Press（1967）认为证券收益由一个连续的扩散（布朗运动）和一个间断的跳跃（泊松过程）组成：前者造成了证券价格的连续变化，后

泊松过程
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Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松過程、布瓦松過程、布阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法國數學家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。我們說一個 隨機過程 N(t) 是一個時間齊次的一維泊松過程，如果它滿足以下條件：

在兩個互斥（不重疊）的區間內所發生的事件的數目是互相獨立的隨機變數。
在區間[t,t + τ]內發生的事件的數目的機率分佈為：


其中λ是一個正數，是固定的參數，通常稱為抵達率（arrival rate）或強度（intensity）。所以，如果給定在時間區間[t,t + τ]之中事件發生的數目，則隨機變數N(t + τ) − N(t)呈現泊松分布，其參數為λτ。

更一般地來說，一個泊松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間（例如：一個歐幾里得平面或三維的歐幾里得空間）中的每一個有界的區域，賦予一個隨機的事件數，使得

在一個時間區間或空間區域內的事件數，和另一個互斥（不重疊）的時間區間或空間區域內的事件數，這兩個隨機變數是獨立的。
在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變數，遵循泊松分布。（技術上而言，更精確地來說，每一個具有有限測度的集合，都被賦予一個泊松分布的隨機變數。）
泊松過程是Lévy過程（Lévy process）中最有名的過程之一。時間齊次的泊松過程也是時間齊次的連續時間Markov過程的例子。一個時間齊次、一維的泊松過程是一個純出生過程，是一個出生-死亡過程的最簡單例子。
中国证券市场股指收益分布的实证分析(2010-01-04 15:58:18)转载标签：杂谈 分类：转贴类

原文章出自： 中国证券市场股指收益分布的实证分析







RR/04/06
CFEF 研 究 报 告
中国证券市场股指收益分布的实证分析
黄德龙杨晓光
中国科学院研究生院虚拟经济与金融研究中心
中国科学院研究生院虚拟经济与金融研究中心 RR/04/06
中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室 2004年6月
中国证券市场股指收益分布的实证分析*
黄德龙† 杨晓光‡
摘要：本文从实证出发多角度考察了上证综指和深证综指收益的分布特性。在拒绝了正态性假设以后，我们利用国际上考察股票收益分布所使用的几个分布函数——逻辑斯谛分布、Scaled-t分布、指数幂分布、混合正态分布——对股指收益数据分别进行拟合。然后对拟合出来的分布函数运用拟合优度检验，并比较各种拟合分布下VaR值与历史模拟的差别，我们发现Scaled-t分布和混合正态分布能够较好地模拟股指收益。特别地在尾部Scaled-t分布比混合正态分布拟合效果更好，能够更好地帮助投资者正确估计市场风险。此外，我们比较了正态分布和Scaled-t分布的差别，由此量化用正态分布模拟股指收益可能带来的对高收益和高损失可能性的低估。
关键词： 股指收益正态分布 逻辑斯谛分布 Scaled-t分布指数幂分布 混合正态分布 VaR
一 引言
研究中国股市收益分布，不仅有助于我们认识中国证券市场的内在运行规律，从而采取正确的证券市场监管措施，而且可以帮助市场参与者进行资产定价与资产组合，正确进行风险度量，更好地使用现代风险管理技术，因此有着重要的实践意义。
西方的计量经济学家们对于证券资产收益率分布的研究由来已久。早在1950年代，Kendall(1953)和O*****orne(1959)就通过对英国和美国股市收益率的数据分析研究认为：股票资产的收益率近似服从正态分布。这种观点符合统计学中的大样本思想，再加上正态分布的性质容易处理，从而广为研究人员和业界所接受。比如1973年提出的Black-Scholes公式就是以对数收益率满足正态分布为基础建立起来的；资本资产定价模型（CAPM）假定收益是关于时间独立同分布的，其联合分布为多变量正态；1994年 J. P. Morgan公司推出的VAR 系统Risk Metrics, 实质是假设有价证券的收益率服从正态分布。
股票收益的正态分布假设被如此广泛地应用着，但反对它的声音却从未间断过。
Alexander（1961）对O*****orne的数据重新进行了分析，认为尖峰、厚尾是证券资产收
*本研究由国家自然科学基金和MADIS的资助。
† 单位：中国科学院管理决策与信息系统重点实验室。
‡ 单位：中国科学院管理决策与信息系统重点实验室、中国科学院研究生院虚拟经济与金融研究中心。
益率的基本特征，用正态分布来描述金融资产的短期收益率是不太合适的。
Peters（1991）发现1928到1989年的S&P500股票收益呈现负偏、尖峰、厚尾的特征。
从学术的角度去看，当信息没有及时为整个市场所知或者投资者没有对信息做出及时反应的时候，正态分布假设确实是值得怀疑的。如果信息按照一簇一簇传到市场，而不是按照线性方式及时地到达，从而导致信息的分布呈尖峰态，股票收益的分布将因此受到影响。另外，即使信息能够流畅地传到市场，但投资者并没有及时做出反应，而是当一些信息堆积起来的时候，投资者才会消化这些信息，这样也能导致股票收益分布的尖峰态。对此，Peters（1991）做出了理论性的推导。
近年来很多学者，对这一问题作了进一步的研究,尝试了用一些各不相同的分布来描述股票资产的对数收益率，从而考虑到它的尖峰、厚尾、负偏特征。
Smith（1981）首先提出用逻辑斯谛分布来模拟股票收益，这种分布近似于正态分布，不过比正态分布厚尾。其后，Gray和French（1990）、Peiró（1994）对逻辑斯谛分布的拟合优劣性作了进一步的分析。
Hsu（1982）、Gray和French（1990）曾经讨论过指数幂分布，这种分布具有尖峰和厚尾的特征，尾部以指数级的速率缩小，因而可以给股票收益分布给出一个不错的拟合。
Press（1967）认为证券收益由一个连续的扩散（布朗运动）和一个间断的跳跃（泊松过程）组成：前者造成了证券价格的连续变化，后者反映了消息面带来的较大的震动。Kon（1984）为这种混合正态分布找到了实证的证据。
Praetz（1972）、Blattberg和Gondes（1974）、Gray和French（1990）、Felipe 和Javier (1997)认为Scaled-t分布比其它分布更好地拟合了股票收益。当自由度增大到较大时， Scaled-t分布趋同于正态分布。特别地，Praetz（1972）在假设证券收益波动性是一个时变的随机变量的条件下，从理论上推导出证券收益的分布满足Scaled-t分布。遗憾的是，他的理论推导微有瑕疵。
近年来人们对中国股票市场收益的分布特征也进行了一些相应的分析与研究。
闫冀楠、张维（1998）分别用指数幂分布、ARCH模型、混合正态分布拟合了1990年至1996年上证综指收益的分布，结果显示这三种分布都比正态分布更具刻画力，且其中混合正态分布为最佳。
陶亚民，蔡明超，杨朝军（1999）分别运用柯氏检验法和异方差的t 检验法对上海股票市场股票收益率的分布特征进行了实证分析。研究认为在排除异常事件干扰的情况下，收益率服从正态分布。
陈启欢（2002）认为中国的股票市场的收益率从整体上完全不符合正态分布，而大体上符合自由度5～9 的t分布。
封建强、王福新（2003）考察了描述股票收益率的多类分布函数的基础上，以稳定Paretian 分布与t 分布为备择分布，研究了沪、深股市综指收益率的分布函数的形式。
林美艳、薛宏刚、赵凤群（2003）用JB 检验法，得出了上证综合指数收益率分布与正态分布有明显的偏差，用t分布对日收益率进行拟合的效果比较好。
有关中国股市收益分布的其它研究，还可参见张维、黄兴（2001），李亚静、朱宏泉（2002），马玉林、施红俊、陈伟忠（2003）等。
本文中将会考察上证综指、深证综指的分布特性。首先对数据的基本统计量作些分析，接着我们通过D检验验证正态分布假设。接下来利用国际上考察股票收益分布所使用的几个分布函数——逻辑斯谛分布、Scaled-t1分布、指数幂分布、混合正态分布——对股指收益
1本文重点考察的Scaled-t分布有别于我们通常所说的t分布（student's t distribution ，又作学生t分布）和非中心t分布(noncentral t distribution)。Scaled-t分布的密度函数（见本文第三部分）与具有相同自由度v的非中心t分布的密度函数相差一个系数
数据分别进行拟合。对拟合的分布函数进行卡方检验，并比较各种拟合分布下VaR值与历史模拟的差别，我们发现Scaled-t分布和混合正态分布能够较好地模拟股指收益。特别地在尾部Scaled-t分布比混合正态分布拟合效果更好，能够更好地帮助投资者正确估计市场风险。最后，我们将比较正态分布、混合正态分布和Scaled-t分布在特定区间上的差别，由此量化用正态分布模拟股指收益可能带来的偏差。在附录中，我们对Praetz（1972）理论推导Scaled-t分布的过程做了勘误和注解。