力来源于地球对物体的引力, 的一部分(另一部分提供物体随地球转动的向心力)

第02章 质点动力学 第02章 质点动力学 第02章 质点动力学

一. 牛顿运动三定律 1. 牛顿第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态, 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态, 直 到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止. 到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止. 物体的惯性:物体具有保持其运动状态不变的性质. 物体的惯性:物体具有保持其运动状态不变的性质. 力与运动的关系: 力与运动的关系:力的作用是改变物体的运动状态 运动速度),而不是维持物体的运动状态( ),而不是维持物体的运动状态 (运动速度),而不是维持物体的运动状态(运动速 );力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互 度);力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互 作用. 作用. 2. 牛顿第二定律 物体受到外力作用时,物体所获得的加速度的大 物体受到外力作用时, 小与合外力的大小成正比,并与物体的质量成反比, 小与合外力的大小成正比,并与物体的质量成反比, 加速度的方向与合外力的方向相同,即 加速度的方向与合外力的方向相同, F = ma 力与运动的定量关系: 力与运动的定量关系:a ∝F 质量:物体惯性大小的量度: 质量:物体惯性大小的量度: a ∝ 1/ m 3. 牛顿第三定律 两物体间的相互作用力总是大小相等而方向相反, 两物体间的相互作用力总是大小相等而方向相反,即 F12 = F21 反映了力的来源:力来自物体与物体间的相互作用 反映了力的来源: 作用力和反作用力同时存在 分别作用于两个物体上, 分别作用于两个物体上,不能抵消 属于同一种性质的力 英国伟大的物理学家, 天文学家. " 英国伟大的物理学家, 物理学家 数学家, 数学家, 天文学家.恩格斯说: 牛 恩格斯说: 顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学, 顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学,由于进行光的分 解而创立了科学的光学, 解而创立了科学的光学,由于创立了二项式定理和无限理论而 创立了科学的数学, 创立了科学的数学,由于认识了力学的本性而创立了科学的力 学."的确,牛顿在自然科学领域里作了奠基性的贡献,堪称 的确,牛顿在自然科学领域里作了奠基性的贡献, 科学巨匠. 科学巨匠. 牛顿出生于英国北部林肯郡的一个农民家庭. 1661 年考上 牛顿出生于英国北部林肯郡的一个农民家庭. 剑桥大学特里尼蒂学校,1665 年毕业,这时正赶上鼠疫,牛顿 剑桥大学特里尼蒂学校, 年毕业,这时正赶上鼠疫, 回家避疫两年,期间几乎考虑了他一生中所研究的各个方面, 回家避疫两年,期间几乎考虑了他一生中所研究的各个方面, 特别是他一生中的几个重要贡献:万有引力定律,经典力学, 特别是他一生中的几个重要贡献: 万有引力定律,经典力学, 微积分和光学 微积分和光学. 牛顿发现万有引力定律,建立了经典力学, 牛顿发现万有引力定律,建立了经典力学,他用一个公式将宇宙中最大天体的运动和最小粒 子的运动统一起来.宇宙变得如此清晰:任何一个运动都不是无故发生, 子的运动统一起来.宇宙变得如此清晰:任何一个运动都不是无故发生,都是长长的一系列因果 链条中的一个状态, 一个环节, 是可以精确描述的. 人们打破几千年来神的意志统治世界的思想, 链条中的一个状态, 一个环节, 是可以精确描述的. 人们打破几千年来神的意志统治世界的思想, 开始相信没有任何东西是智慧所不能确切知道的.相比于他的理论, 开始相信没有任何东西是智慧所不能确切知道的.相比于他的理论,牛顿更伟大的贡献是使人们 从此开始相信科学. 从此开始相信科学. 牛顿是一个远远超过那个时代所有人智慧的科学巨人,他对真理的探索是如此痴迷, 牛顿是一个远远超过那个时代所有人智慧的科学巨人,他对真理的探索是如此痴迷,以至于 他的理论成果都是在别人的敦促下才公诸于世的,对牛顿来说创造本身就是最大的乐趣 乐趣. 他的理论成果都是在别人的敦促下才公诸于世的,对牛顿来说创造本身就是最大的乐趣. 二. 力的分类 1. 三种常见的力 重力:使物体产生重力加速度的力, 重力:使物体产生重力加速度的力,即 P = mg 重力来源于地球对物体的引力,但只是地球引力 重力来源于地球对物体的引力, 的一部分(另一部分提供物体随地球转动的向心力) 的一部分(另一部分提供物体随地球转动的向心力) 重力随物体所处高度和纬度而微小变化 弹力: 弹力:物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用 在弹性范围内, 力,在弹性范围内, N = kx 摩擦力: 摩擦力:两相互接触的物体由于相对运动或有相对运 动的趋势而在接触面间产生的一对阻止相对运动或相 对运动趋势的力 静摩擦力:等于物体受到其它外力的合力. 静摩擦力:等于物体受到其它外力的合力. 滑动摩擦力: 滑动摩擦力: f k = k N 2. 四种基本的力万有引力 电磁力 强力 弱力 宏观世界里除了重力来源于万有引力外, 宏观世界里除了重力来源于万有引力外,其它的 力几乎都源于电磁力 三. 牛顿第二定律的应用 1. 牛顿第二定律的数学表达式 dv d r F = ma = m =m 2 dt dt 分量式: 分量式: 直角坐标系: 直角坐标系: dv x d 2x =m 2 Fx = ma x = m dt dt dv y d2y =m 2 F y = ma y = m dt dt dv z d 2z =m 2 Fz = ma z = m dt dt 矢量式: 矢量式: 2 自然坐标系: 自然坐标系: v2 Fn = man = m ρ F = ma = m dv τ τ dt 2. 用牛顿第二定律解质点动力学问题 1) 已知运动,求受力:求导过程 已知运动,求受力: 2) 已知受力,求运动:积分过程 已知受力,求运动: 如图, 例 2-1 如图,已知 F = 9.8 + 5t + 15t 2 , m1 = 4kg , m 2 = 1kg , θ = 30 , t = 0 时系统保持静止, t 时刻 时系统保持静止, 求 m1(m2)的加速度和速度. 的加速度和速度. 的加速度和速度 0 m1 m2 θ 图13 F F + m2 g T = m2 a → 解: T m1 g sin θ = m1 a F + m 2 g m1 g sin θ 2 2 a= = t + 3t (m / s ) m1 + m 2 T v t dv a= → dv = adt → ∫ dv = ∫m1 adt 0 0 dt t 1 2 2 3 v = ∫ (t + 3t )dt = t + t (m / s ) 0 2 mg 1 T' m2 F 图155 例 2-2 质量为 的小球最初位于 点,然后沿半径为 质量为m的小球最初位于 的小球最初位于A点 然后沿半径为R 的光滑圆弧面下滑. 的光滑圆弧面下滑.求小球在任一位置时的速度和对 圆弧面的作用. 圆弧面的作用. dv 解: mg cos α = m dt 2 v N mg sin α = m R dv dvds dv = =v dt dsdt Rd α A α τ N α n vdv = Rg cos α dα mg ∫ vdv = ∫ 0 v α 0 Rg cos α dα A α 1 2 v = Rg sin α 2 τ N v = 2Rg sin α 2 n v N mg sin α = m mg R 2 Rg sin α = 3mg sin α N = mg sin α + m R α 例 2-3 一质量为 m 的质点 t=0 时自坐标原点以初速 v o = v 0 i 做平抛运动 , 运动过程中受到空气阻力 f = mkv ,求: (1) t 时刻质点的速度; O ) 时刻质点的速度; (2) 质点的运动方程. ) 质点的运动方程. v0 f x mg y 动力学6 解: mg + f = ma dv x (1) mkv x = m dt mg mkv = m dv y (2) y dt 由(1) : t v x dv dv x x kv x = → ∫ ( k )dt = ∫ → v x = v0 e kt v0 v 0 dt x 由(2) : dv y dv y t vy g g kv y = → ∫ ( k ) dt = ∫ → v y = (1 e kt ) 0 0 v g/k dt k y v x = v0 e kt g v y = (1 e kt ) k x t v0 dx kt kt vx = = v 0 e → ∫ dx = ∫ v 0 e dt → x = (1 e kt ) 0 0 dt k y t g dy g g g kt kt vy = = (1 e ) → ∫ dy = ∫ (1 e ) dt → y = t 2 (1 e kt ) 0 0 k dt k k k v0 x= (1 e kt ) k y = g t g (1 e kt ) k k2 讨论: 讨论: v x = v 0 , (1) k → 0 , ) v y = gt x = v0 t ——理想平抛运动 1 2 ——理想平抛运动 y = 2 gt v0 x = k vx = 0 , ——匀速直线运动 (2) t → ∞ , ) ——匀速直线运动 v y = g / k y = g t g k k2 m1 : F1 + f 21 = m1 a1 m 2 : F2 + f 12 = m 2 a 2 F1 + F2 + ( f 21 + f 12 ) = m1 a1 + m 2 a 2 F1 + F2 = m1 a1 + m2 a 2 F1 F2 f 21 m1 动力学13 动力学13 f12 m2 一般地 ∑F = ∑m a = ∑m i i i d ri i 2 dt 2 d2 = 2 dt d2 ∑ mi ri = M dt 2 ∑m r M i i 记 F = ∑ Fi , rC 则 ∑m r = M i i d 2 rC F= M = MaC 2 dt 一. 质心质心的定义: 1. 质心的定义:由下式决定的位置矢量 rC 所对应的 点 C,称为质点系的质心: ,称为质点系的质心: z C rC ∑m r = M i i rC y x 2. 质心的计算 rC M ∑ mi xi , y = ∑ mi yi , z = ∑ mi zi xC = C C M M M ∑m r = i i 质量连续分布的物体 rC xC ∫ r dm = M M ∫ xdm , y = C ∫ ydm , z = M C ∫ zdm = M 例 2-4:如图,求质量均匀分布的直角三角形的质心. :如图,求质量均匀分布的直角三角形的质心. 解: xC ∫ xdm = M ∫ = 同理 a 0 x σ (a x) tgθdx y b σ ab / 2 1 = a 3 1 yC = b 3 O x dx 动力学30 动力学30 θ a x 二.质心运动定理系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小 成正比,与系统的总质量成反比, 成正比,与系统的总质量成反比,加速度的方向沿 合外力的方向. 合外力的方向. F = MaC 内力不影响系统质心的运动. 内力不影响系统质心的运动. 例2-5 如图,求当人从小车的一端走到另一端时,小 如图,求当人从小车的一端走到另一端时, 车相对与地面移动的距离. 车相对与地面移动的距离. ml + Ml / 2 解: xC1 = m+M ms + M ( s + l / 2) xC 2 = m+M 由 x C1 = x C 得: 2 y M m x l y x s 刚体力学22 刚体力学22 ml s= m+M l 一.惯性参照系与非惯性参照系 T a0 mg F 惯性系: 牛顿定律成立的参考系. 惯性系: 牛顿定律成立的参考系 . 一切相对于惯性 系作匀速直线运动的参考系也是惯性系. 系作匀速直线运动的参考系也是惯性系. 非惯性系: 相对于惯性系作加速运动的参考系. 非惯性系: 相对于惯性系作加速运动的参考系.在非 惯性系内牛顿定律不成立. 惯性系内牛顿定律不成立. 二. 非惯性参照系中的牛顿运动定律 a0 Q = ma0 mg T 1. 惯性力 Q = ma0 2. 非惯性参照系中的牛顿运动定律 F + Q = ma ' 如图,设所有的接触面都光滑, 例 2-6 如图,设所有的接触面都光滑,求物体 m 相 相对于地面的加速度. 对于斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度. m M 动力学10 解 1: N1 mg sin θ = ma x N 1 mg cos θ = ma y N 1 sin θ = Ma 0 mg a x = a 0 cos θ + a ' a = a0 + a' → → → a y = a 0 sin θ N2 mg sin θ = m(a 0 cos θ + a ' ) N 1 mg cos θ = ma 0 sin θ → a0 N sin θ = Ma 0 1 y a′ O x ( M + m) g sin θ a ' = M + m sin 2 θ a = mg sin θ cos θ 0 M + m sin 2 θ θ N1' Mg 动力学11 动力学11 N1 解 2: mg sin θ + ma 0 cos θ = ma' N 1 mg cos θ + ma 0 sin θ = 0 → N sin θ = Ma 0 1 ma0 y a′ mg N2 O x ( M + m) g sin θ a' = M + m sin 2 θ a = mg sin θ cos θ 0 M + m sin 2 θ a0 θ N1' Mg 动力学11 动力学11 一. 冲量和动量 1. 冲量恒力: 恒力: I = F (t t 0 ) 变力: 变力: F = F (t ) F ti → ti + ti : I i ≈ Fi ti t0 → t : I ≈ ∑ Fi ti i I = lim t ti →0 ∑ F t i i i O t1 t i t i+ t i 图14 t2 t I = ∫ Fdt t0 2. 动量 p = mv 二.动量定理 1.牛顿第二定律的普遍形式 dp F= dt dp F = ma 与 F = : dt F = ma :适用条件: m = 恒量 适用条件: dp F= :普遍成立 dt 2. 动量定理 t p dp F= → Fdt = dp → ∫ Fdt = ∫ dp t0 p0 dt I = p p0 I x = p x p0 x I y = p y p0 y I z = p z p0 z 动量定理反映了力对时间的积累效应 三. 质点系的动量定理 1.质点系的动量 dri d P = ∑ mi vi = ∑ mi =M dt dt i i ∑m r i i i M drC =M = MvC dt P = MvC 2.质点系的动量定理 dvC F = MaC = M dt Fdt = MdvC ∫ Fdt = Mv t0 t C MvC 0 I =P I x = Px Px 0 P0 I y = Py Py 0 I z = Pz Pz 0 内力只是使系统内各质点产生动量的交换, 内力只是使系统内各质点产生动量的交换,但不 改变质点系的总动量 3.动量守恒定律 I =0→ P=P Px = Px 0 Py = Py 0 0 Pz = Pz 0 若系统在某一方向所受的合力为零, 若系统在某一方向所受的合力为零,则该方向 动量守恒 例 2-7 一质量为 m 的质点以初速 v0 , 抛射角θ作斜抛 运动,落地时与地面发生碰撞, 运动,落地时与地面发生碰撞,而后作第二次斜抛运 设质点两次斜抛运动的飞行时间相等, 动.设质点两次斜抛运动的飞行时间相等,而第二次 斜抛运动的射程是第一次的一半, 斜抛运动的射程是第一次的一半,求碰撞时地面对质 点的冲量. 点的冲量. 1 2 v0 θ s t1 t2 1 s 2 动力学15 动力学15 解: mg t1 j mg t 2 j + I = v 2 x i v1 x i I = m(v 2 x v1x )i + mg (t1 + t 2 ) j v 0 sin θ 1 t1 = t 2 = , v1 x = v 0 cos θ , v 2 x = v 0 cos θ 2 g 1 I = mv 0 cos θi + mv 0 sin θj 2 例 2-8 以速度 v 0 运动的 α 粒子 质量为 m) ( ) 与一静止的氧原 子核( 碰撞", 子核(质量为 M)发生 碰撞 ,碰撞后 α 粒子沿与入射方向 )发生"碰撞 角的方向运动, 成 θ 角的方向运动,而氧原子核沿与 α 粒子入射方向成 角 的方向运动. 碰撞 碰撞"后 粒子和氧原子核的速度 的速度. 的方向运动.求"碰撞 后 α 粒子和氧原子核的速度. 解: mv 0 = mv cos θ + MV cos 0 = mv sin θ MV sin v 0 sin v = sin(θ + ) mv 0 sin θ V = M sin(θ + ) v α v0 θ 动力学16 动力学16 V 一.功与功率 1 .功 恒力做功: 恒力做功: P A = F r 变力做功: 变力做功: F θ dr F = F (r ) dA = F dr A = ∫ F dr P0 P P0 动力学19 动力学19 直角坐标系: 直角坐标系: F = Fx i + Fy j + Fz k P P0 dr = dxi + dyj + dzk P A = ∫ Fx dx + Fy dy + Fz dz 自然坐标系: 自然坐标系: Fτ F = Fn n + Fτ τ r r0 dr = dsn F A = ∫ Fτ ds 一维运动: 一维运动: Fn A = ∫ Fdx x0 动力学19 动力学19 x P0 2.功率 2.功率 dA dr P= = F = F v dt dt P = F v 直角坐标系: 直角坐标系: P = Fx v x + Fy v y + Fz v z 自然坐标系: 自然坐标系: P = Fτ v 一维运动: 一维运动: P = Fv 功和功率都是标量,无方向,但有正负号. 功和功率都是标量,无方向,但有正负号. 合力的功和功率 : A = ∫ (∑ Fi ) dr = ∑ ∫ Fi dr = ∑ Ai r r r0 i i r0 i P = (∑ Fi ) v = ∑ ( Fi v ) = ∑ Pi i i i 功和功率的关系: 功和功率的关系: t dA P= → A = ∫ Pdt t0 dt 二.动能 动能定理 r dv ds A = ∫ F dr = ∫ Fτ ds= ∫ m ds = ∫ m dv r0 r0 r0 r0 dt dt v 1 2 1 2 = ∫ mvdv= mv mv0 v0 2 2 r r r 质点的动能: 质点的动能: 1 2 Ek = mv 2 动能定理: 动能定理: A = Ek Ek 0 三.质点系的动能定理 A = Ek Ek 0 A = ∑ Ai = A外 + A内 i 1 Ek = ∑ mi vi2 i 2 内力所做的总功一般不为零,即内力一般要改变 内力所做的总功一般不为零, 系统的总动能 dA内 = f 21 dr1 + f12 dr2 = f12 (dr2 dr1 ) = f12 dr21 ≠ 0 A内 = ∫ f12 dr21 ≠ 0 m1 f 21 f12 m2 r1 O r2 动力学40 动力学40 例: mv 0 mv 0 = ( m + M )V V = m+M p = 0 1 1 1 M 2 2 2 E k = (m + M )V mv 0 = mv 0 2 2 2 m+M v0 V0 = 0 V m M m+M 动力学21 动力学21 如图, 例 2-9 如图,一长度为 l,密度为 ρ 的细棒从下端紧 , 贴水面的位置, 贴水面的位置,以零初速落入密度为 ρ 0 ( ρ 0 l ) 的水池中.求细棒下端接触到水池底时 f 的速度. 的速度. l x h mg 动力学22 动力学22 解: ρgsl ρ 0 gsx (0 ≤ x ≤ l ) F = mg f = ρgsl ρ 0 gsl (l ≤ x ≤ h) A = ∫ Fdx = ∫ ( ρgsl ρ 0 gsx)dx + ∫ ( ρgsl ρ 0 gsl )dx 0 0 l h l h 1 = ( ρ ρ 0 ) gslh + ρ 0 gsl 2 2 1 1 1 2 2 → ( ρ ρ 0 ) gslh + ρ 0 gsl = mv 0 = ρgslv 2 2 2 2 v = 2 gh(1 ρ 0 / ρ ) + glρ 0 / ρ 一. 质点系的势能 1.保守力 重力做功: 重力做功: A = ∫ F dr P0 P y F = mgj , dr = dxi + dyj A = ∫ ( mgj ) ( dxi + dyj ) P0 P h0 P0 mg = ∫ ( mg ) dy = ( mgh mgh0 ) h0 h h P x 动力学23 动力学23 O 弹力作功: 弹力作功: A = ∫ Fdx = ∫ x0 x x x0 1 2 1 2 (kx)dx = ( kx kx0 ) 2 2 F O m x k 动力学24 动力学24 万有引力做功: 万有引力做功: mM mM F = G 2 r = G 3 r r r P mM A = ∫ (G 3 r ) dr P0 r r mM = ∫ (G 2 )dr (r dr = rdr )M r0 r mM mM = [(G ) (G )] r r0 P r F m r0 动力学25 动力学25 P0 保守力: 作功只与质点的前, 后位置有关, 保守力 : 作功只与质点的前 , 后位置有关 , 而与运 动路径无关的力; 或质点沿任一闭合路径运动一周, 动路径无关的力 ; 或质点沿任一闭合路径运动一周 , 做功都为零的力: 做功都为零的力: ∫ 或 L P P0 F保 dr = [Φ ( r ) Φ ( r0 )] dr = 0 ∫F 保 2.势能 若保守力 F保 做功可表为 ∫ P P0 F保 dr = [Φ (r ) Φ (r0 )] 处的势能. 则 E p = Φ (r ) 称为质点在 r 处的势能. 重力势能: 重力势能: E p = mgh 1 2 E p = kx 2 弹力势能: 弹力势能: 万有引力势能: 万有引力势能: mM E p = G r 系统共有: 某一质点的势能为该质点与对该质点施加保 系统共有: 某一质点的势能为该质点与 守力的其它质点构成的质点系所共有. 守力的其它质点构成的质点系所共有. 相对值: E p 的值与零势能参考点的选择有关 相对值: 位置的函数: 位置的函数: E p = E p (r ) , E p = E p (r ) 构成一标量场 ——保守场 ——保守场 3. 保守力与势能的关系 1)保守力做功等于势能增量的负值: 保守力做功等于势能增量的负值: A保 = ( E p E p 0 ) 2)保守力等于势能梯度的负值: 保守力等于势能梯度的负值: dA = F dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz E z dE p = dx + dy + dz x y z E p E y dA = dE p E p E p E p F = x i + y j + z k 二.功能原理 A = Ek Ek 0 A = A外 + A内 = A外 + A保内 + A非保内 → A保内 = E p E p 0) ( A外 + A非保内 = ( Ek + E p ) ( Ek 0 + E p 0 ) 机械能: 机械能: E = Ek + E p 功能原理: 功能原理: A外 + A非保内 = E E0 三.机械能守恒定律 封闭 :A外 = 0 封闭保守系统: 封闭保守系统: 保守 :A非保内 = 0 E = E0 四.能量的转化与守恒定律自然界中, 能量既不能消失, 也不能创造, 自然界中 , 能量既不能消失 , 也不能创造 , 它只 能从一种形式转化成另一种形式, 能从一种形式转化成另一种形式 , 或者从一个物体传 给另一个物体. 给另一个物体. 自然界中有许多形式的能量. 自然界中有许多形式的能量. 封闭系统:能量守恒,但机械能不一定守恒; 封闭系统:能量守恒,但机械能不一定守恒; 封闭保守系统:能量守恒,机械能守恒. 封闭保守系统:能量守恒,机械能守恒. 如图, 例 2-10 如图,质量为 m 的物体自高度为 h,倾角为 θ , , 的斜面的顶端以零初速滑下, 质量为 M 的斜面的顶端以零初速滑下,求当物体滑到斜 面底端时的速度. 设所有的接触面都光滑) (设所有的接触面都光滑 面底端时的速度. 设所有的接触面都光滑) ( y O V x v' m h M 动力学26 动力学26 θ 解: mv x MV = 0 1 1 2 2 2 MV + m(v x + v y ) = mgh 2 2 v x = v' cos θ V v = V + v'→ v y = v' sin θ m(v' cos θ V ) MV = 0 1 1 2 MV + m[(v' cos θ V ) 2 + v'2 sin 2 θ ] = mgh 2 2 2( M + m) gh v' = M + m sin 2 θ m 2 gh cos θ V = ( M + m)( M + m sin 2 θ )

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• 1) 已知运动,求受力:求导过程 已知运动,求受力: 2) 已知受力,求运动:积分过程 -marketreflections- ♂ (282 bytes) () 06/18/2010 postreply 16:19:30