电势能 场对带电体做功 使物体的机械能增加 能量哪里来？ 由电场与电荷的相互作用能的减少作为代价

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回答: 大学物理教程（上下册） 由 marketreflections 于 2010-06-18 09:48:23

第六讲 - [ 轉為繁體網頁 ]
场对带电体做功， i → f f i. W. F d. = ⋅. ∫. v v l. 使物体的机械能增加： f i. K. F d. Δ = ⋅. ∫. v v l. 能量哪里来？ 由电场与电荷的相互作用能的减少作为 ...
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第六讲
复习：
* 高斯定理的应用：注意对称性分析 对球对称体系，球壳，球体（均匀） （非均匀） 201, ()4QrRErrπε>=
各不相同 rR * 导体的静电平衡条件
I 0inρ= 0inE=v
II 在表面上 ，||0E=vIII0()()/Errσε⊥=rr（σ是未知量）
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
（3）同轴电缆静电平衡
同轴电缆是由两个同轴的柱状导体壳嵌套而成的，它在现代通信业中有着重要的应用。考虑这种体系的静电平衡问题，设
内导体（处在aρ 外导体（处在cρ 求平衡时电荷分布及电场分布。
解：根据导体静电平衡时的第一个基本性质， 电荷只能 分布在内外导体的4个表面上。 设四表面的单位长度电量为： ,,,abcdλλλλ， 先寻4条独立方程确定电荷分布。 abcdIIIIIIIVV
由电荷守恒： abλλ+= （1）
'ccλλλ+= （2）
导体内部电场为0，则 当 aρ 根据体系的对称性，电荷在4表面上均匀分布，因此电场的方向平行于ˆeρ，大小
只依赖于ρ：ˆ()EEeρρ=v。 这与导体静电平衡时的第二个性质 ˆ||Eeρv（在导
体表面处）一致
在II区以ρ为半径以单位长度为高做一个高斯柱面，利用高斯定理，
00 0IIaaEdSλελ==⇒∫rv􀀀 （3）
在IV区以ρ为半径以单位长度为高做一个高斯柱面，利用高斯定理，
00() 0cabcabEdSλλλελλλ=⋅=++⇒++=∫rv􀀀 （4）
（1）-（4）为确定4个未知量的必要的4个方程， 解之可得，
0'abcdλλλλλλλλ=⎧⎪=⎪⎨=−⎪⎪=+⎩
再根据求得的电荷分布求电场分布
在I，III，V三个区各做相应的同轴柱面作为高斯面，利用高斯积分计算可得
()20 ()0IIEEρπρ⋅=⇒=rr
00ˆ()2/ ()/2IIIIIIEErρρπρλελπερ⋅=⇒=rr
00ˆ()2(')/ ()(')/2VVEEreρρπρλλελλπερ⋅=+⇒=+rr
而在II， IV区，导体内场恒为0，
()0()0IIIVErEr≡≡rrrr
用导体的静电平衡第3个特性验证所得的结果 根据所得结果，导体表面电场为：
0()|0aIaEρσρε=== 00()|22bbIIIbEbbρλσλρπεπε====
00()|2cIIIcEcρσλρπεε===− 00'()|2dVdEdρσλλρπεε=+==
所得的结果均满足导体静电平衡时的第3个性质。
注意：导体静电问题的难点在于不知道电荷分布，因此要充分利用导体静电平衡时的三大特性，建立合适的方程求解电荷分布。对这类问题，首先想到的是电荷守恒定律。
（4）更困难的例子：
两个大导体平板，面积均为A，分别带总电量Q，Q’，忽略边缘效应，求平衡时的电场及电荷分布。
QQ'
解： 此时的电荷分布要重新确定， 电荷分布为未知量。跟据对称性，忽略边缘效应，则电荷在表面上必均匀分布，电场在空间任意一点均垂直于板。设平衡时电荷在4个表面上的面密度分别为123,,,σσσσ，必须要找出4条方程来确定这4个未知数。 导体上的电荷可以自由移动，但电荷守恒仍需满足：
1234/ (1)'/ (2)QAQAσσσσ+=⎧⎨+=⎩ 􀃅 电荷守恒
还需要2个方程才能完全确定所有未知数。充分发掘导体静电平衡时的特性及利用高斯定理来寻找这2个方程。构造如图两个高斯面S，S’（截面积为单位面积）
σ4σ3σ2IIIIIIIVVSS'σ1
对高斯面 S200IIIIVEEσσε+=−= （3）􀃅 导体内电场 0IIIIVEE==
对高斯面S’ 40VIVEEEσε−==
但我们必须确定。据平面电荷的电场的叠加可得： VE123401[]2VEσσσσε=+++，
综上2式可得第四条方程： 12341[2σσσσσ+++= （4）
解（1）-（4）可得： 11(2QQAσ=+ 21('2QQAσ=− 31(')2QQAσ=−， 41(')2QQAσ=+
根据电荷分布可以确定电场（利用导体静电平衡的性质3，朝右为+方向）：
注：
（a）也可以根据4个电荷分布利用面电荷的电场公式02Eσε=来计算空间各点的电场。试计算之，并与上面结果相比较。
(b) 考虑两个特例： 1. ，则，'QQ=23140,/QAσσσσ====，即电荷全部分布在外表面；
2. ，则，'QQ=−14230,/,/QAQAσσσσ====−，即电荷全部分布在内表面；
第28章 电势能与电势
（1）电势的概念 与引力势的对比
电场 引力场 ⇔
电力 引力 ⇔
电势能 势能 ⇔
电场（矢量），电势（标量）是静电理论的两种表达式，但并非所有的场都可以有标量表达形式。
（2）环路定理
静电场的一个重要性质是其满足环路定理。
(a) 点电荷产生的电场
能引入势能的前提条件是场做功与路径无关，又叫保守场
电场对外电荷的做功 fiWFd=⋅∫vvl
先从点电荷做功出发 201ˆ4rQEer=vπε
场对的作用力 q201ˆ4rqQFerπε=v
电场做功为： 201ˆ4friqQWerπε=⋅∫vl
对于任意一条路径，我们总可以将其分成非常小的小段，则电场做的总功为这些小段上的贡献的叠加： 201ˆ4iriiiqQWWerπε=Δ=⋅ΔΣΣvl
对每一小段，，即ˆrel⋅Δ=ΔrlΔr投影在径向的距离。则，电场在这一小段对电荷做功为 2014iiiqQWrrπεΔ=Δ
所将每一小段的做功相加，则有
22001144fiririqQqQWrrrπεπε=ΣΔ=∫
10011()44frifrqQrr=−=−πεπε rNr3r2Qifr1
电场对电荷的做功与路径无关！
（b）线性叠加原理 􀃆 此结论对任意电荷分布成立！ Wd 不依赖于路径
（保守场） 向心力是根本！ ˆ||rFev
向心力，任意路径可以分成 ˆˆreeθ+
Fv做功沿ˆeθ的路径积分为0
Fv只对沿方向的路径做功 ˆre
可以马上推出电场的环路定理
0cFd⋅=∫vvl􀀀⇔ 0cEd⋅=∫vvl􀀀
C 指任意闭合路径。
（3）电势能的定义
有过程，，场对带电体做功，i→fiWFd=⋅∫vvl
使物体的机械能增加：fiKFdΔ=⋅∫vvl
能量哪里来？ 由电场与电荷的相互作用能的减少作为代价
电场与电荷的相互作用能定义为电势能（可以与引力势能相比较）
将电场与带电体作为一体来考虑，根据能量守恒，则在i—f的过程中，总能量守恒。在这个过程中，外电场没有发生变化，带电体自身的电场没有发生变化，只有带电体在外电场中的相对位置有关，即相互作能（电势能）发生了改变。故：电势能的减少等于机械能的增加
0 0fiUKUFdΔ+Δ=⇔Δ+⋅=∫vvl
⇓
电势能的数学定义 ()()fiUfUiFd−=−⋅∫vvl
习题：P.630, Exercises, 15 (不要预先假设电荷分布在内表面！)， 25
P.631-633, Problems, 8, 14, 16

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