由于古典位势理论与 Brown 运动之间的密切关系, 利用一般 Markov 右过程建立的位势理论就是所谓的概率位势论, 它是一

Hunt 假设与Getoor 猜测 (Hunt’s hypothesis and Getoor’s conjecture) 应坚刚 由于许多天才数学家的杰出工作, Markov 过程的理论经历了半个多世纪的发展到现在已经比较成熟, 它的重要性以及在其它领域的应用已经 众所周知, 但是, Markov 过程仍然是概率与随机过程领域的焦点与最富有漂亮结果的研究方向之一, 也是概率论中应用最广泛的随机过程, 尽管已过华年, Markov 过程的基础理论中也仍然有许多有意义的问题, 其中最重要的问题之一是Hunt 的 (H) 假设以及相关的所谓 Getoor 猜测. 由于古典位势理论与 Brown 运动之间的密切关系, 利用一般 Markov 右过程建立的位势理论就是所谓的概率位势论, 它是一般位势理论的一个重要组成部分, 也可以看成 Markov 过程的与分析联系的纽带. 概率学家 G.A.Hunt 是一个富有传奇色彩的学者, 它在博士毕业几年内留下三篇到现在仍然是概率位势论的经典论文后就离开了数学界. 由于他的工作, 他的名字被用来命名一类重要的 Markov 过程: Hunt 过程, 是指右连续且拟左连续的强 Markov 过程. 在他著名的论文[1]中提出了研究概率位势理论的一系列假设, 比如(E) 假设过程是暂流的, (F)假设是参考测度存在性假设等. 其中许多假设由于后来新方法的应用, 特别是 Kuznetsov 测度的引入和UCSD 的 P.J. Fitzsimmons, RK Getoor, J.B.Mitro 等的工作而显得不再重要, 但其中假设(H)却仍然不可代替且被人关注, 简单地说, 它是假设没有正则点的集是极集. 一个集合的所谓正则点就是在精细拓扑(即过程诱导的拓扑)下的聚点, 没有正则点的集合类似于孤立点集, 直观地说, 也就是过程从任何点出发都不会马上(在一段正时间内)碰到的集合. 所谓极集就是过程(几乎所有轨道)永远不会碰到的集合. 因此(H)假设是说, 任何点出发都不会马上碰到的集合将永远不会被过程碰到. (H)假设是一个概率假设, 是用过程轨道定义的. 对于直线上的一致漂移, 半极集就是可列集, 极集是空集, 所以不满足(H)假设. 而对 Brown 运动, 半极集与极集都是空集, 所以(H)假设满足. 在处理对偶过程的时候, 为得到一个满意的结果, 经常需要这个假设. 直到今天, 关于这个假设本质上在说什么尚没有一个满意的充分条件. Hunt 当时指出 (H)在对称的情况下是成立的(参考 [2]). 后来 M. Silverstein[3] 证明了满足截面条件的过程是满足假设(H)的(从对偶测度的角度). 而在一些极端不对称的情形下, 如一致平移, (H)假设不满足. 所以大家猜测 Hunt 假设 (H)实际上是一个关于对称程度的假设, 也就是说满足该假设的过程具有一定的对称性. 其次这个假设是否是一个很强的假设? 也没有明确的答案, 除了截面条件, 很少有过程可以验证 Hunt 假设(H). 截面条件肯定不是一个很好的充分条件, 对于 Levy 过程来说, 截面条件是指其 Levy 指数的实部控制虚部, 是个较强的条件. 但是大多数人倾向于认为(H)假设不是个很强的假设, 而是个轻微的对称性假设. Ranold K. Getoor 教授曾经说过他的“猜测”: 对于 Levy 过程, 除了类似于一致平移这样的极端不对称情形, 都满足 Hunt 假设(H). 他也多次在会议上提到他的这个猜测, 有的学者就把他叫做 Getoor 的猜测. 但是 Getoor 教授自己甚至不能清楚地描述什么情况下假设成立或者不成立, 也就是说他不能说明什么是极端不对称情形, 所以这个猜测更多的是一种感觉. 最后, 我们把问题明确地叙述一遍 1. 证明: 在 Levy 过程地情形下, 除去一些极端不对称的场合(需要界定), 半极集是极集. 2. 对于一般 Markov 过程, 发现更好的充分条件以保证满足 Hunt 假设. 参考文献 [1] Hunt, GA., Markoff processes and potentials, Illinois J. Math., I(1957), II(1957), III(1958), 1(44-93), 1(316-369), 2(151-213) [2] Fukushima,M., Oshima,Y., Takeda,M., Dirichlet forms and symmetric Markov processes, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1994 [3] Silverstein, M., The sector condition implies that semipolar sets are polar, ZW 41(1977), 13-33