对于多个简谐运动。用复数描述振动计算上更方便些

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拨动那条琴弦(2010-05-09 10:51:08)
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那条琴弦拨动了物理学的很多领域。经典力学中有机械振动和机械波、电磁学领域有电磁振荡和电磁波、作为微观理论基石的量子理论中描述系统状态的函数叫波函数，de Broglie关系把物质和波联系了起来。

线性振动的势能曲线，在极小值处是抛物状；除了任意常量项外，势能U只包含从平衡位置算起的位移S的平方项：U（S）=二分之一、势能在平衡位置处的二阶导数、位移的平方三者的乘积；恢复力与位移S方向相反呈线性关系：f=-势能在平衡位置处的二阶导数与位移S的乘积。这样的振动可用正弦函数描述，也叫简谐振动。

用三个参量就可以把一个简谐振动定下来。振幅A代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离；角频率w；相位，t=0时的相位叫初相位。相位是相对的，对于单个简谐运动，通过零点的选择总可以使初相位为0，对于多个简谐运动。用复数描述振动计算上更方便些；振幅和i初相位的e指数乘积称为复振幅。简谐振动就可以写为复振幅与iwt的e指数的乘积。在计算上振动量对时间t求导数相当于乘上一个因子iw，求n阶导数就相当于乘上iw的n次方。

振动可以合成当然也可以分解。对于同频率振动的合成问题就是计算出合振动的振幅A和初相位；可通过简单的矢量关系与三角函数的变换就可以计算出合成振幅与初相位。从结果看出合成振幅的大小与分量的相位差有密切关系。对于非简谐振动可用傅立叶分解成许多简谐振动(数学上已经证明)；傅立叶分解就是任何一个周期函数都可分解成一系列频率为基频整数倍的简谐函数。从数学上说就是非周期函数都可以用周期函数展开，而这些周期函数必须是完备的（是否必须正交）。在一个n维线性空间中的任意一个向量都可以用该空间的一组基底表示出来，一个基底就是该空间的一个最大线性无关组；而一个线性空间的最大线性无关组并不唯一，也就是一个向量可用多种基底表示。在物理上有更加清晰的意义。量子力学中所说的波函数就是希尔伯特空间中的向量，我们可以选择一组完备系（数学上的最大线性无关组）把任意一个波函数表示出来（态的叠加，薛定谔猫）；为了实际处理问题的方便，选择什么样的完备系有时候成了问题的关键。

振动依靠介质可以向远处传播（电磁波需要介质吗？呵呵）这就是波动。简谐振动向远处传播就是简谐波。振动只是运动状态随时间做周期性变化，而波动是运动状态既随时间变量又随空间变量做周期性变化。描述一个波动方程就需要时间变量和空间变量。在坐标为x处t时刻的振动状态是振源在t-j时刻的振动状态。和时间t在一块的是w代表单位时间里相位的变化；和空间x在一块的是k代表单位距离内相位的变化。波向反方向的传播在方程中体现在空间项的正负号上。简谐波用复数表示可以给计算带来方便，只是数学上的处理，有实际意义的是复数的实部或虚部。

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波动向前传播的是振动状态和能量。这种经典波可以用复数和牛顿力学知识计算出波动在单位时间内传递的能量（能流）和单位长度内的能量。能流等于单位长度内的能量与能量传播速度的乘积，反过来用能流和能量密度可以计算出能量传播的速度；而这和从色散关系算出波的传播速度w/k不一样。这需要从波的群速和相速来解释。波包是由一群单色波组成的波列。真正的单色波（频率单一的波）的波列必须是无穷长的，有限长的波列相当于许多单色波的叠加（傅立叶分解）。当波包通过有色散介质时，其中各分量将以不同的波速（相速）前进，整个波包在向前传播的同时，形状逐渐的改变。波包中振幅最大的地方叫做它的中心，波包中心前进的速度就是群速。通过计算（基本上就是三角函数的变换）波包的振幅可看做是受到低频调制的高频列波。高频的传播速度为w/k，相当于波包的相速；低频包络的传播速度dw/dk，就是波包的群速。在无色散时两者是一致的，有色散时就不一样了。波的能量正比于振幅的平方，波包的中心正是能量集中的地方，它传播的速度（群速）就是能量的传播速度。

声波是频率在16—20000Hz之间的机械波，低于次频率直到0.001Hz的波是次声波，高于次频率直到5乘10的8次方Hz的波叫超声波。牛顿用很简单的几个力学知识就推导出了连续介质中声波的传播速度；声速等于压强对密度微分的二分之一次方。拉普拉斯（1749-1827，法国）指出了牛顿的错误，认为声速传播的很快，来不及与外界交换热量，应视为绝热过程。他引入了一个绝热指数，得到了现在认为正确的声速公式（我在学热统的时候学到）。声波在介质单位面积上的平均能流也就是声波的平均能量密度叫声强，计算可得与介质密度、在该介质中的声速、角频率和振幅有关。

当汽车迎面奔来与离自己远去的时候听到的声音不一样，这就是声波的多普勒效应。这种效应是由于声源和观察者的相对运动造成的；这里声源运动速度和观察者运动速度符合伽利略变换，这些速度都是相对于介质而言的。当观察者向声源方向运动时相当于声速增大了（以该观察者为参考系），背离声源运动时相当于声速减小了，声速的变化会引起频率的变化（波长不变的话）；当然频率不会因为某个观察者的运动而改变，这只是一种观测效应（对某个具体的观察者来说）。光波（电磁波）也有多普勒效应，由于光速与参考系无关，光波的多普勒效应与机械波是不一样的（看电动力学的解释）。

波源的速度超过波速时，波面的包络面呈圆锥状，称为马赫锥；像飞行的子弹，超音速飞机的呼啸声。这种情况下波的传播不会超过运动物体本身，马赫锥面就是波的前缘，这种形式的波动叫艏波。任何物体的速度不能超过真空中光速（相对论的解释），但可以超过介质中的光速。当在透明介质里穿行的带电粒子超过那里的光速时就会发出一种特殊的辐射叫切伦科夫辐射（是运动带电粒子与介质内束缚电荷和诱导电流所产生的集体效应），它不同于单个粒子加速时的辐射。切伦科夫辐射就是电磁的艏波（介质中的电磁冲击波）。有静质量物体

的运动速度永远不能超过真空中的光速（狭义相对论），那么真空中的光速是不是宇宙中的最大速度，它是不是一个宇宙常数？光速不变是一个假定还是有严密的逻辑推导？光在介质中的速度要比真空中的小，这种产生切伦科夫辐射的带电粒子超过的是光波的群速还是相速？