对于一个无限深的方势阱，每一个能级上粒子的动量确实跟势阱宽度成反比, lower volatility as times goe

光子气绝热膨胀引出的一个问题：
遇到一个问题，求宇宙的半径绝热膨胀到现在2倍的时候微波背景辐射的温度，有人说光子的动量和装光子的盒子的线度成反比，直接把这个结论拿过来就用了。他对此的解释是使用驻波条件，这相当于光子在膨胀过程中始终是驻波，波节数量保持不变。但我对此非常困惑，不明白为什么宇宙发生绝热膨胀的时候光子在宇宙中的波节数量保持不变。

我可以理解动量和波长成反比，也知道驻波条件。但问题是为什么绝热膨胀的时候光子会始终满足驻波条件？驻波只是体系的本征态，光子没有必要一定总是处于体系的本征态啊？

有一个量子力学题，计算一维无限深方势阱中一个处于基态的波函数，在势阱宽度突然变化为原来二倍的情况下，体系波函数随时间的演化。在这个问题中，势阱变大之后，必须把原有的波函数按照新体系的本征态进行展开，因此在膨胀之后体系不再处于能量本征态，也不满足驻波条件。

我现在不清楚，光子的动量和盒子的线度成反比，这到底是一个统计物理的结论，还是单纯从量子力学计算得出的结论，也不清楚这个关系在什么条件下可以使用。当然，对于一个无限深的方势阱，每一个能级上粒子的动量确实跟势阱宽度成反比，但这就能说明体系在发生绝热膨胀的时候光子的驻波条件一定会被满足么？yinzhangqi 2008-11-12 04:55
如果这个势阱的宽度是绝热的变为原来的两倍,那么系统始终处于基态,驻波条件始终满足.
但宇宙中微波背景辐射变化是否能够用这个解释,我很怀疑.dfj 2008-11-12 10:46
如果直接使用光子的测地线方程，也能给出某个时刻光子的频率乘以此时宇宙的尺度因子为常数。blackhole 2008-11-12 11:26
[quote]原帖由 [i]fantadox[/i] 于 2008-11-12 02:40 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=12873&ptid=1408][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
有一个量子力学题，计算一维无限深方势阱中一个处于基态的波函数，在势阱宽度突然变化为原来二倍的情况下，体系波函数随时间的演化。[/quote]
绝热膨胀与突然膨胀是两回事。突然膨胀时，原波包是初始波包，但Hamilton量发生突变。粒子前后能量守恒。绝热膨胀时，过程是缓慢的。如果开始时粒子处于基态，那么中间每一时刻粒子都可以视为处于基态。粒子会对外做功，能量逐渐减少。见张永德的《量子力学》p. 335.

[[i] 本帖最后由 blackhole 于 2008-11-12 11:38 编辑 [/i]]fantadox 2008-11-12 13:30
blackhole：
如果从一开始就不是处于基态呢？是不是每一个分量在缓慢的绝热膨胀的过程中都会保持波节数不变？另外，这种绝热膨胀需要缓慢的膨胀速度，这个缓慢的标准是什么？尺度的膨胀速度远低于粒子的平均速度？多谢！

yinzhangqi：
宇宙微波背景辐射的光子当然大部分都不处于宇宙这个盒子中光子的基态，那样光子的波长应该跟宇宙的直径相当，而微波背景辐射波长却是厘米数量级的。

dfj：
我觉得这个东西应该是不需要用到这个的，blackhole兄所说的东西如果对任何本征态都适用就对了blackhole 2008-11-12 15:29
如果从一开始就不是处于基态呢？是不是每一个分量在缓慢的绝热膨胀的过程中都会保持波节数不变？另外，这种绝热膨胀需要缓慢的膨胀速度，这个缓慢的标准是什么？尺度的膨胀速度远低于粒子的平均速度？多谢！
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如果初始态不是基态，那么可以按H的本征态展开。在绝热膨胀过程中，这些展开系数应该（只是应该，没细想过）不变，只是那些本征态在慢慢改变。至于缓慢的标准，不知道。dfj 2008-11-12 16:40
我有点不明白，即使关于势井缓慢增大的那个结论是对的，但是，宇宙能看成一个势井吗？光子需要在宇宙的边界满足周期边界条件吗？何况现在根本不知道宇宙的整体拓扑。即使宇宙有限，是个三维球，但它并没有边界，这样一个“盒子”中的薛定谔方程应该怎么解？(当然在这里我们能想象波函数在同一点应该取值唯一，也就是具有周期性，但弯曲的封闭的三维空间的薛定谔方程还是比较奇怪。)

另外，我觉得在通常所说的“无限深方势井”中，粒子在整个空间范围都是相干的，或者说可以用波函数描述。而微波背景辐射的光子之间是不相干的。一直想思考 2008-11-12 22:16
还不清楚你的问题。有的背景我还不知道。


对于一个无限深的方势阱，每一个能级上粒子的动量确实跟势阱宽度成反比，但这就能说明体系在发生绝热膨胀的时候光子的驻波条件一定会被满足么？
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这不对。每个能级上的动量用傅立叶展开后，是N多动量的叠加。这里有经典的争论，关于pauli和landou 谁是谁非的。


按我对你题目的yy：这题目是否就是波函数只在宇宙范围内统计？如果这样，半径是有限的。那显然可以用pauli 的，只有2个简并的对应的能量本征态。但好多量可能非厄米。一直想思考 2008-11-12 22:19
...可恶的114啊，我现在打开网站至少2分钟phoenix 2008-11-12 23:04
blackhole说的应该没错
我刚推导了一遍量子力学导论绝热近似的内容,只要是分离能谱且体系的H相对时间变化很慢,
粒子将会处于"瞬时能量本征态"不变
缓慢的标准书上有的,就是H变化的矩阵元比上体系特征频率值远小于一,这样才能忽略其他跃迁振幅系数fantadox 2008-11-14 14:53
谢谢大家。

宽度为a的一维无穷深势阱中，粒子对阱壁有压力，这个压力本来应该等于[tex]hat{F} = {{-frac{partial hat{V}}{partial x}}_{x=a}}[/tex]，但由于是无限深势阱，在阱壁处这个值是无限大，甚至不能表达为[tex]delta[/tex]函数（有限深阱对粒子的作用力才能直接表达为[tex]delta[/tex]）。不过由于Hamiltonian中粒子动能与x无关，所以[tex]frac{partial hat{V}}{partial x} = frac{partial hat{H}}{partial x}[/tex]。根据F-H定理：[tex]left_n = left = -frac{partial E_n}{partial a} = 2frac{E_n}{a}[/tex]，刚好与经典势阱中单个粒子对阱壁的平均压力完全相同（想象一个动能为E的小球在两个墙壁之间来回反弹，每次反弹贡献给墙壁冲量为2p，两次碰撞的时间间隔是2a/v，这样也可以算出压力的平均值为2E/a）。在曾谨言的习题书里面，有个习题就是针对这个问题，不过方法与此不同，他先求出有限深势阱阱壁对粒子压力的均值，然后让阱深趋于无穷大，也得到上述结果。

上述结果说明：如果阱壁连续并且缓慢滴向外移动，那么粒子对阱壁压力所做的功就会导致粒子能量损失。如果膨胀前粒子处于第n个能量本征态，那么损失能量之后粒子刚好处于体系新尺度下的第n个能量本征态，也就是保持波节数不变。但切记这个过程必须是缓慢的绝热膨胀过程，如果阱壁突然向外移动，哪怕是一丁点儿，也会导致粒子不再处于能量本征态，体系没有对外作功因此粒子的能量均值不变。

至于宇宙中的微波背景辐射能否用类似的考虑，我不知道，我的水平也不足以回答这种问题。反正题目是这样出的，说作为一种简单的近似，可以把微波背景辐射看成一团在容器中的光子气，随着容器做绝热膨胀（当然，这种绝热膨胀所做的功转化为引力场的能量，并不是通过辐射压力对容器壁作功），所以实际上是要求做题的人按照这种方法处理，未必说明这种方法对于微波背景辐射是肯定有效的。

[[i] 本帖最后由 fantadox 于 2008-11-14 18:23 编辑 [/i]]一直想思考 2008-11-14 17:37
不过方法与此不同，他先求出有限深势阱阱壁对粒子压力的均值，然后让阱深趋于无穷大，也得到上述结果
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还是不清楚你楼顶题目的背景。反正题目说近似了，那就算了。

不过你这题目做过。曾的习题（单说上册）越到后面的章节物理思想越少，计算越多。fantadox 2008-11-14 18:00
[quote]原帖由 [i]一直想思考[/i] 于 2008-11-14 17:37 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=12945&ptid=1408][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
还是不清楚你楼顶题目的 ... [/quote]

没必要太清楚，题目就是说宇宙的微波背景辐射，在一种简单的观点下，可以看成宇宙早期的一团光子气经过绝热膨胀而来，问这团光子气的温度将会如何随着宇宙的半径而变化。这个题目并不是一个宇宙学题目，只是一个本科物理的题目。

曾的书确实没多少物理思想。dfj 2008-11-14 19:15
为什么不直接说光子的波长随着宇宙的膨胀而膨胀，而要通过“驻波条件”这么绕一下？