径 为 ε 的小球 K ε , 可以应用了. 可以应用了 5 应用格林公式将左边的体积分化为面积分,但在点 应用格林公式将左边的体积分化为面积分 但在点r=r0, 但在点 v 对于剩下的体积,格林公式就 对于剩下的体积 K ε的边界为 ∑ ε ,对于剩下的体积 格林公式就 T Kε ∫∫ (vu uv) dV = z r0 Kε T ∑ε u v u v ∫∫ (v n u n )dS + ∫∫ (v n u n )dS ∑ ∑ε 代入挖去 故 δ (r ∑ y K ε 的公式 且 r ≠ r0 的公式(*),且 x r0 ) = 0 u v u v ∫∫ (v n u n )dS + ∫∫ (v n u n )dS = T∫∫∫ vfdV ∑ ∑ε Kε 当 r r0 下载本文档需要登录，并付出相应积分。如何获取积分?


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贡献者： xjl020701 中级魔法师 四级
文档关键词
物理学
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