能量為1 E 時，物體從無窮遠處進來，碰到了位能牆又彈回無窮遠處。

5.等效問題與軌道分類
(8)中我們將後兩項 V
mr
l + 2
2
2
1 視為假想位能 V’
⇒ 2
2
E = V'+ 1 mr􀀅
我們討論的題目剛好就是一個很特殊的位能，在平方反比的力r 2
f = − k 作用下，
r
V = − k
*2
2
2
2
'
mr
l
r
V = − k +
參考下圖：
V’
r
0 2 E =3 E
4 E
1 E
2
2
2mr
l
r
V'= − k
V’
1 r 2 r
r
3 E
V '
圖3
圖4
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(注意V’在r → ∞ 時，是趨近於零的)
a. 能量為1 E 時，物體從無窮遠處進來，碰到了位能牆又彈回無窮遠處。
b. 能量為2 E 時，大致與a 的情況同。
c. 在第三種情形因為動能得恆為正，物體勢必只能如圖4 在1 2 r , r 間邉樱?@類邉佑幸粋I
限的範圍，其軌道有兩個「轉點」1 2 r , r ，又稱近日點與遠日點。
d. 能量為4 E ，V’為極小值，這時物體只能以固定的r 來邉樱?滠壽E為圓。
*2 保守力與位能的關係為f = −∇V (r) ，即力為一位置純量函數的梯度。由保守力對質點做
功與路徑無關可以求得。大家無須太費心思在此證明上。