闲论Atiyah-Singer指标定理 方程解=本征值+边界条件

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原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构（如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。

对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。

不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）

数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：

（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。

这就是指标定理的全部内容。

可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。