黎曼几何的要点 高斯的曲率概念是一种 局域的概念。比如，人们不需要环地球一圈或是从太空拍摄的照片就可 以知道地球是圆的。这种环地

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纯数学的学习笔记
黎曼几何的要点：

1854年，Riemann在发表就职演说《论几何学的基本假设》中提出了流形的概念，并且指出：流形上赋予一个度量后，便可以研究其几何性质，如长度、角度、曲率等等。当时已经存在了两千年的球面几何和欧氏几何，以及新兴的双曲几何，都可以归结到 Riemann 的观点下来，即，曲率分别为常数+1,0,-1的几何。

William P. Thurston：三维流形上八种有意义的几何：

S^3 (三维球面几何)

E^3 (三维欧氏几何)

H^3 (三维双曲几何)

S^2×E^1

H^2×E^1

Nil

Sol

高斯关于内蕴几何的重要发现揭示出，如果要判断一个曲面 是否弯曲无须从更高维的空间里去整体地观察而只须在局部通过适当地 测量角度和线段长度即可得出结论。换句话说，高斯的曲率概念是一种 局域的概念。比如，人们不需要环地球一圈或是从太空拍摄的照片就可 以知道地球是圆的。这种环地球一圈或是从太空观测得到的是地球的整 体面貌，是曲面(地球表面)的整体结构，（？）是拓扑学所研究的范畴。球面 在局部凹陷或隆起一些并不会改变它在整体上是球面的性质。从拓扑角 度看，即使是在局部形变的情况下，它仍不同于平面或轮胎面。拓扑学 与微分几何的联系是所谓的整体微分几何，主要是通过空间各处局部的 测量得到关于空间整体的拓扑性质。这方面最著名的一个例子是 Gauss- Bonnet 定理，这个定理是说，将曲面在各处的高斯曲率积分得到的量是 一个拓扑不变量，事实上，这个量是 2π的整数倍。对于一个球面来说， 无论如何凹陷或隆起，这个量都等于 4π，对于轮胎面，它等于零；

http://www.lantianyu.net/pdf22/ts009059_5.htm

（1）高等代数里面n 维空间在黎曼几何里被称为一个流形；流形是点、线、面等几何空间概念的推广。坐标系称为标架；行列式为 +1 的正交矩阵形成了路径连通的索引为 2 的 O(n) 正规子群，叫做旋转的狭义正交群 SO(n)。E3中的全体正交标架的集合可以与6维空间E3×SO(3)等同起来。

（2）微积分里面求两点之间的曲线弧长欧氏度量表达式在黎曼几何被推广为黎曼度量，同一流形可以有众多的黎曼度量，诱导度量是欧氏空间中自然的度量，独立的黎曼度量需要给定。

（3）1910年，荷兰数学家Brouwer证明了维数是拓扑不变量,不同维数空间是无法同胚的。1890年G.皮亚诺构造的一条能填满正方形的“曲线”（一一映射但非连续）说明由维数的通俗定义（确定整个图形中点的位置所需要的坐标（或参数的个数））确定的维数小于等于真实的维数（0-4维空间的维数不因维数的定义不同而不同），四种维数的定义（小归纳维数ind、大归纳维数Ind、覆盖维数dim（也称勒贝格维数）、同调维数与上同调维数）符合维数定义的要求。对可分度量空间而言，前三种定义是等价的。若是度量空间，则ind ≤Ind =dim,而ind可能与此不等。

（4）圆周或者约当曲线局部同胚而非整体同胚于一维欧氏空间R。流形定义为满足Hausdorff公理(这里不作介绍了)的拓扑空间，每个点的局部都同胚于n维空间 R^n. 按定义，R^n 本身就是一个流形；圆周是流形，每点的局部都有一段弧同胚于 R^1；各种曲面都是流形，局部同胚于 R^2.有边界的宇宙模型，用拓扑的语言来说，就是一个“带边流形”。带边流形的边界是比它本身低一维的(？无边)流形。例如圆盘是一个二维带边流形，它的边界是圆周；实心球是三维带边流形，边界是球面。

（5）定义域M到值域R的映射是纤维丛(积流形)M×R的一个截面，流形上的矢量场就是某个矢量丛的截面。

（6）按物理背景定义的线性函数是一次函数，n维线性空间V/P上全体线性函数组成的集合L(P，V)也是n维线性空间，称为V的对偶空间。一般而言，V/P的元素是点向量（逆变向量），L(P，V)的元素是由V到P的线性函数（协变向量）。V/P也可以看成L(P，V)的线性函数空间，构成V/P元素的线性函数是一个泛函或点函（自变量是线性函数或点，因变量是标量）。

注：L(P，V)应该写成L(V，P)，记为V*（V上全体线性函数（属一元线性点函）的集合），

L(V，P)=V*上全体线性函数（属一元线性点函，也属一元线性泛函，与V中的向量或矩阵一一对应，即点函（V*中的元素，也作为点函的自变量）的点函（V**中的元素）可用V中元素表示）组成的集合按定义记为 L(V*，P)=L(L(V,P)，P)

构成L(V*，P)=L(L(V,P)，P)=V/P元素的线性函数是一个点函（自变量是点，因变量是P中的标量）或泛函（自变量是线性函数，因变量是P中的标量）。

作为线性空间V中的元素（点）可以是数，向量，矩阵，函数等，V的表示不同时，作为对偶空间中元素的线性函数的具体含义也不同，？可以是线性实函/线性复函/一元线性点函/一元线性泛函

在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。


（7）李群是具有群结构的实流形或者复流形，并且群中的乘法运算和逆射是流形中的光滑映射。特殊简单的例子有：n维李群R^n,乘法是矢量加法；一般线性群GL(n)的乘法是n阶方阵的乘法。E3中的全体仿射标架的集合可以与12维空间E3×GL(3)等同起来。 一般线性群GL（n，R）或GL（n，C）。

（8）直线就是平直空间中的测地线。

（9）利用低阶行列式表示低维向量空间的数量积、向量积、混合积；利用分量函数的微商和积分表示向量函数的微商和积分；分量（函数）组成向量（函数），向量（函数）的3积；有特殊性质的向量函数：长度是常数、方向不变、与一个确定的方向垂直。

（10）E3中的所有曲线都能用参数方程表示，而用坐标之间的函数关系表示的曲线必定是处处正则的；切线方程X（u）由正则点r（t）和切向量r′（t）确定。

（11）曲线r′（t）=(cost,sint),0≤t≤π的弧长s=∫(上限π,下限0)|((cost)′, (sint)′)|dt==∫(上限π,下限0)|r′（t）|dt

（12）有限群的代数例子：n次单位根群Un（1761）

（13）由群的性质推导重排定理（群G本身和单位元群是群G的正规/不变子群），从而引出有限单群的概念。

（14）特殊性质的群：循环群一定是阿贝尔群，循环群〈G，⊙〉的任何子群都是循环群

循环群仅有两类，即整数加群（Z，+）和模n剩余类加群（Zn，+）

（15）群的表示（同构）：Cayley，1854：李群和有限群都可以用变换群表示，有限群还能用置换群表示。

群的运算→群的子集的运算→子群的陪集→正规子群和商群→群同态基本定理

（16）N维线性空间一定同构于Rn吗？一定可以赋范吗？度量空间不一定是线性空间（度量不一定是线性泛函），内积空间中的内积是线性泛函。任意的非空集合可以构成内积空间吗？算子空间是函数空间的推广？

重点突破等价突破不同角度突破计算角度突破

领会不同数学内容之间的联系

实践素材：弄懂微分几何的来龙去脉，用朴素的语言注解现代纯粹数学教材的一次尝试

//微分几何高中引题

二次曲线的内蕴性质

曲线可以看成空间质点运动的轨迹

非内蕴表示：用向径表示E3中的曲线，闭区间到E3中的映射，向径用有序的三个坐标函数表示