物理好图 平面波 只有采用不含时的形式， 经典波动方程和薛定谔方程之间才可能有联系

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上传 登录 注册 常见问题 22.101 2004 2 9/13/04 Ei*****erg, Fundamentals of Modern Physics (Wiley & Sons, New York, 1961). R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics (Holden Day, New York, 1980). _____________________________________________________________________ 在这一讲，我们将对原子核进行量子力学的描述。核的某些性质只能用量子力学才能进行恰当的描述，其中最容易想到的是核的能级以及能级之间的跃迁。其它的例子包括各种各样的核辐射；在这些例子中，我们有时将辐射当作波看待，有时又当作粒子来处理。 论述量子力学本身并不是本讲的目标。然而，为了正确理解核的有关概念以及辐射相互作用，我们没有理由回避使用量子力学。事实上，认真学习这门课的读者在决定是否学习量子力学这个问题上几乎别无选择。这是因为量子力学的概念和术语已经是核物理的一个不可分割的组成部分了，以至于量子力学的一些知识已成为全面掌握核物理所必须的了。整个这学期我们的原则是学习足够的量子力学来理解核物理的基本概念，并且让每个有兴趣的学生学得更深入。这意味着我们并不总是要推导所使用的基本表达式和方程，学生可以把这些方程作为假设来使用（正如通常情况一样，同学有权力去独立钻研背景材料）。 先回顾一下波的基本性质和波粒二象性的概念。在经典力学里，一维周期性扰动 ) , ( t x ξ 的方程是： 2 2 2 2 2 x c t ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ ξ （2.1） 这个方程有如下的通解： ) ( 0 ) , ( t kx i e t x ω ξ ξ − = (2.2) 其中 πν ω 2 = 是圆频率，ν 是频率，k 是波数，与波长λ 的关系为 πλ 2 = k 。如果(2.2)式要成为(2.1)式的一个解，则 和 k ω必须满足如下的关系 ck = ω (2.3) 因此我们得到的解是相速度等于c 的行波的形式，用 ph ν 代表这个速度。一般把频率和波数 1 之间的关系称为色散关系。我们将会看到，不同种类的粒子可以用由不同色散关系表征的波来表示。 解(2.2)叫做平面波。三维空间的平面波具有形式 ) exp( r k i ⋅ ，这种空间波的图象可以视为一系列垂直于波矢k 的平面；在给定平面上的任意空间点，波的相位是相同的。也就是说，这些平面是等相面。当加入时间变量 ) exp( t iω − 后， )] ( exp[ t r k i ω − ⋅ 就成为一个行波了，意思是说等相面沿着k 的方向以速度 k / ω 运动，该速度称为相速度。 波动方程(2.1)还有如下形式的解 t kx a t x ω ξ cos sin ) , ( 0 = (2.4) 这些是驻波解。可以通过节点的行为把驻波和行波区分开来，节点是指波函数为零的那些空间位置。对于驻波，那些零点的位置不随时间而改变，而对于行波，从(2.2)式可以看出，节点的 k t n x n / ) ( ω π + = ，很明显这些是在+x 方向以速度 k dt dx / / ω = 运动的点。下面我们将会看到，在行波解和驻波解之间做何选择，依赖于所要解决的物理问题的性质。例如，核的能级的计算属于束缚态问题，我们将考虑驻波解；而讨论散射问题（见中子-质子散射一讲）时，考虑行波解会更合适。 我们对波的性质的兴趣在于如下事实：原子核的量子力学描述是基于核的波动性的。德布罗意在1924 年首先假设，可以把一个动量为p、总的相对论能量为E 的粒子与由波长λ 和频率ν 表征的一群波（波包）通过如下的式子联系起来， p h / = λ （2.5） h E / = ν (2.6) 而且，粒子的运动由波包的传播来决定。上面的表述是波粒二象性的核心，波粒二象性概念将贯穿于核物理学习的全部过程中 [可参见Ei*****erg第六章] 。 区分一列波和一群波是很重要的。这种区别可以简单地从如下例子中看出，考虑由两列波长和频率有微小差别的波组成的波群，假设波包取如下形式 ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 t x t x t x Ψ + Ψ = Ψ (2.7) 其中 ) sin( ) , ( 1 t kx t x ω − = Ψ (2.8) 2 ] ) ( ) sin[( ) , ( 2 t d x dk k t x ω ω + − + = Ψ (2.9) 使用等式 ] 2 / ) sin[( ] 2 / ) cos[( 2 sin sin B A B A B A + − = + (2.10) 可以把 写成 ) , ( t x Ψ } 2 / )] 2 ( 2 / ) 2 sin{[( ] 2 / ) cos[( 2 ) , ( t d x dk k t d dkx t x ω ω ω + − + − = Ψ ) sin( ] 2 / ) cos[( 2 t kx t d dkx ω ω − − ≈ （2.11） 在这个近似中， 和 k dk / ω ω/ d 的高次项已经被舍弃了。方程(2.11)显示，波包在空间以周期 k / 2π 振荡，而它的幅度以周期 dk / 2π 振荡（见图1）。 1 两列频率和波数稍有差别的波的合成的空间变化，显示波包以明显不同于传播（相）速度w 的速度g 在运动。 注意幅度的振荡具有自己的传播速度 dk d / ω 。该速度实际上是粒子的运动速度。因此我们把 dk d g / ω = (2.12) 称为群速度。注意不要把这个速度与波包的传播速度混淆起来，后者可以从下式计算得到 2 0 ) / ( 1 / p c m c p E w + = = =νλ (2.13) 其中m 0 是粒子的静止质量，c为光速。这样我们看到波包以大于c的速度运动，而与波包相关的粒子速度必须小于c。这里并没有矛盾，因为前者是相速度而后者是群速度。 3 本课程将涉及三类粒子的波动表示。第一类是核子或原子核，在我们课程中，它们将被看作非相对论的粒子；第二类是电子与正电子，由于它们的能量可能与它们的静止能量相近，甚至比静止能量还大，因而它们被看作相对论粒子；最后一类是光子，因为它们的静止质量为零，因而是完全相对论性的。对于一个质量为 、以动量为 p 运动的非相对论粒子，其波矢 m k 满足 k p = 。它的动能是 。波矢 m k m p 2 / 2 / 2 2 2 = k （或者其大小波数 ）在讨论粒子散射问题时是一个有用的变量，因为对于一束这样的粒子，最重要的是动能，而且动量和能量可以由确定的 来表示。与电磁波相应的粒子是光子，它具有的动量 k k p 也可以由 k 给出，但是它的能量是 p ck E = = 。对比这两种情况可以看出对于非相对论粒子，色散关系是 ，而对于光子则是 m k 2 / 2 = ω ck = ω 。根据(2.12) 式，群速度分别是和 。在直观上这是与我们的粒子速度观念相一致的。 m p m k v g / / = = c v g = 薛定谔方程是决定与粒子相联系的德布罗意波的基本方程。这种波以后就称为波函数，它将表示成一个依赖于时空的量 ) , ( t r Ψ 。正如我们不能推导牛顿运动方程 a m F = 一样，同样也不能推导薛定谔方程。这个方程是一个假设，我们只能接受它。当然可以给出一系列理由，说明该方程为什么成立 [进一步的了解参见Ei*****erg书第七章]。我们写出一个在势场中粒子的含时薛定谔方程， ) (r V ) , ( ) ( 2 ) , ( 2 2 t r r V m t t r i Ψ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∇ − = ∂ Ψ ∂ (2.14) 注意在括号里的量是系统的哈密顿量H 。它的物理意义是总能量，由动能 和势能两部分组成。拉普拉斯算符 的出现是意料之中的，因为粒子动量 m p 2 / 2 ) (r V 2 ∇ p 在位形空间是一个算符，可以表示成 ∇ − = i p 。同样的理由，H 是具有如下形式的一个算符 ) ( 2 2 2 r V m H + ∇ − = (2.15) 因而薛定谔方程的另一种形式是 4 ) , ( ) , ( t r H t t r i Ψ = ∂ Ψ ∂ (2.16) 作为一个注记，请注意(2.14)式只对非相对论粒子才是有效的，而(2.16)式在 H 没有指定具体形式时更具一般性。这意味着H 可以使用相对论的表达式，那么由(2.16)式可得到狄拉克方程，当粒子是电子时就要用到该方程。比较经典波动方程（2.1）和含时薛定谔波动方程(2.14)或(2.16)，可以看出前者把波函数的空间二阶导数与时间二次导数相联系，而后者把波函数的空间导数与时间的一阶导数联系了起来。这是一个重要的区别，在本课程中不去深入讨论。区别之中还有这样的事实：经典波的波函数是实数，因而是可以测量的（如弹性的弦与电磁波），而薛定谔方程中的波函数是复数（因而不能测量）。要得到波函数的物理意义，有必要考虑形如 ) , ( ) , ( * t r t r Ψ Ψ 所定义的概率密度，这里 ) , ( * t r Ψ 是波函数的复共轭。 几乎对于我们所有要讨论的问题，都会用到不含时薛定谔方程（又称为定态薛定谔方程）。不含时薛定谔方程可以通过考虑（2.16）式的一个如下的周期形式的解而得到 / ) ( ) , ( iEt e r t r ψ = Ψ （2.17） 这里E 是一个常数（很快就会被确定为总能量）。将这个解代入(2.16)式就得到不含时的（定态）薛定谔方程， ) ( ) ( r E r H ψ ψ = （2.18） 可以看出(2.18)式具有本征值问题的形式，其中H 是算符，E 是本征值，而 ) (r ψ 是本征函数。 当经典波动方程结合了德布罗意波的概念后，认识到薛定谔方程和经典波动方程之间的某种相似性是有指导意义的。为此，首先写出 (2.1) 式的一般的三维表达式如下 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 t r v t t r ph ξ ξ ∇ = ∂ ∂ (2.19) 再用 (2.13) 式， ) ( 2 V E m E p E v ph − = = (2.20) 5 对于周期解， / ) ( ) , ( iEt e r t r ς ξ = ，立刻就会得到(2.19)式。注意，只有采用不含时的形式，经典波动方程和薛定谔方程之间才可能有联系。正如上面提到的那样，这两个方程的含时形式有重要的区别，由此造成经典波函数和薛定谔波函数的性质不同。 接着前面关于不同类型波动解的陈述，读者可能会问哪一种解是我们感兴趣的。为了回答这个问题，作为一个示例，考虑（2.18）式的一维形式。把这个方程写出来，即 ) ( ) ( 2 2 2 x k dx x d ψ ψ − = (2.21) 这里 。一般情况下，因为势能V(x)含x，所以 是x 的函数。不过，对于分段为常数的势函数，如方势阱和方势垒，可以在V(x)是常数的每个区间写出单独的方程，这样(2.21)式中的 就可以看作一个常数。(2.21)式的通解就是 2 2 / )] ( [ 2 x V E m k − = 2 k 2 k ikx ikx Be Ae x − + = ) ( ψ (2.22) 这里A与B是待定常数，可根据具体的边界条件确定。假设我们处理的是有限范围的势，即当 ∞ → x 时 ，那么k就变为 。对于E 0 ) ( → x V 2 / 1 2 ) / 2 ( mE > 0，k是实的，由(2.17)给出的解 将具有行波形式。另一方面，如果E 转贴至人人网QQ空间百度收藏本地收藏更多... 添加到小组 0
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