抽象群，就是只谈元素和乘法

群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。

我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转 240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。

显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。

群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。