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统计物理基础统计物理学从宏观物质是由大量微观粒子组成这一 事实出发,认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为 的集体表现,宏观物理量是相应微观物理量的统计平 均值. 微观粒子(单体) μ空间(描述粒子微观 态的相空间) 宏观物质(群体,分布) Γ空间(描述系统微 观态的相空间) BEIJING NORMAL UNIVERSITY 粒子微观态及系统微观态的经典描述前提:粒子服从经典力学规律 一,相空间: 经典描述 量子描述 (1)μ空间(描述粒子微观态的相空间) 自由度为r的粒子:t时刻,状态(q1 … qr ;p1…pr) 粒子的哈密顿 H=H(q1…qr,p1…pr,t). 哈密顿正则方程 BEIJING NORMAL UNIVERSITY μ空间—由2r个相互垂直的轴张成的2r维的空间, 其中r个轴代表广义坐标,另外r个轴代表广义动量. μ空间中的一个点 ———粒子的一个微观态 μ空间中的轨迹 ——— 粒子运动状态随时间的演化 代表点:μ空间中的点称为粒子的代表点 相轨迹:随着时间变化,代表点在μ空间描出的曲线 BEIJING NORMAL UNIVERSITY 【例1】自由粒子 理想气体分子,金属中的自由电子…… ◆一维空间运动的自由粒子 自由度r=1,t时刻,状态 (x , px) 哈密顿量: 2 px H = 2m μ空间:由相互垂直的x轴及px轴张成的2维空间. 原则上:粒子空间的活动范围:-∞ W2 =W3 > W4 =W5 BEIJING NORMAL UNIVERSITY D1 {2, 2} W大 粒子密度均匀的平衡态 极大可能处于分布D1 密度不均匀的非平衡态 很小可能处于分布D2 D3 密度极不均匀的非平衡态 极小可能处于分布D4 D5 D2 {1, 3} D3 {3, 1} W中 D4 {0, 4} D5 {4, 0} W小 各种分布出现可能性大小的排序,恰与热力学几率大小 的排序是一致的. BEIJING NORMAL UNIVERSITY 玻耳兹曼提出了一个重要的统计物理基本假设—— 等概率原理:处在统计平衡态的孤立系统,系统各个可能的 微观状态出现的概率是相等的. ◆等概率原理在统计物理中是一个基本假设,它的 正确性由它的所有推论与客观实际符合很好而得 到肯定. ◆等概率原理是平衡态统计物理的基础. BEIJING NORMAL UNIVERSITY ◆孤立系统是一个具有确定N,E,V的系统.即 系统所有可能出现的微观状态都同样满足具有 确定N,E,V的宏观条件,没有理由认为哪一 个状态出现的概率应当更大一些.这些微观状 态应当是平权的.因此,认为各个可能的微观 状态出现的概率相等应当是一个合理的假设. BEIJING NORMAL UNIVERSITY 对于前面例题,由以上分析可知: ∵ W1 > W2 =W3 > W4 =W5 ∴ P1 > P2 =P3 > P4 =P5 即哪种宏观态对应的微观态越多,哪种宏观态 出现的可能性(概率)就越大. BEIJING NORMAL UNIVERSITY 3,热力学几率与概率的关系若孤立系统共有M种分布{Ni}α(α=1,2,…M)第α 种分 布对应的热力学几率(微观状态数)Wα系统总的微观状态 数: W = ∑ Wα α =1 M 第α 种分布(第α 种宏观态)出现的概率 Wα Pα = W 即:α ∝ Wα P BEIJING NORMAL UNIVERSITY 显然 Wα 1 ∑1 Pα = ∑1 W = W α= α= M M ∑ Wα = 1 α =1 M 概率Pα是归一的,而热力学几率W α不是归一的. 二者之间相差一个归一化因子1/W. 例题中总的微观状态数:W=6+2×4+2×1=16 5种分布所对应的概率: P1 = 6 16 , P2 = P3 = 4 , P4 = P5 = 1 16 16 若系统粒子数N>>1时,分布{N,0} 或{0,N} 出现的概率与均匀分布比,将一致趋于零. BEIJING NORMAL UNIVERSITY 孤立系统: 热力学: 统计物理: 非平衡态 W小 P小 热力学平衡态 W最大 P最大 结论:热力学平衡态对应的是统计物理中热 力学几率(几率)最大的状态. BEIJING NORMAL UNIVERSITY 4,热力学几率与熵的关系 孤立系统: 非平衡态 统计物理: 热力学: W小 S小自发地趋于 平衡态 W最大 S最大 定性结论: S 与W有关,即S应是W的函数 下面推导这种函数关系:S =f (W ) 设:大系统=系统A+系统B 其中A,B两个系统均已达到自己的平衡态. BEIJING NORMAL UNIVERSITY 系统A: S1 W1 系统B: S2 (1) (2) (3) (4) (5) W2 大系统: S = S1+ S2 W = W1 W2 根据所设: S1=f (W1) S2=f (W2) S = f (W) 把(3) (4) (5) 代人 (1) 得 f (W)= f (W1) +f (W2) (6) (7) BEIJING NORMAL UNIVERSITY 由(2)有 f (W1 W2 )= f (W1) +f (W2) 对(7)式中的W1求偏导 f (W1W2 ) f (W1W2 ) (W1W2 ) f (W ) 左= = = W2 W1 (W1W2 ) W1 W df (W1 ) 右= dW1 左=右 df (W ) df (W1 ) ∴W2 = dW dW1 (8) 对(8)式中的W2求偏导 df (W ) df 2 (W ) W df (W ) df 2 (W ) 左= + W2 = + W1W2 2 dW dW W2 dW dW 2 BEIJING NORMAL UNIVERSITY df 2 (W ) df (W ) = +W dW 2 dW 右=0 ∴ Wf " (W ) + f ' (W ) = 0 df ' (W ) dW = f ' (W ) W 积分得 ln f ' (W ) = ln W + ln C C 即:f ' (W ) = 积分得 f (W ) = C ln W + A W (10) BEIJING NORMAL UNIVERSITY 将(10)代入(7) 左 = f (W1W2 ) = C ln(W1W2 ) + A = C lnW1 + C lnW2 + A 右 = f (W1 ) + f (W2 ) = C ln W1 + A + C ln W2 + A 左=右 ∴ S = C ln W A=0 C = k = 1.38×10-23 J K (玻耳兹曼常数) ∴ S=klnW 玻耳兹曼关系 BEIJING NORMAL UNIVERSITY ◆玻耳兹曼关系给出了熵的统计物理意义. ━━熵是系统某宏观态对应的微观状态数对数的量度 系统某宏观态对应的微观状态数(W)越多,认为处于 此态的系统就越混乱. 所以说 熵是系统混乱度的量度 BEIJING NORMAL UNIVERSITY ◆弥补了热力学理论不能解释涨落现象的缺陷 热力学理论:根据熵增原理,对于一个孤立系统,当 系统达到平衡态时,即当 S = Smax 时, 系统绝对不能再发生变化了. 统计物理理论:平衡态对应 Wmax 偏离平衡的宏观态对应 W ∵ W
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贡献时间：2010-04-12
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贡献者： superegoMVP 什长 五级
文档关键词
数学 物理学
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