而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统

3.2奇怪吸引子与分形

保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合称为吸引子。

3.2.1平庸吸引子

我们来考虑常微分方程解的极限集合，即相空间某一区域的点都取作初值时，这些轨道 时的极限行为。极限集合的一些平庸情况是熟知的：零维不动点、一维极限环和二维环面等。 如果t→∞时，系统趋向一个与时间无关的定常态，即相空间中的一个特定的点，这就是不动点。不动点是零维的吸引子。一维以上的系统原则上就可能具有不动点。 如果t→∞时，系统中剩下一个周期振动，这就是一维的吸引子──极限环。只有在二维以上的相空间中，才可能出现极限环。通常极限环是由不动点发展起来的。当某个不动点在参数变变化过程中由稳定而失稳，新的稳定状态往往是围绕着原有不动点的周期运动，这个过程称为霍普夫分岔(hopf)。 由不动点到极限环的霍普夫分岔可以形象的理解如下：一个稳定的不动点附近，代表系统运动状态的流线如图８(a)所示，从四面汇聚到不动点；不稳定的不动点是流线的源，所有的流线都向外散开，如图８(b)所示。假定控制参数的微小变化，使不动点由稳定而失稳，不动点附近的局部形势就要由图８(a)变到(b)，但一般说来，参数的这种微小的变化还不足以使整个流域内"河水倒流"，距不动点较远处的流线仍应是向中央汇聚的。近处向外，远处向内，两种流向统一的办法，就是在中间出现一条封闭曲线，成为内外两套流线的共同极限，如图８（c），这就是极限环。以后我们将知道，霍普夫分岔是通向混沌的一条重要途径，类似的还有一维极限环到二维环面的霍普夫分岔。 二维环面是三维及高维耗散系统经常出现的一种吸引子。其表现为相空间中相应维数的环面。二维环面上两个运动方向的频率呈有理比例关系时，才会有周期运动，如图９；若是无理数，那么其运动可用在一个环面上移动而自身永远不封闭的螺旋线来表示，这种运动叫做准周期运动，如图10 综上所述，非线性系统可能具有0,1,2...等各种维数的平庸吸引子。高维吸引子最可能有准周期运动，而不是周期振动。然而自吕勒(Ruelle)和塔根斯(Takens)的工作以来，人们越来越清楚地看到，一般说来准周期轨道成为吸引子的可能性不大，更可能出现的是所谓奇怪吸引子。

3.2.2奇怪吸引子

奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的另一个重要的特征。简单地说奇怪吸引子就是相空间（对连续的动力学系统，至少是三维；对离散的动力学系统，至少是二维）的一个有限的区域内，由无穷多个不稳定点集组成的一个集合体。奇怪吸引子有两个最重要的特征： （1） 对初始条件有敏感的依赖性。 在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数的形式互相分离。由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中"添满"有限的区域，形成奇怪吸引子。实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。正是这种整体趋向稳定而局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质： （2） 它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。 维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘以2，就得到另一个线段，长度为 =2个原线段长度。一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。一立方体 ，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为 ,两边取对数，得维数 。 一旦把上式的定义加以推广，我们就完成了一次概念上的飞跃，d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"Ｄ0" 表示。对于规整的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为： 上式定义的分维称为容量维Ｄ0，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。 可以证明，拓扑维d和分维Ｄ0满足如下关系： d≤Ｄ0 式中取等号是对普通规则几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。参见图11 考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维Ｄ0。当ε＝1/3，N=2；当ε＝1/9，N=4；...亦即当 时，N= 。于是可得康托集合的容量维为 由此可见康托集合满足关系d≤Ｄ0 在解决实际问题时，容量维往往不能非常准确的反映不规则度，因此，又有人提出了信息维和关联维等，有关它们的具体定义及运算方法，我们在此将不做细致讨论。 奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。