边数-顶点数＝0,是任意封闭曲线的性质,不仅是三角形,保守场

来源: marketreflections 于 2010-06-13 20:16:27 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (1653 bytes)

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我们今天从AS定理的远祖开始来考察一下AS定理的世系演化。

平面三角形的内角和等于180度这一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一个好的祖先代表。

这个简单例子让我们看到了几何体上有代数，三对边夹角之和是个常数。因此，我们知道无穷多个三角形之所以能归为一类，用边数为3或角数为3来判断都不够好，而是因为有一个共同的不变量π。这个不变量是几何不变量。

三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。

这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。

更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶点已经难以看出来了。

于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、形状、长度、面积等几何量此时都不是本质性的东西。这说明几何之外，还有更一般的不变数，就是拓扑。拓扑不变量更有包容性，能够对更多的东西声明主权：xxxx自古以来就是我的领土。

任意封闭曲线有一个不变数对应，据说在古希腊就有人提到，但直到18世纪大数学家欧拉才真正认真对付。欧拉推广了上述不变数。他首先发现任意多面体的表面，存在关系：面数-边数+ 顶点数＝2。仿照上述例子，可以轻易地推广到无穷多面体表面，推广到任意封闭体表面，如球面。可见这个数2是所有二维封闭曲面的拓扑不变量，叫欧拉示性数。想想欧拉活在18世纪末，这种今天小孩子都知道的关系也才200年左右的历史。因此，必定还存在一些简单美丽的数学结果等待我们去发现。

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