描述電子在庫侖位勢內的量子行為。薛丁格計算出這方程式的定態波函數

来源: marketreflections 于 2010-06-15 16:18:40 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (2516 bytes)

定态薛丁格方程式

薛丁格方程式主要分為含時薛丁格方程式與不含時薛丁格方程式。含時薛丁格方程式相依於時間，專門用來計算一個量子系統的波函數，怎樣隨著時間演變。不含時薛丁格方程式不相依於時間，可以計算一個定態量子系統，對應於某本徵能量的本徵波函數。波函數又可以用來計算，在量子系統裏，某個事件發生的機率幅。而機率幅的絕對值的平方，就是事件發生的機率密度。

不含時薛丁格方程式不相依於時間，又稱為本徵能量薛丁格方程式，或定態薛丁格方程式。顧名思義，本徵能量薛丁格方程式，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質

薛丁格夜以繼日地思考這些先進理論，既然粒子具有波粒二象性，應該會有一個反應這特性的波動方程式，能夠正確地描述粒子的量子行為。於是，薛丁格試著尋找一個波動方程式。哈密頓先前的研究引導著薛丁格的思路，在牛頓力學與光學之間，有一種類比，隱蔽地暗藏於一個察覺裏。這察覺就是，在零波長極限，實際光學系統趨向幾何光學系統；也就是說，光射線的軌道會變成明確的路徑，遵守最小作用量原理。哈密頓相信，在零波長極限，波傳播會變為明確的邉印？墒牵?麃K沒有設計出一個方程式來描述這波行為。這也是薛丁格所成就的。他很清楚，經典力學的哈密頓原理，廣為學術界所知地，對應於光學的費馬原理。藉著哈密頓-亞可比方程式，他成功地創建了薛丁格方程式。薛丁格用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到了與用波耳模型計算出的能級相同的答案。

但是，薛丁格對這結果並不滿足，因為，索末菲似乎已經正確地計算出氫原子光譜線精細結構常數的相對論性的修正。薛丁格試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式（現今稱為克萊因-戈登方程式），可以描述電子在庫侖位勢內的量子行為。薛丁格計算出這方程式的定態波函數。可是，相對論性的修正與索末菲的公式有分歧。雖然如此，他認為先前非相對論性的部分，仍舊含有足夠的新結果。因此，決定暫時不發表相對論性的修正，只把他的波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文。1926年，正式發表於物理學界[2]。從此，給予了量子力學一個新的發展平台。

薛丁格方程式漂亮地解釋了 的行為，但並沒有解釋 的意義。薛丁格曾嘗試解釋 代表電荷的密度，但卻失敗了。1926年，就在薛丁格第四篇的論文發表之後幾天，馬克斯·玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了 的物理意義[3]。可是，薛丁格本人一直不承認這種統計或機率的表示方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮。就像愛因斯坦的認為量子力學是基本為確定性理論的統計近似，薛丁格永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給馬克斯·玻恩的一封信內，薛丁格清楚地表明了這看法


薛丁格方程式的波函數的歸一化不會隨時間而改變。

[編輯] 完備基底
能量本徵函數形成了一個完備基底。任何一個波函數可以表達為離散的能量本徵函數的線性組合，或連續的能量本徵函數的積分。這就是數學的譜定理 (spectral theorem) 。在一個有限態空間，這表明了厄米算符的本徵函數的完備性。

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