把牛顿力学引力定律写成Poisson方程：▽^2φ=4πρ，按照对应的关系，新的描述引力场的方程在低速弱场要回到Poisson:

能动张量可以通过能量和动量引入，也可以通过拉格朗日形式引入。之所以要有这么一个东西，我曾经写过一个比拉格朗日形式容易理解的版本，但是没有敲成电子版。

有空敲上来，倒也不全是数学定义，知道其物理意义后会明白这个东西不是天上掉下来的~~~

2009-12-9 12:17 回复

cloudk
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4楼

这个就是按照牛顿力学做推广，还得说道场方程是如何建立的问题上，把牛顿力学引力定律写成Poisson方程：▽^2φ=4πρ，按照对应的关系，新的描述引力场的方程在低速弱场要回到Poisson:
R_abd^c*Z^a*Z^d→▽^b▽_cφ
所以场方程应该是个二阶张量的等式，并且是关于度规和度规二阶导数的方程，因此等式的右边必须是一个二阶张量，并且这个张量能够反应物质的运动，因此按照上面的这个对应关系，就定义能动张量T_ab,为了保证能量守恒，就要求它满足协办散度为0，并且是反对称的，而且00分量就说能量密度，0i分量都是三维动量密度，ij分量是应力张量的分量等一些列性质，这样构造的一个张量就可以写到场方程右边去，并且为了满足Poisson方程的系数，就有G_ab=8πT_ab这个方程了~

2009-12-9 12:21 回复

yxtgh
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5楼

他是说不知道T_ab是哪里来的、

这个东西的引入在狭义相对论就有，并不涉及广义相对论。

而且能动张量实际上有非常明确的几何意义。

2009-12-9 12:26 回复

cloudk
148位粉丝
6楼

能动张量其实早在流体力学就给出来了：
T_ab=(ρ+p)*U_a*U_b+p*g_ab
引力场方程也只不过借助了这个思想，把时空视作流形，在流形上建立几何方程而已，这样的定义也是为了满足之前说的那些能动张量的性质。上面这个式子只要把度规换成不同流形上的度规就代表了不同流形上物质的能动张量，例如如果g_ab=δ_ab，那么它就代表欧式空间的能动张量，若g_ab=η_ab则表示闵氏时空的能动张量。引入狭义相对的时候好像并没有用过能动张量。

2009-12-9 12:36 回复

丽雅Leah
226位粉丝
7楼

插句嘴，那些数学符号都是怎么打上去的……

2009-12-9 13:10 回复

cloudk
148位粉丝
8楼

搜狗...

2009-12-9 13:42 回复
打酱油的
能量动量张量
9楼

楼主可参见张辽刘允中《狭义相对论》里面有四维能动张量的详细说明，比云k 的还详细，我的名字实际上与云k 说的一样是很早就有的，关与电动力学的书中都有对T _i j 的介绍但直到闵可夫斯基才定义了四维的这个张量

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-12-9 15:34 回复
打酱油的
能量动量张量
10楼

它是在狭相中被闵可夫斯基定义的，所以一般讲广相的不讲的，我对自己最了解了

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-12-9 15:36 回复
德国
血染图腾
95位粉丝
11楼

…………

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-12-9 15:38 回复
德国
血染图腾
95位粉丝
12楼

不管怎样，只要接受下来，熟悉了，也就自认为明白了。

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-12-9 15:38 回复

yxtgh
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13楼

T_ab=(ρ+p)*U_a*U_b+p*g_ab

"上面这个式子只要把度规换成不同流形上的度规就代表了不同流形上物质的能动张量，例如如果g_ab=δ_ab，那么它就代表欧式空间的能动张量，若g_ab=η_ab则表示闵氏时空的能动张量。"

我汗。。。4维欧氏空间是哪里的流体力学？

这个东西的构造流体力学还在牛顿框架下，四速什么的都没有出来。协变性都没有，怎么构造？

这个东西要构造必须要借助狭义相对论把四个守恒方程写在一起，然后证明它是Lorentz协变的，不然没有物理意义。

2009-12-9 18:54 回复

yxtgh
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14楼

现在说为什么这个东西要用到狭义相对论

你随便乱选一堆矢量可以构造出无穷多个4维时空中的张量，关键是只有有物理意义的量才有用。

这个东西本质上反映的是时空对称性，因为能动张量和一个Killing场的缩并是一个守恒流，满足守恒方程，这才是能动张量的本质核心。

三位欧氏空间的流体力学(非相对论）中没有这个，只有应力张量，那个东西是四维能动张量的投影而已。能动张量对于不同的场量有不同的形式，标量场，Dirac场和电磁场各有不同，长得千差万别，再加上相互作用的场更是如此。一个东西是不是能动张量，关键看他能不能和时空对称性对应的killing场给出守恒流，而不是随便定义一个都可以

2009-12-9 19:02 回复

yxtgh
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15楼

你可以阅读一下梁老师书的下册附录——Norther定理的几何证明，关于能动张量的讨论写得很清晰

2009-12-9 19:04 回复
德国
血染图腾
95位粉丝
16楼

回复：13楼
人家说的是流形...

2009-12-9 19:13 回复

yxtgh
1位粉丝
17楼

回复：16楼
楼上，这是理想流体的能动张量。

2009-12-9 19:48 回复
打酱油的
能量动量张量
18楼

四维能动张量的定义为（松散介质下）-p _0（我用p 代表密度）U _a U _b (a b =1,2,3,4)它可以直接由经典运动方程推出来（把速度换为四速时间换为固有时）这是用狭相推的一种方法，大家方法不同也不用这么批判我吧

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-12-9 21:37 回复
打酱油的
能量动量张量
19楼

我爱用狭相喽，各不相同了。呵呵，〔～～〕

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-12-9 21:40 回复

cloudk
148位粉丝
20楼

回复：13楼
额~我觉得您要是看过梁灿彬教授的书的话（尤其是第六章，第十章），对于这个写法应该很熟悉，因为他的书上册的第十章整章讨论宇宙学的时候都是用的6L的能动张量的定义，即把这个时空背景流形（Spacetime is manifold insteading of fluid!），其中的U_a就是4-velocity，协变性自然是有的，g_ab具有协变性，而且U_a也有协变性，所以这样构造的T_ab是满足广义协变性原理的。另外，能动张量确实是要构造成满足您说的那个核心才行，但是GR之中能动张量在一般的流形上就可以定义成6L那样。最后，请别拿QFT的东西在GR的框架下讨论，否则会无意中制造很多理论上的麻烦~~~

请参考：梁教授的《微分几何入门与广义相对》（第二版）第六章第4，5，6节以及第十章~~

2009-12-9 22:59 回复
恋空
schrodinger
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21楼

四维理想流体的定义：

A perfect fluid is a fluid or gas that

(1) moves through spacetime with a 4-velocity u which may vary from event to event, and

(2) exhibits a density of mass-energy /rho and an isotropic pressure p in the rest frame of each fluid element.

（Gravitaion P.132）


2009-12-10 00:04 回复

yxtgh
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22楼

回复：20楼
上册我熟的不能再熟了，从头到尾推了两遍以上，这个公式的确是都有，但是难道你没有注意到g_ab必须是Lorentz度规这一必要条件么？你说可以在理想流体的能动张量中把g_ab取成δ_ab，我才说你这个说法完全没有道理，如果是这样，请问这个T_ab的物理意义是什么？这时候它是否满足守恒方程？

退一万步，就算不牵扯QFT，仅仅在经典场论框架下讨论正则能动张量，正则能动张量也绝对不是随便乱写就写出来的，本来就应该通过拉格朗日量和Noether定理诱导，梁书第15章正是GR的拉格朗日和哈密顿形式，难道这里涉及任何QFT的东西了吗？


2009-12-10 00:22 回复
恋空
schrodinger
387位粉丝
23楼

没注意到13楼是四维欧氏空间...

那左上角的矩阵元应该是p，而不是/rho.


2009-12-10 00:40 回复

cloudk
148位粉丝
24楼

取成欧式度规（当然是默认三维的欧式空间）当然就代表理想流体的应力张量了，此时虽然用抽象指标，但是具体指标只能取1，2，3。它也是能动张量的一部分的分量，说它是能动张量，其实是指应力张量，仅此而已。指着分量说张量，有的时候也是习惯而已~~

我之前已经说了N次了，能动张量构造的前提必须满是那个守恒等等的条件，就如4L写的那些条件，但是LZ这里讨论的是GR里面流形上最常用到的理想流体能动张量形式，我才写6L的定义式作为一个例子，你要是牵涉到各种各样的其它的场，就会有可能导致需要一些QFT的东西（或许也用不着QFT），那样写出的能动张量是五花八门的。例如电磁场的能动张量就不是6L的形式，这个是人人皆知的~~

2009-12-10 00:44 回复
恋空
schrodinger
387位粉丝
25楼

这里只说理想流体的能动参量。理想流体意味着在rest frame中必须是各向同性的。

在欧氏空间中，可以从数学上证明，各向同性的二阶张量必然具有 p δ_ab 形式。所以四维欧氏空间中的理想流体能动张量表达式左上角一项必须是p，而不能是任意的量/rho。

证明中用到了坐标变换：t x, t y等。这样的变换在欧氏空间中是可以实现的，但在闵氏空间中不可能做到。因为少了这一个条件，所以四维时空中理想流体的左上角那一项可以和对角线上其余三项不同，记作/rho.


2009-12-10 01:01 回复
恋空
schrodinger
387位粉丝
26楼

（这里不管能动张量和应力张量这种名词上的区别。）

也许可以把
ρ 0 0 0
0 p 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p
看成是各向异性流体的能动张量。但因为4个方向的u都等于0，所以肯定没法写成T_ab=(ρ+p)*U_a*U_b+p*δ_ab的形式。



2009-12-10 01:13 回复

yxtgh
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27楼

问题在于你不管怎么取都不满足条件

参看schrodinger老师的说明，很清楚，我就不赘述了。

2009-12-10 12:13 回复

yxtgh
1位粉丝
28楼

最后补充一点

T_ab=(ρ+p)*U_a*U_b+p*δ_ab

这个东西，
如果δ_ab是四维欧氏度规，那这个张量肯定不满足守恒方程，不可能是能动张量
如果δ_ab是三维欧氏度规，那这个张量必然将不再是一个非坐标依赖的几何量（用坐标语言说就是不协变），更不可能具有什么物理意义

2009-12-10 12:18 回复

KL0755
0位粉丝
29楼

请教博士和大家一个问题。


两块相同小磁铁A和B吸在一起，
置于坐标o点处,固定住A不动.

问:沿Y轴把B拉到无限远和
沿X轴把B平移到无限远
所做的功是否相同?

简单说，就是把两块吸在一起的磁铁
沿磁力线拉开和切磁力线拉开，
做功是否相同？

假设1：沿X轴把B平移到无限远的过程中，磁力线始终平行Y轴。则这个过程不做功。因为运动方向与受力方向垂直。
假设2：沿X轴把B平移到无限远的过程中，磁力线的方向也随之自动旋转到X轴方向，则这个过程做功与沿Y轴做功相等。
假设3：沿X轴把B平移到无限远的过程中，磁力线的方向也随之旋转一个角度，这个旋角与定义保守力时中所说的“旋度”有无关系？

三种假设，哪种正确？还是都错了？



2009-12-10 16:15 回复
163.20.181.* 30楼

除了参照
梁教授的《微分几何入门与广义相对》、张辽刘允中《狭义相对论》
的书之外还能查哪些书才能理解?