林琼桂 波包宽度的平方以时间的二次函数增大,而相应的动量空间波包的宽度却保持不变. 因此,平面波在运动过程中必定仍保持为平面波

http://spe.sysu.edu.cn/course/course/slff/papers/Coll_Phys_03_wvpckt.pdf

由此可见,波包宽度的平方以时间的二次函数增大(如
果R (0) 量空间波包的宽度却保持不变. 因此,平面波在运动过
程中必定仍保持为平面波. 这将在下面直接证明. 一
个需要说明的细节是, 虽然按定义有Q ( t ) ≥0 , P ( t )
≥0 ,但由上面解出的结果看, Q ( t) ≥0 并不是显然的.
为了证明这一点,设P(0) > 0 (若P(0) = 0 ,则P( t ) =
0 ,由不确定关系必有Q ( t ) = ∞,反之若Q (0) = 0 ,则
P( t) = P(0) = ∞) ,则Q ( t) 可以改写为
Q ( t) = Q (0) - R2 (0)
P(0) + P(0)
μ2 t +
μR (0)
P(0)
2
(8)
由
(ψ0 , [ P(0) ( x - …x 0) ± Q (0) ( ^p - …p0) ]2ψ0) > 0
(9)
(该式不能为0 ,否则将导致ψ0 不能归一化) 容易推出
Q (0) P(0) > R2 (0) (10)
从而Q ( t) > 0. 由式(8) 亦容易看出,若R (0) t 较小时, Q ( t ) 先是减小,当t = - μR (0) / P (0) 时达
到最小值,之后开始不断增大,故波包最终必定崩溃.
值得指出的是, 上面的方程(6) 和解式( 7) 都与λ
无关,所以这些结果同样适用于λ= 0 , 即自由粒子的
情况. 换句话说,均匀场中波包宽度的变化规律与自由
粒子的情况完全一样.