龙腾读书论坛 » 哲学宗教 » （德）恩斯特.马赫：认识与谬误 首先必须评论一下，对于所谓的毕达哥拉斯定

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发表于 2008-9-27 23:07 | 只看该作者 第十七章 探究的小径

第一节

使自然的探究者满意的努力、活动和目标的简要而普遍适用的记述（deion）也许相当于这样：他想使他的思想尽可能地与事实一致且相互一致。相同的观念也可以用稍微变化的语句来表达，诸如：“完备而最简单的记述”（基尔霍夫，1874），“事实的经济的描述”（马赫，1872），“思想与存在的一致和思想过程在其自身之中”（格拉斯曼，1844）。向其他人传达思想对事实的适应就是把它转化为记述，如果这种记述是完备的和尽可能简单的，那就是经济的描述。记述思想的每一个可以避免的不协调或不完备、逻辑的差异或多余，都包含着损失，都是不经济的。尽管探究的这一特征也许是普遍的和非决定的，但是与对它的较专门的从而较片面的叙述相比，它很可能更有助于理解探究者的活动，一些例子将表明这一点。

第二节

科学的天文学观念是从朴素的和模糊的观点发展起来的。地球周围的恒星的天穹或天球的旋转是观察的直接表达。希帕克（Hip－parchus）首次尝试借助本轮描述太阳运动和太阴运动，从而成功地由许多比较简单的几何学观念推出运动的不规则性。托勒密（Ptole- my）把本轮方法推广到行星运动。菲洛劳斯（philolaus）、阿契塔和阿利斯塔克（Aristarchus）准备了日心观点，该观点由于对哥白尼（Copernicus）有用而获得惊人的进展。正如开普勒在1596年表明的，这使几何系统的十一种运动成为多余的。从行星系统必须受神秘的数值关系和几何关系支配的预设开始，开普勒努力借助高度幻想的、运用五种规则的固体的结构探索它们。不过，在二十二年之后，这些思索导致地发现，距离的立方除以轨道周期的平方对于所有行星是相同的（他的第三定律）。他用地球和土星的案例说明了这一点。基于第谷（Tycho）的观察对火星运动的研究产生了作为物理学假设的面积定律，该假设在回溯时被证明为真（1609）。他构想出“运动风”，这种风驱动中心天体周围的天体，随着中心距离的增加而减小。这个观念大概导致他得到第三定律和第二定律（面积定律）。在许多无结果的尝试之后，他找到了椭圆行星轨道，太阳处在一个焦点上。他于是把这三个定律推广到其他行星。牛顿的成就在于，使这些数目众多的个别记述可以从下述假定推导出来：行星以它们离太阳的距离的反平方被加速。他认为这些加速度是质量相互加速的特例，地球附近的重物的自由下落是其中最熟知的特例。因此，牛顿使天文学运动变成一般的物理力学的问题。但是，这一步也在哥白尼的尤其是开普勒的观点中已经准备好了，他们二人认为重力是质量的普适的相互吸引：开普勒不仅利用运动风说明圆周推动力，而且进而提到，假如不用某种像风一样的力或用某种其他相等的重量在月球轨道某处阻止月球，那么月球会落向地球。可是，二人还缺乏也使这一步发挥作用的伽利略和惠更斯的洞察。

第三节

这一发展清楚无误地表明日益准确的天文学事实的心理重构。起初，天体在恒星的天球上的表现运动必定是以粗糙的术语考察的，接着不规则性吸引我们的注意力，最后距地球的可变的距离也引起我们注意。今天，恒星的天球不再能够被视为球或固定的了。该过程未完成，也许从来也不能充分完成。与此同时，我们看见心理重构或记述不断变得更简单和更经济，以致它最终不再局限于它最初针对其被创造出来的事实，但是它却在更广泛的领域上有效。导向简化的步伐没有依据当时可以借助公式得到的推理，这从所需要时间流逝可以看出。开普勒因为对他的错误路线的承认和坦率陈述，他的《新天文学》格外在这里富有教益。在他成功之前，花费了二十二年的工作。关于牛顿，我们也知道，在他的观念的诞生和完成之间搁置了多年。丰富的幻想在一个或另一个被识别是通向简化的正确途径并被实验确认之前，产生了各种类型的夭折的观念。如果人们还没有发现提出正式意见的观念——这种观念在它本身向惊奇的探究者呈现出来之前必须进行猜测，那么所计划的探查可能毫无用处。在这里，最好在幻想的产物中发掘，同时使人们的眼睛盯住目标。开普勒的《宇宙的奥秘》（1596）和《宇宙的和谐》（1619）在这方面是十分有教益的。天文学的发展在数千年间在各种各样的头脑中吐丝结网，天文学十分生动地表明，科学不是个人的事情，而只有作为社会的事情才能生存。

第四节

对厘清和简化思想的需要不用说必定源于处于调研之下的领域，但是观念本身完全可以来自不同的领域。本轮很容易被任何有经验的几何学家或实践的技工掌握。哥白尼显然受到关于表现运动和透视图位移的日常经验的影响，这一点在开普勒那里被神秘主义的和万物有灵论的思想伴随。最后，作为物理学家和杰出的几何学家的牛顿添加了他自己的工作，消除了当时是多余的东西。在解答这样的问题的竞赛中，理智的视野的广度对于胜利来说是必不可少的，就像对于碰巧被选择、并被交付检验的观念的经济的批判性判断之敏锐性须臾不可或缺一样。当然，被选择的路线必须在心理学上是可能的，甚至对最伟大的天才也是如此——否则智力正常的凡人如何追随他呢？如果要把动力学应用于天文学，那么它必须被准备好而且已经在手头。下面的细致考虑表明，个人心理发展依然具有多么大的影响。惠更斯这位天文学家和物理学家本人提出了说明行星系统所要求的一切工具，但是依旧没有解决该问题，他也未能唤起对已完成的解答作任何恰当的评价。实际上，任何思考作为天文学运动的决定因素的重力的人，必定立即发现问题的实质：重力不能独立于距离，因为要不然甚至地球附近的石块也不会落向地面，开普勒第三定律不能存在。于是，人们不得不寻找落体的加速度对于距离的其他依赖，第三定律明确地指向反平方。胡克虽然与作为数学家的惠更斯未处在同一级别，但是他因引力辐射的思想进一步赢得赞同，并以这种方式把握有生命力的观点，从而获得了甚至超过牛顿的优先权。然而，牛顿是唯一制服整个数学问题的人。

第五节

考虑一下另外的例子。自古代以来，已知的电现象和磁现象被十分肤浅地看待，经常被混为一谈，直到吉尔伯特尖锐地强调了差异、居里克（Guericke）开始更精确地研究电以来，情况才有所改观。迪费（Dufay）的两种不同的电状态的发现、导体和绝缘体之间差异的辨别和逐渐出现的丰富现象，使库仑能够找到与艾皮努斯（Aepinus）较古老的一元论的数学理论相对照的比较完备的二元论的数学理论。至于磁现象，库仑能够以十分相似的样式处理它们。泊松进一步发展了两种理论，电和磁之间的类似再次出现了。这一纯粹的类似足以暗示两个领域之间的关联，这个猜测由于机遇强化了诸如通过放电使铁针磁化之类的观察，尽管这还没有导致实质性的结果。当伏打建造他的电堆时，他给电的研究以新的冲击，为追踪这一关联，人们进而作出了不成功的尝试。奥斯特最终幸运得足以发现该关联：也许是出于偶然，他在讲课时注意到，磁针被接近的伏打电堆的电流扰动。突然，他抓住了他和其他人在整个这一时期正在寻找的线索，此时问题在于不丢失它。他把磁针相对于接近的导线放到所有可能的位置，能够给出一切相关现象的综合记述，这种陈述是完全正确的，尽管由于它的难以对付和不熟悉的术语很难吸引现代读者。安培把事实总结成下述定则：磁针指北的极（北极）转向充溢正电流且面对该极的观察者的左边。“电流”（current）的表达是安培首先使用的，而奥斯特讲的是“电冲突”（electric conflict）。奥斯特认识到，电冲突没有决定任何吸引，它通过玻璃、木头、金属、水等等引起磁针相同的运动，以致它没有激发任何静电吸引或排斥，没有被局限于导线，而在导线周围的空间中传播到远处。他相像，一种电实体在使北极与它一致的一个向指上绕导线回旋，而另一种电实体相似地在使南极与它一致的相反的向指上绕导线回旋。正如我们知道的，对于适当的安排，磁极将绕电流载体回旋。这些朴素的观念比十九世纪中期的正式的学院观点更为接近今日的观念，它们被Th．塞贝克和法拉第在这个方向进一步发展了。塞贝克实际上描述了磁力的环形线，认为负载环行的电流是一类环形的磁体。事实上，这个案例表明，幸运的偶然性揭示了人们正在寻求的某种东西；不管是否寻找，它都会被留意的观察者接受，例如X射线和其他许多发现就是如此。然而，有两种境况是无法预料的，从而排除了任何按照计划的发现：首先，没有一个人能够知道，决定静态的磁状态需要动态的电状态。奥斯特提及的发现开回路在磁体上的效应的许多不成功尝试，盖出于此。那些只了解静力学现象的人如何能够发明包含动力学状态的实验呢？其次，静电学和静磁学中的大多数现象都关于正的和负的为对称。谁能够永远期望，北极会不对称他屈服于来自由磁针和平行于它的载流导线决定的平面的一侧呢？至于按照公式或法则的发现，我们在这里只不过是重复先前发生的理智境遇，这些实际上不是发现。每一个在精神上经历了奥斯特实验的人必定受到强烈的震撼，因为它突如其来地瞥见到新的和直到那时未曾料的世界。当对称表面看来是不那样完善时，对称激荡的这种奇怪的物理动因是什么呢？

第六节

奥斯特的发现极大地刺激了由于缺少成功日益疲倦的探究者的幻想和渴望，重要的发现迅速尾随而来，从而进一步地揭示了电和磁之间的关联。人们会期望，奥斯特也表明，磁体能够通过力学的反作用便可动的载流导体处于运动。安培猜想电流相互反作用，因为电流具有像磁体一样的行为。他本人认为这个猜测是大胆的，由于一块软铁对于磁体来说行为有磁性，但是相互之间却是中性的，然而实验证明他是对的。他的数学理论受到牛顿基本的超距力观念的强烈影响，虽然该理论经受不住今天的批判性审查，但是他无论如何表明，就它们的效应而论，可以认为所有电流能用磁体代替，反之亦然。他在最短的时间内并以最出色的方式，为他的时代的物理学创造了进一步探究的卓越工具。

第七节

如果对磁体而言电流行为像磁体的话，那么我们可以期望，它们对铁和钢来说行为也一样。不过，情况似乎并非只是如此，而且也是把阿喇戈引向电磁发现的偶然观察。放入铁锉屑中的截流导线本身被这些铁锉屑包裹达到羽毛管的厚度，当电流停止时，它使铁锉屑再次掉下来。这导致他托住载流导线在细铁棒和钢针之上和横越它们，使它们磁化，前者暂时磁化而后者永久磁化。在安培的建议下，阿喇戈然后把棒放入载流线圈内。他把进一步的发现归功于偶然观察到在铜盘上振动的磁针强烈减幅。由于假定反作用，他被诱导使圆盘急剧旋转，这引起磁针也旋转起来，以致铜似乎显示出“旋转的磁性”。使用电流使一片软铁转向磁体的问题被解决了。法拉第长期徒劳地力图利用磁体产生电流，直到一个幸运的偶然事件才帮助他找到行动路线。当插入和抽出线圈的磁芯时，他观察到与线圈相接的电流计显示出瞬时的偏转。这促成了感应的发现，他不久了解它的所有形式和法则。此时，他能够很容易地表明，在阿喇戈圆盘中存在电流，该电流当然具有磁效应。先前没有一个人这样试验，尽管研究给定的安培电磁等价原理似乎是显而易见的事情。这证明，所有可能的、甚或明显的思想路线决不是都被穷追到底的；但是，探究者越多，他们作为个人的差异将更有把握保证所有可能的心理路线将被追踪，科学将更迅速地进步。不用说，假若所有重复者彻底地调研阿喇戈圆盘的话，那么感应早在它被发现的七年前就该发现了。而且，感应在另一方面是稀奇古怪的，因为我们在这里几乎重复奥斯特的理智境况，在回顾时很容易看到这一点。A与B无关紧要，但是A并非与那个B的变化无关紧要。在一种情况下B是静态，在另一种情况下B是稳恒电流。像法拉第这样的天才当然很少有可能按照这样的公式思考问题，这个公式此后总是容易抽象出来的。

篇幅不容许多言，在这里简要地提一下麦克斯韦和赫兹的方程，该方程仅仅包含电和磁之间的关系的比较完备的阐明，它当时形成一个不可分割的整体，处在同化光学领域的过程中，这是从古代达到近代的科学发展的第二个例子。

第八节

在起电机作用时，尤其是当电从试探电极流出时，放射出一种特殊的气味，范·马吕姆（Van Marum）观察到这一现象。1839年，舍恩拜因（Schonbein）在形成蓝色烟雾所伴随的放电中，后来在电解水提供的氧中，数次闻到这种气味。这位化学家的活跃的和充足的幻想把这种气味与类似气体的实物联系起来，因为只有那种实物才能影响嗅觉。这是十分容易得到的，因为浸入散发气味物质中的金或铂迅速地变成负极，而银和其他金属迅速被它氧化，从而揭示出在加热时再次消失的化学性质。同样自然的是，舍恩拜因认为这种与氧结合的实物是化合物；他称它为臭氧。在空气中缓慢燃烧磷产生相同特性的气味，这一观察导致离解臭氧的化学实验，从而激起了许多争论。在1845年，德拉里弗（De la Rive）证明，臭氧是氧的同素异性体形式，马里尼亚克（Marignac）猜想到这一点。这个例子清楚地表明，在发明的过程中幻想的作用是多么重要，另外它把感觉与在不同条件下获得的经验（记忆）比较并使前者适应后者。对臭氧问题的比较细心的研究进而揭示出，同一事情在不同的头脑中的反映是多么不同，不同理智倾向的个人参与处理一个问题是多么重要和有益这里有触动个人好奇心的偶然观察如何能够开辟探究的新小径的典型例子。

第九节

当达盖尔（daguerre）试图在照像暗室中照亮被氧化的银底板以产生图像时，尽管他作出了许多尝试，但还是失败了。他于是把底板存放在小橱内，当他在数周后再次取出它们时，他发现在它们之上有最漂亮的图像，但是不能说明它们如何可能出现。从小橱中移走器械和药剂并无什么变化：放在其中的爆露的底板在几小时后总是显示出图像。最后，情况变得很清楚，余留下来的水银定影液是奇迹的原因，因为水银蒸气在某种程度上以莫泽尔（moser）的烟雾影像（breath im－ages）的方式沉淀在爆露的部分。他成功地借助镀金过程固定下可抹去的图像。就这样，偶然事件导致了所寻找的东西的发明和未找到的发现。不管过程的决定性的伴随条件是通过物理条件发觉的，还是通过思想实验——如果思想是充分适应的话——发觉的，它都未造成差异，这在于变异法的本性。为了认清物理的和心理的偶然事件以多少方式介入发现和发明，人们只需要列举一下一些著名的人名就行了，诸如布拉德雷（Bradley）、夫琅和费（Fraunhofer）、傅科、伽伐尼、格里马尔迪、赫兹、胡克、基尔霍夫、马吕斯、J．R．迈尔、罗麦、伦琴（Rontgen）等等。几乎任何探究者都经历过机遇的影响。

第十节

植物的茎干在整体上反抗重力向上生长，而根却与重力一致向下生长。给出这两个事实的恒久的结合，思想自然地想到，重力是生长方向的条件。而且，迪·阿默尔（Du Hamel）进行了特殊的实验，表明正在生长的植物总是通过弯向反面补偿强加给它的方向的任何变化，从而在正常的方向生长。奈特（Knight）添加了一些十分重要的实验。他在小竖直水轮的轴上固定了直径为11英寸的第二个轮子，轮子每分钟转150周。在其上容许蚕豆以最多变的位置发芽和生长。重力相对于植物的方向迅速而规则地变化，以致它不再会有决定性的影响：取而代之的是，植物此时与离心加速度的方向成一线，根背向轴而茎朝向轴，超过轴然后转向轴。在同一直径和每分250转的水平轮上，离心加速度和重力加速度结合为合加速度，它的方向现在决定生长。萨克斯（Sachs）的回转器比较小，以十分缓慢旋转速度抗衡重力，没有任何可察觉的离心加速度，它容许固定在它之上的植物在任何方向生长。不过，我认为他的错误在于没有估价这样的实验。对于毫无偏见的观察者来说，也许极为可能的是，重力决定生长的方向，不过这大概是由迄今忽视的十分不同的境况造成的。直到奈特实验，由于它们的质量加速度的大小和方向的变化，才清楚地表明，后者是决定的因素。此外，需要实验能够使我们把其他因素（光、空气、土壤的湿度）的影响与重力分开。穆勒已充分表明，一致法从来也不能像变异法或共变法那样是可靠的向导。尽管当时已知重力是生长方向的决定因素，但是这种效应的本性对于几乎另一个世纪来说依然是神秘的。诺尔（Noll）第一个猜测，像动物的statholiths一样，重力也以相同的方式刺激植物的向地性的适应。哈贝尔兰德特（Haberlandt）和内梅克（Nemec）的调研（1904）表明，在植物中statholiths被淀粉的细粒承接下来，这通过特殊的器官或感知和释放，决定向地性的适应。

第十一节

自太古以来，使人烦恼的最奇怪的问题之一是有机生命的起源问题。亚里士多德相信有机体来自无机物的原始发生，中世纪后期还赞同他。范·海尔蒙特（Van Helmont，1577－1644）还讲授如何生成老鼠。他关于在曲颈瓶中创造侏儒的设想，当时似乎不可能是如此冒险的。雷迪（Redi，1626-1697）这位西芒托学院（Accademia del Cimen－to）的成员表明，如果用一片网纱挡住产卵的苍蝇，那么在腐败的食用肉类中就不会出现“蛆”。当接着的显微镜帮助发现了在细节上难以追踪的许多微小的有机体时，这样的问题再次变得难以裁决了。尼达姆（Needham）首次想出这样的观念：加热玻璃容器中的有机物，以便杀死所有的微生物，然后密封该容器。不过，在一段时间之后，被密封的液体看来好像因新的纤毛虫而有生命。斯帕兰扎尼（Spallan－zani）认为，他用这个实验能够证明相反的结论，而尼达姆反驳说，斯帕兰扎尼在他的步骤中抽掉了动物生命所需要的空气。虽然阿珀特（Appert）为了保藏成功地应用了斯帕兰扎尼的方法，虽然其他探究者参与了调研（诸如盖－吕萨克（Gay-Lussac）、施旺（Schwann）、施罗德、杜施（Dusch）等人），但是该问题依然悬而未决，因为在这个困难的实验中错误的来源完全没有被揭露。巴斯德（Pasteur）在研究发酵时被引向生命起源问题，他在研究中认为，他明确地认识到有机生命。通过远端被用一团棉絮阻挡的管子吸出大量的空气，他截住了灰尘，然后用乙醚和酒精把棉团中的灰尘溶解出来，从而得到灰尘。显微镜检查显示出有机微生物的内容在类型和数量上有差别，这取决于空气是城镇、乡村还是山区的空气。如果把含有糖和蛋白的水在曲颈瓶中煮沸几分钟，在冷却后让空气通过灼热的铂管进入，在铂管处曲颈瓶被密封，它能够在25-30℃保持数月而不在液体中产生任何生物体。如果我们此时引进携带灰尘的棉团，同时保证在操作时只让通过灼热管的空气进入，那么在重新密封曲颈瓶后，生物体的形成物经常在24－48小时后出现。只有使处于灼热点的石棉起初和空气一起被吸出，它才在曲颈瓶中产生生物体的形成物。在细颈处有几个弯曲的敞开的曲颈瓶中，煮沸的液体即使在冷却后依然无变化，因为灰尘在潮湿的弯管中被止住；但是，如果人们力图通过颠倒敞开的曲颈瓶并把它浸入水银中，那么在水银表面和内部的微生物立即苏醒过来。

第十二节

这些实验也像正在揭示的错误来源一样是有价值的，它们结论性地证明，我们了解的有机体仅仅是从有机胚原基发展而来的。不过，普遍的生命起源问题通向太遥远、太深奥之处，以致用简单的物理学实验无法裁决。人们可能赞同费希纳的看法：与其说无机的东西。还不如说有机的东西是原初的，后者能够过渡到作为它的最终的和最稳定的状态的前者，但是反过来则不能。自然并非必须从对我们的理解力而言的较简单的东西开始。即便借助其他宇宙天体的流星碎片把有机胚原基传送到地球，也只不过能够就最低等的生物体构想生命的转移。只有高度发达的遗传理论才能解决这个困难。那么，什么迫使我们假定有机的东西和无机的东西之间的差异如此断裂，迫使我们相信从前者向后者的过渡是绝对不可逆呢？也许没有截然分明的分界线。化学和物理学确实距离理解有机的东西还很遥远，但是已经达到了某些成就，而且每天都添加更多的东西。巴斯德还认为，所有发酵都是有机的。今天，我们知道，类似于可能的化学反应的催化加速（奥斯特瓦尔德）的相似过程也必定能在有机领域中发现。想像一下我们直到那时对火的本性还相当无知的文明状态：只会熄灭而不会产生火，从而被迫利用天然发生的火。在那种情况下，我们应该正确地说，火只能从火传下去。可是，我们今天知道得更多。人们怎么能够设想这样的概念，即关于生命起源与能量守恒原理相关的问题是十分难以理解的呢。

第十三节

上述的科学发展大都是由史前深处的十分原始的观念开始的，但是今天决没有结束。为数更多的和通常愈加困难的问题出现了，取代了已被解决的问题或被鉴别为假的问题。知识是在十分曲折的路线上获得的，单个的步骤尽管以先前的步骤为条件，但是也部分地由纯粹偶然的物理的和心理的境况决定。近代天文学必须在古代天文学止步的地方继续前进。后者从几何学借用了许多东西，前者从物理学、尤其是从动力学那里获得帮助，动力学像技术光学和理论光学一样碰巧十分独立地发展了，而技术光学和理论光学二者进而对近代天文学有所帮助。后来，我们甚至发现化学与天文学处于相互有用的关系之中。没有玻璃和金属技术的帮助，没有空气泵和没有化学，我们的近代的电理论怎么能够存在呢？可是，伟大的历史上偶然的思想和万有引力——潜在的理论正是由此开始的——的贡献何其之多！把认知阶段图式化在相似的境况复现时也许会有益于进一步的探究，但是对于用公式探究而言不存在广泛有效的指导。不管怎样，我们的目的在于思想对事实的适应以及思想的相互适应，这依然总是正确的。在有机体发展的案例中，与此对应的是有机体对环境的适应和有机体各部分的相互适应。

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发表于 2008-9-27 23:08 | 只看该作者
第十八章 从心理学上看演绎和归纳

第一节

按照亚里士多德的学说：存在着两种推理类型或无矛盾地从一个判断推导另一个判断的模式：从较一般的判断到较特殊的判断，用三段论；从特殊判断到包含它们的一般判断，用现今所谓的归纳。如果形成科学或体系的判断能按照这些模式相互推导出来，那么它们便完全彼此适应而无矛盾。仅仅这一点就表明，新的知识源泉的开发不能是逻辑法则的任务，确切地讲，逻辑法则只是有助于审查从其他源泉引出的发现是一致还是不一致，若不一致则指明需要保证充分的一致。

第二节

首先利用一个方便的例子，理解一下在图7中图示的三段论：凡人皆有死（一般的大前提），凯厄斯是人（特殊的小前提），故凯厄斯有死（结论）。



J．S．穆勒指出，三段论不能产生人们原先没有的洞察，因为人们除非也确定了结论的特例，否则人们不能一般地说出大前提。除非有死包含有凯厄斯有死，否则它不能就所有人断言。为了确立大前提，纯粹逻辑学家必须等待任何未来的凯厄斯死去，而依赖三段论的凯厄斯却无法经验他自己的有死的确凿性。确实，没有几个人相信知识的创造唯有通过逻辑的功能，但是正如附随的讨论表明的，穆勒的批评有用地厘清了要旨。事实上，自从康德辨认出算术和几何学之类的科学并非仅仅由逻辑推导建立，而且也需要知识的来源以来，他就阐明了这一点。不过，纯粹的先验直觉原来不是这样的来源。贝内克也十分明白，三段论决没有超越被给予的东西。它们只是使我们更清楚地意识到判断相互依赖的方式。对于不仔细的心理过程的观察来说，三段论当然可以产生较广泛的洞察的外观。例如，让我们从下述命题开始：三角形的外角u等于两个相对的内用a＋b之和。若现在在外角顶点相交的两边相等，则u＝Za。若以这个顶点为中心我们画一个圆通过另外两个顶点，则新作的图表明，圆心角是周缘角的两倍，即是2a。然而，如果我们细心地消除附加的作图和用三段论来引入的特殊化的所有观念，那么我们没有发现比原来的关于外角的命题更多的东西。

第三节

探究这个命题的终极来源，我们发现它是一个经验事实，按照这个经验事实，我们能够测量的任何平面三角形的角之和未显示偏离两直角。在较长的推导中，新奇的外表甚至更强烈地出现了。以欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明为例。在ab上的正方形是acf的面积的两倍，而acf与三角形aeb全等；但是，两倍的那个三角形等于从b到ac的垂线形成的矩形agde。同样地处理在图8中没有表示出来的右边的部分，便完成该定理。在这里，我们利用了简单的全等定理（借助边和角决定三角形的大小和形状）和图形等面积定理。边的平方之间的奇异的和未曾料到的关系这一结果将使任何初学者感到惊讶不已，但是新奇性再次仅仅依赖于作图，而不依赖于推导的形式。请回忆一下，除了作图以外，所使用的定理建立在不改变大小和形状的情况下可以替代的图形的事实之上，这就是我们在毕达哥拉斯定理中看到的一切。



初学者也许从斜角的图形中获悉有关乎行四边形的命题，并把它应用到矩形，他可能从未在与那个命题的关联中想到矩形。如果他为该结果感到惊奇，那么他便不能在不涉及邻边的角的情况下以充分抽象的方式考虑对边的平行。请关注抽象并把注意力集中于本质而忽略要求实践的枝节问题吧，正如每一个学生将要经历的，不如此注意就会时而以这种方式、时而以那种方式离开原来的进程。例如，在进行演绎时，反复思考会引起注意和矫正这些离题，从而改善抽象。一些具有实践的人比如将看到，正方形的对角线相互平分对于所有平行四边形是共同的，相等的对角钱对于所有矩形是共同的，以直角相交对于菱形和某些其他四边形是共同的。

从较一般的命题（在它们的特殊化的形式中罕见地明确设想过）开始、推进到较特殊的命题的三段论演绎，借助改变和组合各种观点，通过一些中间环节，在这里能够使我们误以为看到未包含在前提中的新洞察。然而，相同的命题能够直接被看见，即使通过建立分离的要素更容易把握它们。演绎的恰当价值正是在这里，而不在于创造新知识。

第四节

如果把成功的案例用语言固定在定义和命题中，以便存储在记忆里的话，那么抽象的弱点便可大大地得到补救。这解脱了思维并使它免去疲劳，因为它将不必每次面临相同的努力。尽管必须从其他地方获得三段论藉以操作的基本知识，但是逻辑操作并非没有用处。它使我们清楚地意识到各种洞察相互依赖的方式，把我们从不得不寻求已经包含在其他一些命题中的特殊基础中拯救出来。即使我们在逻辑上由以开始的命题不是绝对可靠的，它们依然在逻辑上还是合用的。假定我们有未被确立的大前提B是A，那么它还会是这样的格：若B是A且C是B，则C是A。当我们把当代科学甚至数学的所有命题应用于不管是自然的还是人工的实在对象时，我们实际上应该正是在这一涵义上看待它们的，图为它们从来也不是完全对应于抽象的理想的。

第五节

现在，让我们考察一下三段论的配对物归纳，设C1，C2， C3……是其概念为B（图7）的类中的成员。我们观察到，每一个都落在A的概念之下。若C1，C2，C3……穷竭了B的外延且一切都归入A之下，则B作为一个整体也同样进行，归纳被称之为完备的。若我们不能证明所有C的成员落在A之下且我们在没有穷竭B的外延的情况下还推断B是A，则归纳是不完备的。在这个案例中，推论在逻辑上得不到辨护。不过，由于联想和习惯的功能，我们能够发现我们自己在心理上处在这样的状态中：期望所有C、从而还有B将原来是A。为理智的优势和实践的成功起见，我们能够想望它是如此，并尝试性地假定它是如此，不管在期望可能的或有希望的成功时我们借助本能还是借助审慎的方法论规定的方式。

第六节

完备的归纳与三段论一样不提供经验的拓广。通过把个别判断集中到类判断中，我们只不过使我们的知识更简明、只不过更扼要地表达了它。另一方面，不完备的归纳先于知识的拓广，但是由此包含错误的危险，从一开始就注定要受到检验、矫正甚或拒斥。我们比较容易得到的一般判断，绝大多数都是通过不完备的归纳获得的，通过完备的归纳获得的极少。用这种方式形成一般判断不是片刻的事情，也不是仅仅发生在单独的个人身上。所有当代人，所有阶层，事实上整整几代人，都协同起来强固或矫正这样的归纳。经验在空间和时间中传播得越广泛，对归纳的控制也就变得越敏锐、越综合。我们可以回忆一下世界史中的重大事件：十字军东侵、航海大发现、加强的国际交流、投术的发展以及这导致观点和见解变化的方式。抵制矫正时间最长的归纳是延伸到主观领域里的错误的归纳，在此处检验是困难的或不可能的。我们可能记得彗星作为灾祸预兆的观点、占星术、相信女巫、唯灵论以及其他形式的正式的和私人的信仰和迷信。除了用经验直接检验归纳外，还有并非不怎么重要的各种间接的检验：归纳满足归纳，它们或即时地或非即时地通过导出的结论证明自己相容还是不相容。例如，在非决定论的涵义上，自由意志如何适合于统计学的结果呢？包含在保险公司死亡数表中的归纳与包含在“凡人皆有死”的命题中的归纳，在价值上是多么截然不同啊。

第七节

三段论的大前提可以形形色色的方式得到，恰如归纳所依据的个别判断一样。这些前提本身可以是归纳的结果，或者是直接的发现，或者甚至是演绎的结果。在希腊的几何学家可能由以开始的命题，将无疑是直接归纳的结果。因此，情况似乎是，“直线是两点之间最短的距离”之命题，是直接从观察拉紧的绳子中获得的。对于阿基米德来说，它依然是基本的原理。然而，我们同样可以从这样的命题开始：它难以用经验精密地检验，但是它的结果处处与经验一致。牛顿力学正是从这样的命题开始的，实际上应该称其为假没。

第八节

在推导的数学命题中，例如在几何学中，完备的归纳常常起着中介的作用。在欧几里得的与圆心角和周缘角有关的定理的证明中，三个案例凸现出来，推导在其中是不同地进行的。只是在证明命题在所有三个案例中成立后，他才一般地宣布它。此外，在这里有心照不宣的归纳，或者至少有未明确提及的归纳。比如，如果我们特地考虑案例之一，那么我们观察到，周缘角的顶点能够在某些限度内移动而不改变所应用的推理模式。最后，我们可以认为中心角是连续地贯穿所有值而不必改变我们的进路。简而言之，我们正在使用完备的归纳作为证明的工具。与其他的推导类似的是，人们总是必须对可能的案例、被经验和实验促进的过程获取完备的概览。当一般地认为来自特例的推导是可靠的时，在这方面的缺陷间或导致严重的数学错误。在把数学应用于物理学、化学或其他科学的地方，自动地包含着这种心照不宣的归纳，因为在数学中，由于它的对象的均一性和连续性，相对容易达到所有可能案例的完备概览；而且，我们在这里涉及的是我们自己熟悉的、常常在实践中检验的有序活动。

第九节

为了启发的目的，甚至在数学中也往往使用不完备的归纳。沃利斯（Wallis）利用它推导按照某一规律形成的级数的一般项与和。这些研究可以看作是卡瓦列里（Cavalieri）关于求面积和求体积的思想的算术化，也就是积分运算的开端。雅科布·伯努利接着发现了把这样的不完备的归纳转变为完备的归纳的漂亮方法。他首先借助十分简单的例子说明它。设我们必须形成包含零在内的直到n的自然整数之和，简单的归纳产生1/2 n（n＋1）。为了表明这一般地对任何n均为真，我们添加一个额外的整数，并发现

1/2 n（n＋1）＋（n＋1）＝1/2（n＋1）（n＋2）

因此，相同的求和公式依然是可靠的，因为这个过程能够无限地反复，所以该公式一般地是可靠的。

第十节

这个例子是如此简单、直观和明白，以致它几乎不需要特别证明。接着，伯努利提及，这一程序能够用来估计平方和、三角形数等等。关于前者，例如我们通过归纳得到



这借助伯努利程序原来对n＋1也成立，因此对任何n成立。该程序的更一般的图式是这样的：若f（n）是级数的一般项，F（n）是通过归纳得到的和，则F（n）＋f（n＋1）＝F（n＋1），求和公式一般是可靠的。

第十一节

雅可布·伯努利的方法对于探究自然来说也是重要的，因为它告诉我们，在B概念的成员C1，C2，C3……上通过不完备的归纳发现的性质A，能够把它归于B，只要辨认出它与B约束在一起，因而独立于B的成员的变化。

第十二节

因此，三段论和归纳都不能创造新知识，而只不过保证在我们的各种洞察之间没有矛盾，清楚地表明这些洞察如何关联在一起，并把我们的注意力引向某个特定洞察的不同方面，从而教给我们在不同的形式中辨认它。于是，显而易见，探究者获取知识的真正源泉必然处在其他地方。有鉴于此，下述情况是相当不可思议的：涉及探究方法的大多数探究者仍然认为归纳是主要的探究方法，仿佛自然科学无所事事，只不过是直接分类敞开摆在周围的个别事实而已。并非我们希望否认也是重要的东西，而是它并未穷竭探究者的任务：他尤其必须发现相关的特征及其关联，这比分类已经知道的东西更为艰难。对自然科学来说，“归纳科学”的名称因此是没有正当根据的。

第十三节

只是从早已过时的传统和还在坚持的习俗来看，该名称才是可以理解的。考察一下培根的关于假定的赞成或不赞成的例子的一览表，或者穆勒的一致和差异的纲要，我们看到，比较能够使我们意识到迄今未注意的概念，即使它并非显著得足以吸引即时的注意力。如果我们专注于相互依赖的要素，同时把注意力从较少重要的要素分散开，这就是所谓的抽象。于是，我们产生了可以导致发现的激励，但是，如果注意力被误导，也可以产生导致错误的刺激。这种操作与归纳毫不相干。然而，如果我们考虑到，观察或枚举许多一致的例子而不管某些特征的变异，比考察单一的案例更容易导致关于稳定特征的抽象观点，那么我们实际上想起了这一程序与归纳的相似。这也许是该名称如此长期幸存的原因。

第十四节

至于不同的科学方法论的阐释者关于应该把什么称为归纳的观点，在一般的应用和特殊的应用二者中存在着巨大的变化。对穆勒来说，归纳是在某些特征一致的基础上从特殊到特殊的推理。另一方面，对惠威尔而言，只有产生比在特例中包含更多新的一般的命题的推理才是归纳推理。与穆勒相对照，他将不容许借助类比从特殊到特殊的推理——例如动物也可以引出的推理，例如指导日常实践活动的推理——是归纳推理。在这里，似乎很难画出泾渭分明的心理分界线。在穆勒看来，开普勒关于火星椭圆运动的发现是纯粹的记述，这一成就在某种程度像绕海岛航行，以便决定它的形状一样；而惠威尔则认为，该发现正像牛顿的发现一样是归纳，并补充说，不同的理论可以视为相同事实的不同记述：在归纳中本质的东西是新概念的引入，例如开普勒的椭圆、笛卡儿的漩涡、牛顿的引力反平方定律。按照阿佩尔特的观点，开普勒的发现建立在真正的归纳的基础上，因为它相当于找到火星处在一个椭圆上的所有位置。不过，阿佩尔特把伽利略的落体定律看作是演绎的结果。对我来说，我能够在开普勒和伽利略的发现之间看见的唯一差别是，前者只是在观察之后猜测到有用的概念，而后者在观察之前就猜测到了。惠威尔认为，在归纳中存在某种神秘的东西，某种难以翻译为言语的东西，我们将返回这一点。从这些观点的差异中，我们至少得知，在那里或多或少缺乏术语的精确性。由于术语归纳在形式逻辑中获得了固定的意义，在自然科学的方法论中用来表示像刚才勾画的许多大相径庭的活动，因此，我们今后将不再使用该名称。

第十五节

现在让我们尝试分析一下探究的程序，而不让任何命名迷惑我们。逻辑没有提供新知识。因此，知识是从那里来的呢？总是来自观察，这能够是通过感官的“外部的”观察或通过观念的“内部的”观察。依赖协调我们的注意力的方式，它将时而专注于要素的一种关联，时而专注于要素的另一种关联，从而把它在概念中固定下来：如果这原来是站得住脚的，并对于其他发现经受检验，那么它就构成知识；若不是如此，则构成错误。因而，所有知识的基础是直觉，直觉可能与感性知觉和直观观念二者有关，以及与潜在地是直观的和概念的东西有关。逻辑知识仅仅是特例，它纯粹关心的是发现一致或矛盾，除非存在感性知觉或来自先前确定的发现的观念，否则它不起什么作用。不管把我们导向在感性知觉或观念中的新事实的发现，是纯粹的物理机遇或心理机遇，还是通过思想实验有计划的经验的扩展，然而只有这种发现，才产生新知识。一旦激起我们对新发现的兴趣——因为它在生物学上可能直接或间接地是重要的，或者因为它与其他发生一致或不一致——那么唯有联想的心理机制将使我们的注意力集中在这一发现中关联的两个或几个要素：存在着不自觉的抽象和忽略表面上不重要的要素，从而把代表许多相似特例的一般案例的特征赋予个别案例。如果几个相似的发现积累起来，这种心理境况更容易产生，但是，如果我们兴趣盎然，一个发现可能足矣。不过，有经验的探究者可以做出尝试性的抽象，审慎而充分地意识到包含的大胆，在展望可能的成功中忽略次要条件。接着，比较普遍的思想必须经受观察和实验的检验，以便变得能站住脚。还有，在尝试性地把特例的观念扩展为较一般的思想时，我们在暂定的完成的过程中有某一任意性的范围。就扩展的部分而言，一个或几个特例就可以提供出发点。因而，显而易见的是，对开普勒来说火星在闭合的卵形轨道上运动，对伽利略来说落体的速度和距离增加，对牛顿来说热物体的环境越冷，它冷却得越快；不过，其余的必须通过他们自己的努力，从他们的思想贮存中添加。因此，对火星尝试性地假定的椭圆是开普勒本人的建构，就伽利略的假定即落体的速率正比于时间而言，就牛顿的假定即冷却的速率正比于温度差而言，情况也一样。与他们本人的概念活动有关的经验，尤其是关于排序、计算和建构的经验，必定帮助探究者用概念系统阐明他们的普遍思想；仅有观察不能做到这一点。我们就假设、类比和思想实验所说的一切，在这里都可以适用。这样形成的思想是否足够准确地描述事实，现在能够详细检验了。

第十六节

仅仅准确地查明事实和在思想中描述它们，就需要比通常设想的要多的首创精神。为了能够宣称一个要素依赖于另一个要素以及如何（按照什么函数关系）依赖，探究者必须超越直接观察到的东西，贡献出他自己的一些成分。认为人们能够通过把它称为记述而贬低这一点，也许是一个错误。

第十七节

事实的发现在多大程度上使探究者满意，完全取决于他的观点和视野以及他的时代的科学水平。笛卡儿满足于把漩涡作为描述行星运动的工具。对开普勒而言，他是从万物有灵论的观念开始的，他最终发现的定律是巨大的简化。牛顿首先从伽利略和惠更斯的力学中了解许多相对简单的成果，这种力学教给他如何决定物体在空间和时间中的任何一点运动的条件。对他来说，在每一个这样的点，在速度和方向上发生变化的运动从表面上看必定是某种十分复杂的事情。在他极力主张超越观察到的东西完成这些事业时，他猜想在这里可能存在较简单的、也许已知的、但却忽略了的事实。实践的力学告诉我们如何使绳子末端的物体旋转，而理论告诉我们如何把这个过程减化成最简单的事实。这是牛顿贡献的附带的经验。他遵循柏拉图的教诲，采取了相反的路线，设想问题被解决了，认为行星运动恰恰是这样的旋转。他通过分析发现，绳子张力的类型会满足问题的条件。较简单的新事实的发现存在于这最后一步，关于它的知识能够代替开普勒的所有记述。可是，注意到这个事实本身只不过是记述某一真实的东西，尽管它要基本和普遍得多。

第十八节

对于其他领域而言情况也相似。光的直线传播、反射和折射以与开普勒定律相同的方式被注意到。惠更斯受到他的关于声波和水波的经验的支持，尝试性地把这些复杂的和孤立的事实化归为几个波动的事实，这一步类似于牛顿的步骤。牛顿对于声波和水波的调研在十八世纪延续下来，最终能够使杨和菲涅耳仿照惠更斯的模型把握光的周期性和偏振。在这里像在其他地方一样，通过综合在一个领域获得的发现能够被用来分析另一个领域。柏拉图的方法在这方面总是有用的，尽管它们在此处是不很保险的指导，与在比较熟悉的几何学领域相比也不大容易应用。通过逐渐地引用比以往任何时候都广泛的经验领域，以便说明目前正在调研的一个领域，我们发现，所有领域最终变得相关，进入相互阐明的关系，这一点甚至现在在物理学和化学中是十分明显的。

第十九节

如果人们借助尝试性的分析程序发现了根本的观念，该观念为较简单、较容易和较完备的事实或事实集合的观点提供了前景，那么从这一基本观念演绎的这些事实以及它们的所有细节都可以用来检验该观念的价值。如果人们能够证明——这只有在最罕见的案例中才可能——这个观念是事实能够从中演绎出来的唯一可能的假定，那么这便相当于充分证明了该分析是正确的。惠威尔指明这样地与他称为归纳的东西结合在一起并相互支持的演绎的必要性。作为演绎出发点的普遍命题反过来是归纳程序的结果；但是，演绎是有条理地一步一步行进的，而归纳则跳跃地发生，处于方法所及的范围之外，因而，归纳的结果以后必须用演绎来辩护。

第二十节

藉以获得新洞察的心理操作从这一切中浮现出来，通常用不恰当的名字“归纳”称呼的这种心理操作不是一个简单的过程，而是相当复杂的过程。尤其是，它不是逻辑过程，尽管逻辑过程可以作为辅助的中间环节出现。抽象和幻想活动在发现新知识中起主要作用。惠威尔强调过，方法在这里不会有所作为的事实清楚地表明，他认为是神秘的特征依附于所谓的“归纳的”发现。探究者力图厘清思想，但是起初，他既不知道它，也不了解能够保险地在其中找到它的途径。然而，当通向它的目标或道路变得显现出来时，他为他的发现惊奇不已，就像某个人在森林中迷路，突然走出丛林，获得自由的前景，看见一切都是清楚地呈现在他面前一样。直到发现原理之后，方法才能以有序化和调整的资格介入。

第二十一节

如果人们受对事实之间的关联的兴趣指导，并听任注意力的焦点反复在事实上漫游，而不管事实呈现在感性知觉中还是仅仅固定在观念中，抑或在思想实验中变化和结果，那么在幸运的时刻，人们也许有可能窥见推进探究的简化的思想。这就是人们一般地能够说的一切。在这里，通过仔细分析成功思考的例子，通过从目的和手段都已知的问题开始、然后转向这个或那个较少截然分明地界定的问题，人们将获悉许多东西。由于在此处没有合适的方法指导我们接近科学发现，成功的发现好像要借助艺术家的成就，这一点对约翰内斯·米勒、李比希等人来说是完全了解的。

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发表于 2008-9-27 23:08 | 只看该作者 第十九章 数和测量

第一节

科学知识起源于在对象或感觉要素的相对稳定的复合中发现某些反应或反应群A和B之间的关联。例如，如果我们发现，由叶和花等等的某种形状和位置（反应A）系统决定的植物的种，此外显出某些受刺激的运动即向他性和向日性现象（反应B），那么这便构成了自然科学中的发现。不顾简化的分类术语的发展，通过排除误解的记述把这样的知识固着在可交流的形式中，依然是一项尴尬的事务。相同的尴尬也在与植物种密切相关的行为的记述中自我重复，这将再次具有许多必须特别留意的独特性。在考虑这些个别特征时，甚至更困难的事情在于，用综合性的记述确定较广泛的洞察群。对于胎生的哺乳动物群来说，依然可以证明共同的生理的和解剖的反应，诸如较高的血液温度、通过肺呼吸、双循环系统等等。然而，如果我们就“哺乳动物”考虑一下有袋动物、单孔目动物、卵生动物、鸭嘴兽、食蚁动物巨大的解剖的和生理的差异——它们在其他方面完全接近“哺乳动物”，那么我们明确认识到，要用综合性的记述传达动物学发现的广泛的群是多么困难。因此，要针对某些环境条件从细胞的特征和胚原基细胞的配置推导发展和生命循环，这个目的至多能够被看作是在遥远的距离徘徊的理想。

第二节

在物理学中，图像似乎与刚刚勾画的图像形成显著的对照。如果两个重物从绳子末端挂在滑轮上，那么我们只需要用若干较小的重物代替每一个，就能够说由较多数目的较小重物组成的重物将阻止另一个重物。如果重物由杠杆的不等臂悬吊，那么我们可以把它们的长度分成较小的相等部分，形成每一个臂和相应的重量的数之积：杠杆在较大乘积的一边失去平衡。因此，特定事实的记述容易从计数能够把分量项目分割的相等部分得到。这样一来，在该领域（比如说，杠杆的领域）的所有案例的差别仅仅在于有关特征的单位的数目，从而是如此相似，以致我们能够容易地通过指明从这些数推导或计算的结果的恰当法则而给出综合性的记述。为此理由，对于相当广泛的事实范围，综合性的叙述将是可能的，例如对于整个力学借助功的概念。相似地，自由落体或折射能够通过表上计数和记录的结果以最简单的形式记述，对这样的表幸运一瞥可能导致人们发现代替它们的简明的推导法则。空间、时间和强度的大小的分度可以依据任意小的相等部分借助计数（测量）实施。这能够使我们把可测量的东西视为由任意小的要素（“无穷小”）构成的，并把它们的进程还原为在无限小的时间间隔内的无限小的要素的行为。就此而言，我们能够以微分方程的形式建立普遍的计算法则。少数这样的方程在原则上足以描述力学、热力学、电动力学等等中的所有可以想像的事实。当然，这些方程的应用也能够在特例中呈现出显著的差异。在上面提到的生物学领域中，类似的步骤迄今还做不到。化学迄今仅仅部分地服从定量的处理，像化学这样的领域处在两个极端之间的中途。

第三节

如果定量的反应abc显现出与另一个hlm联系在一起，那么这个反应充其量能够被注意到，并用语言确定下来。对另一对定量反应def和nop而言，情况也一样。即使两个事实是接近的，要使它们在单一的表达下就范，一般而言也将是困难的。然而，我们要是越广泛地把定性的差异化归为定量的差异，则就范将是比较容易的。例如，把定性的化学分析的事实与物理化学中的相律比较一下。在较近的距离内，我们注意到，定量的调研只不过是定性的调研的特殊而相当简单的例子。例如，物理学与生理学相比达到较高的水平，仅仅因为这处理较简单和较容易的问题，因为这些问题更多地属于一个类型，以致用综合表达较为容易给出它们的答案，事实上，计数描述是可以想像的最简单的描述，并且能够借助预先掌握的数系，在不需要任何新发明的情况下，被推进到任何程度的精细而准确的区别。数系是一个具有不可穷竭的微妙性和广度的术语，迄今在明晰性上依然未被任何其他术语超越。而且，借助计数，任何数都能够从任何其他数推出，这恰恰是使数如此极其适合于描述相依的东西。特定的依赖仅仅由于可计数的东西而相互不同，考虑到这一点，我们同样达到更普遍的综合的相依法则。使用定量特征的这些明显的好处，必定激励我们考察，为了把所有调研逐渐地简化为定量的调研，对于可以与定性方面相关联的定量方面是否可能。于是，颜色的质变为折射率和波长，声音变成频率等等。它们中的一切都是定量特征。

第四节

而且，定量调研具有优于定性调研的特殊长处，在这里我们希望确定在感觉中给出的它们相互依赖的要素，这是我们身体外部的依赖，因此，在最广泛的涵义上属于物理学。为了使这些依赖变得纯粹，我们必须尽可能地排除观察者的影响和在他内部的所有要素的影响。通过下述事实可以达到这一点：所有测量仅仅在于比较什么在质上是相像的，在于注意什么是相等的和什么是不相等的，从而把诸如部分地依赖于观察主体的感性知觉的质从作用中除掉。内省心理学起初无法消除定性特征，测量概念迄今在那里几乎没有任何意义，但是通过把它建立在生理学上并间接地建立在物理学上，心理学家可以在未来改变这种事态。

第五节

让我们现在尝试从心理学的角度阐明，数的观念和概念如何起源于直接的或间接的生物学的需要。比如说，还没有获得计数概念的两三岁之间的儿童立即注意到，是否在未观察的时刻有人从一小群同类硬币或玩具中取走某个东西，或者是否把某个东西添入其中。甚至动物无疑受到生命需要的驱使，例如就内容辨认小群相同的果实，偏爱较大的而不是较小的。数概念的起源正在于精炼这种分辨能力的需要。在不丧失对成员的一般观察和个体性的情况下，能够把越多的成员收集到群中，我们将越多地重视这种能力。首先，儿童驾驭2，3，或4的群。在空间和时间中的邻近可能有助于形成群，而空时位置的差异可能制约区分成员的过程。第一个数的观念这样出现了，按照环境的影响具有或没有名称。这些观念通过视觉、触觉和听觉，在最后的情况下通过注意到节律而得以发展。由于在对象变化时我们用数的观念工作，我们利用数的名称被导向独立于对象本性的反应的一贯活动之观点，即被导向数的概念。为了得到相当大的群的数的明晰观念，我们把它们排列到清楚有序的、已经熟悉的部分之中。这一形成史具体体现在亚述人、埃及人、墨西哥人、罗马人和其他种族的数的符号中。我们的扑克牌和骨牌也证明了这个历史。因此，我们必须通过用清楚有序的和细分的方式描述对象群本身，带领初级学校的孩子沿着全体原始人自发地选定的同一道路前进。不过，这种维持一个群中成员的数目的明晰观点的策略，并没有把我们带到远处。

第六节

撇开这种使群的成员有序化的策略不谈，另一种方法会被人接受：人们把被审视的群的每一个成员分配给我们十分熟悉的对象群的成员。原始人利用他们的手指头，有时也利用脚趾，作为这第二个群。在儿时，我们也使用这种原始的手段，通过检查这些十分熟悉的对象，以增强我们的数的观念。如果此时在协调的过程中我们叫出手指的名字，而且我们完全非故意地、从纯粹的习惯出发，总是以相同的秩序贯穿它们，那么手指的这些名称通过频繁的使用失去它们原有的意义，变成数词。由于固定的秩序，最后的名字决定了全体的内容，即被协调的、被计数的群的成员的数目。这就是数词的起源，人类文化史表明了这一点。当人们数朋友或敌人的数目时，或者分配战争的劫掠品或打猎的全部猎物等等时，往往足以出现这种发展的需要和诱因。

第七节

借助小小的和明显的策略，能够把该方法或协调给予不受限制的应用范围，即通过把十的群算作较高的群的成果，把十个这些群算作更高的群的成员，如此等等以至无穷。同样地，能够把任何成员看作是十个较小的相等成员的群，当计数（测量）像长度这样的无限可分的量时，这是一个明显的步骤，但却是能够设想在任何地方起作用的步骤。

第八节

设群A和B的每一个都是由相同的成员组成的。把B的成员分配给A的每一个成员：若这穷竭二群，则我们说它们具有相同的容量，或更简明地说它们是相等的。若在A未被穷竭时而B被穷竭，则A的容量大于B的容量。我们把数命名为我们藉以就容量决定相似的成员的群和彼此区分它们的概念。在数概念代替数观念的地方，对于即时的直觉不存在进一步的需要，而仅仅对潜在的直觉有进一步的需要。数概念能让我们使群的容量至少变成间接地直观的，这无论在何处可能是必要的，我们要准备作出努力。是否必须把基数或序数看作心理上或逻辑上原始的需要，我们在这里不关心这个学术上的争论。在任何情况下，都不可能选择在事件后形成的这些系统之一，因为它对文化的发展来说毫无例外地是决定性的。小的数目的名字无疑可以在没有排序原则的情况下产生。然而，在数超过了直接直觉的地方，这样的原则对于形成数的概念是必不可少的，即使未明确地提到它。如果我们计数是恒等的对象、或者对我们而言被认为恒等的对象，那么我们把作为差异记号的数词附着于在其他方面几乎无法区分的对象上；但是，倘若这些名称还不是简单的和十分熟悉的排序记号系统的一部分，那么我们将立即再次失去对它们的控制。正是排序原则，由于每一个数藉以潜在地包含每一个在先的数的观念，同时明确地揭示出它在系统中两个确定的数之间的位置，因此它与通常的名字相比有助于数的巨大优越性。每一个按字母顺序的登记、书的页码、每一个按数目排列的存货清单等等，都清楚地给我们以迅速取向的顺序之值的印象。

第九节

数常常被称为“人类精神的自由创造”。在这个短语中所表达的对人类精神的赞美是足够自然的，因为人类精神给出算术的庄严结构。不过，如果我们追踪一下这一创造的本能的开端，并考虑一下产生对它的需要的环境，那么对理解它会有帮助得多。也许这将导致我们洞察到，在这个领域中的头一批形成物是由生物的和物质的条件无意识地推动的，直到它们已存在并经常证明有用处，它的价值才能够被正确评价。只是在理智受到这样的相当简单的形成物训练后，它才能够逐渐地产生出比较自由和有意识的发明，以迅速地适应目前的需要。

第十节

社会交流和贸易、买和卖，都要求算术的发展。原始文化使用简单的器具或计算机器便利它的计算，例如罗马的算盘或中国的算筹，这经由俄国变得为人所知，并在我们的初级学校生根。所有这些器具使对象符号化，以像借助小的可动物体、小钮扣、小球或其他标记计数；这些标记而非重物，是人们用以操作的项目。数十、数百等等的群被特殊的标记代表，这些特殊标记具有在器具中赋予它们的特殊器件。如果我们采取在某种程度上比较自由和比较广泛的器械（或辅助器具）的概念现，那么我们认识到，我们的阿拉伯数字或印度数字及其清楚的十进记数法——在这里碰巧无代表的群用零表示——本身就是计算机器，是能够在任何时候借助铅笔和纸建造的计算机器。这进一步减轻了我们的注意，因为数字把我们从计数群的每一类的成员的麻烦中拯救出来。

第十一节

现在，在社会交往中产生了形形色色的任务。例如，出现了把具有相似成员的两个或多个群结合为单个群并给出它们的数的需要，即出现了加法问题。最初的解决无疑在于数遍被结合的群，不管单个群数过还是未数过。事实上，儿童对于小的数还这样做，在这样获得计数经验时，他们通过添加数个单位、数十个单位等等应用于加较大的用十进制写出的数，并拥有较高阶的合成的单位。这个简单的例子足以表明，运算在于用先前实施的计数操作尽可能简单地代替直接计数从而省却它，在于针对这样的操作利用已获得的经验。运算是非直接地或间接地计数。设想我们必须加4或5位数，我们首次用直接计数进行，然后用惯常的法则进行，我们认识到，用后者大大地省却了时间和精力。实践生活的任务同样快地引起了减法、乘法、除法等问题，人们能够再次表明，这些问题是利用先前的经验简化和缩短计数的案例；我们愿抑制进一步的细节。

第十二节

物质环境对于算术概念的发展并非像时常设想的那样单纯。如果物理经验没有告诉我们存在着恒等的、不可改变的和恒久的对象的多样性，也没有告诉我们生物学的需要迫使我们把这些对象汇集成群，那么计数也许是没有目的感的。如果环境像在梦中那样在总体上是非恒久的、在每个时刻不同的，那么为什么计数呢？为了确定较大的数，如果直接计算在实践中由于所需要的时间和精力并非不可能，那么运算或间接计数的发明从来也不会把它们强加于我们。通过直接计数，我们仅仅注意到在直接的感性知觉中给予的东西。由于运算是间接计数的形式，因此它不能告诉我们有关感觉经验范围的任何本质上新的东西，实际上不能告诉我们从直接计数中能够获悉的东西。那么，数学为何能够为自然规定先验的定律呢？事实上，它必须把它自己局限于证明运算的结果和起点之间的一致，同时在这一过程中利用与数学家本人的排序活动有关的经验：充分把握这种活动依然是极其有价值的，而且继续从各个角度阐明事实。

第十三节

算术的最初开端是在为实践生活的服务中发展起来的。当算术变得对生活有特别的要求时，便导致进一步的进展。不得不频繁地进行相似运算的人在这方面获得了特殊的眼力和能力，将最乐于考虑如何简化和缩短他的步骤。于是，出现了代数，代数的符号不代表特殊的数，而宁可说把注意力转向操作的形式。代数一劳永逸地解决了所有在形式上相似的操作，只留下在用特殊的数运算时的剩余努力。代数定理、实际上一般而言数学定理，也总是表达排序活动的的等价。这对于表达二项式定理的方程的两边的例子也有效。如果我们在二次方程旁边写出根的公式，那么我们便确定两个操作的等价，恰如通过把微分方程和它的积分放在一起一样。顺便说及，数学的符号语言再次是一类减轻大脑负担的机器，我们容易地和经常地依靠它完成在其他方面会使我们精疲力竭的符号操作。此外，数学书写符号是成功的万国语中的最漂亮、最完美的范例，尽管它应用于受限制的领域。

第十四节

对等价对象的群的考察直接把我们导向整数的概念。如果对象是可以分为相等部分的个体，那么仅有整数就能够恰当地用来计数它们。然而，作为综合的乘法的对立面之分析的除法，导致我们在特例中把分离的对象或单位分割为分数，这当然仅仅对可分的单位才有意义；或者像求根这样的纯粹算术的操作，作为自乘幂的综合过程之对立面的分析的操作，导致杜撰无理数，这种数完全不能由有限的计数操作来决定。即使像加法和减法这样的最简单的操作，也为新概念的形成提供了诱因。操作7＋8总是可执行的，8－5也是如此，但是，如果我们正在处理等价的对象而无相对的特征，那么5－8包含不可能的要求。不过，只要上述的单位处于诸如贷方和借方、向前数步和向后数步等等的对照之中，这最后的操作很快变得可能了，并获得可理解的涵义。就这样，我们得到正数和负数对照的概念，它们用通常的加法和减法的记号表示，在该操作中需要确定首先呈现出来的这种对照。严格地讲，我们对此必须使用特殊的符号。关于所标记的数的乘法的记号法则通过下述介绍给出：积（a－b）（a－d）必须与通过插入简单值m和n代换因子所得的值一致。对于没有对立面的数而言，这样的法则没有意义。事实上，负数和正数二者都有正的平方，这意味着乍看起来负数的平方根必须是不可能的或虚的。的确，它长期以来像负数一样被看作是不可能的；只要唯一的对照是在正的和负的之间的对照，情况必定依旧如此。沃利斯受代数的几何应用的指导，首次把看作是＋1和－1之间的几何平均值，即＋1：i＝i：－1和i＝。在阿冈（Argand）以充分的普遍性精确地阐明它之前，这种观点或多或少地清楚地数次重现。通过把比例不仅与大小、而且也与方向联系起来，他把表达式a＋b 描述为平面上的矢量：从原点起我们沿一个方向走一段距离a，然后成直角走一段距离b。于是，平面的点能够用复数描述。

第十五节

这样一来，算术实践有时导致乍看起来似乎是不可能的分析操作，或者导致在结果上没有意义的争端。然而，我们依据较仔细的审查发现，迄今可应用的算术概念经过稍微修正或扩展便消除了不可能性，结果容许完全清楚的诠释，尽管是在较广泛的应用领域。当数学家以这种方式被迫违背他们的意愿修正他们的概念，并获知这样的步骤的价值和优点时，听任自由的发明更迅速地满足需要，甚或走在需要的前头，就变得更为自然了，请目睹一下格拉斯曼、哈密顿（Hamilton）和其他人关于矢量运算发明的例子吧，在这里数概念是为了适应几何学、运动学、力学、物理学等等的需要。

第十六节

让我们也考虑一下把截然分明的概念形成不仅给予无限地增加和减少、而且也给予实无穷的近代尝试吧。伽利略在他的对话（1638）的第一天提及这样的悖论：整数的无限集合似乎比平方的集合更大，而后者的一个数都对应于前者的每一个数，以致集合必定是相等的。他得出结论说，相等、较大和较小的范畴并不适合于无穷。这个思考的痕迹可以追溯到古代，它导致 G．康托尔（Cantor）关于集合论的研究。伽利略的例子表明，人们如何可能达到如下的定义：如果一个集合中的每一个元素是另一个集合中的元素且是唯一的元素，那么这两个集合具有相同的势，反之亦然。两个这样的集合被称为等价的。若一个集合等价于它本身的部分，则它是无穷集合。康托尔的研究表明，即使在实际上无穷的领域，恰当地构造排序概念，也能使人们依旧坚持一种概观。

第十七节

关于数论的逻辑－数学的描述，我们可以提到L．库蒂拉特（Couturat）撰写的明晰而有趣的书。我们的观点符合心理学的和人类学的考虑，这些考虑在任何情况下都是对逻辑方面的必要补充。对主体发展的深入细致的历史研究，在这里可以具有与费利克斯·克菜因（felix Klein）的著名讲演相同的有益效果。

第十八节

在从一开始我们正在处理就我们的实际兴趣而言是分立的对像之处，数论的应用是相对单纯的。许多探究对象，诸如广延和持续时间、力的强度等等，都不是即时地来自直接可数的等价成员的群。不用说，存在许多方式把它们分割为等价的可数的成员，对于这些成员中的每一个本身来说也同样，如此等等，但是必须使分割的极限人为地变得可感知和可区分，直到我们希望在其中止步的分割程度，因此最后单位的大小是任意的和约定的。然而，一旦我们以这种方式作出连续统，碰巧包含在进行的研究中的它的一部分能够由计数部分、即由达到任何期望的准确度的测量来决定。人为构造的数字连续统是在任何准确性水平上追踪自然连续统的条件的手段。可是在某处或彼处，我们必须在一个极限上停止，因为感官即使在人为支持时也是不完善的。例如，我们不能以无限的准确性观察，测量尺度覆盖被测量的对象，或它们的末端重合。这一相同的不确定性同样侵染了指明测量被测量的对象和测量尺度之间关系的结果之数值。事实上，相同的缺陷也与算术实际应用于分立地可数的对象有联系，因为它们预设的完美的等价实际上从来也没有被满足。

第十九节

如果我们不得不把连续变化的物理条件或物理量化归为量度，那么我们首先必须选择比较的对象或测量单位，并拟定如何判断另一个对象等于标准。倘若在不变的条件下对象能够相互代替而不损失结果，我们便认为对象在某些方面是相等的。两个重物相等，只要把它们单独地和分离地放在同一天平的同一盘子中时，它们引起相同的编转；两个电流相等，只要在它们相继地通过同一不变的电流计时，它们确定指针相同的偏转；对于磁极、热的程度和量等等而言，情况也类同。如果把n个等于该单位的重物放在同一盘子，让n单位的电流通过同一电流计导线（或通过闭合的相邻导线）等等，那么，若该单位是完全可以相互交换的，则结果仅仅由数值的度量n决定。

第二十节

如果借助数值量度确定了一系列相似的物理案例的决定性的条件，那么我们往往能够借助简单的推导法则、以对于描述事实来说充分的准确性，来描述它们相互依赖的方式。诸如折射定律、波意耳气体定律、毕奥－萨伐尔（Savart）定律这样的例子，都说明了这一点。当这样的定律一旦已知，它们常常能够在直接测量是困难的或不可能的地方促进间接测量。例如，连续地改变光源的强度是困难的，但是依据距光源等距离的、成直角被照明的两个接近的等面积的相等照明亮度，用眼睛判断两个光源相等则是容易的。如果现在我们能够表明，一个光源成直角地照明的面积恰恰像另一个相等的照明面积一样亮，而后者准确地收集的等于第一个的4，9，16……倍而却处在2，3，4……倍的距离处，那么能够把任何照明状态的测量化归为确定在相等亮度处的距离的关系，甚至通过眼睛把该测量限定为判断相等的和不相等的照度。

第二十一节

当我们把来自相似部分的物理探究构成整体时，我们必须总是当心，这种配合是否符合实在的添加物。例如，鉴于较强的光能够毫无保留地由相似的、独立的（不连贯的）光构成整体，而且总强度是各部分强度之和，因此众所周知，在某些条件下，我们对于一个小光源的光不再能这样做。同样地，同一音调的几个音叉的声音强度一般地不是各个强度之和，除非仅仅在周相重合的案例中。其他这样的告诫在W2的PP．39-57中提过了。

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发表于 2008-9-27 23:09 | 只看该作者
第二十章 与度规空间对照的生理空间

第一节

当我们的意识被充分唤醒时，我们发现生理空间即我们的感性直觉的空间是现成的，它与作为概念的度规空间大相径庭。几何学的概念大都是通过深思熟悉的经验获得的。欧几里得几何学的空间处处且在所有方向上具有相同的性质，它是无界的和无限的。如果我们把视觉空间——约翰内斯·米勒和赫林的“看见的空间”，它尤其对于观看的观察者来说是熟悉的——与此比较一下，我们发现它既不处处且在所有方向上均匀，也不是无限的，亦不是无界的。我在其他地方讨论的事实告诉我们，“上”和“下”、“近”和“远”对应于迥然不同的感觉。对于“右”和“左”来说情况也一样，虽然在这里作为生理对称的事实的结果。各向异性呈现在生理相似的现象中。当列车驶入时进入隧道的石块表现上增大，当列车驶离时五块表现上缩小，这十分显著地使我们想到这样的日常经验：与对应的永远不变的几何学对象不同，视觉空间的视觉对象在不缩小或增大的情况下不能被移动。甚至从处于静止的熟悉的对象来看，这也是清楚的。把一个开口大且深的圆筒形玻璃杯放在人的面部之上，或者把圆柱形的玻璃棒水平托住对着眉毛的弓形，它在这样一个不寻常的位置将显著地显现圆锥形，像喇叭一样地向着面部张开，或者在玻璃棒的案例中显得变粗了视觉空间类似于超几何空间而非欧几里得空间。它不仅是有界的，而且在这一点上是相当狭窄地有界。普拉蒂奥的实验表明，如果一个表面后退距眼睛超过三十米，那么投射到该表面的图像不进一步地显著缩小。任何必须依靠直接印象的朴素的人，包括古代的天文学家，都把天空大略看作是有限半径的球。事实上，托勒密已经了解、欧勒在近代讨论过的天穹的展平，告诉我们视觉空间在不同方向具有不相等的广延。O．措特（Zoth）开始给出这一事实的心理解释，他表明该现象取决于视域高度相对于头的角度。视觉空间的狭窄边界正是从全景绘画的可能得出的。最后，我们注意到，在开始时，视觉空间根本不是度规空间：它的位置、距离等等在质上而不是在量上可区分。我们称之为视觉度量的东西，只不过是在原初的物理经验和度量经验的基础上逐渐发展起来的。

第二节

皮肤这个具有复杂的几何形状的封闭表面也传达空间感觉。我们不仅区分刺激的质，而且也区分受附带感觉刺激的部位。如果这最后的东西的差别仅仅因位置不同而异，而且越是如此分离越远的话，那么我们的生物学的需要已被满足。E．H．韦伯（Weber）充分地阐明了与度规空间相对照的皮肤的空间感觉的巨大反常。这个范围的两点之间的距离——在此距离恰恰能够区分出两个相邻位置的接触——在舌尖上比在脊背中部小50－60倍。皮肤的部位显示出空间感觉的巨大等级。其点紧夹它们之间的上唇和下唇的范围似乎显著地接近，倘使人们横向抚摸面部以及这个范围的话（图9）。如果这个范围的点是处于两个相邻手指尖的距离的集合，然后沿着手的内表面滑向前臂，那么这些点似乎完全在那里落到一起（图10）。



在该图中，实际路线是虚线，表现路线用实线画出。皮肤触摸的物体的形状可以被区分， 但是皮肤的空间感觉大大劣于眼睛的空间感觉。舌尖正好能够分辨直径2毫米的管子的环形截面。两维的、有限无界的（闭合的）黎曼（Riemann）空间在这里对应于皮肤的空间。根据肢，尤其是臂、手和手指的运动的感觉，添加了对应于第三维的某些东西。我们逐渐学会用比较简单和比较直观的物理学框架诠释这种感觉系统。就这样，在暗处，我们能够大致不错地估计大拇指和食指之间的桌面的厚度，甚或我们利用每一只手的一个手指也能行。触觉空间像视觉空间一样与度规空间无关，它如同后者是各向异性的非均匀的：机体的主要方位即前后、上下、左右，都一致在两种生理空间中是不等的。

第三节

我们发现空间感觉在它不具有生物学功能之处没有发展，这并不会使我们诧异。由于我们对体内器官的功能没有影响，什么会成为告知它们的位置的要点呢？例如，空间感觉没有一直达到鼻子。人们无法区分，用两个小试管之一导入的气味是在左边被感到还是在右边被感到；但是，按照E．韦伯的观点，触觉的灵敏性能够达到远至耳鼓，耳鼓决定较强的声音感觉来自右方还是左方。这有助于确定声源的位置，尽管十分粗糙，只是对比较精确的定向来说不合适。

第四节

尽管在某些感觉中，空间和定域的特征使其本身比在其他感觉中被更独特地感觉到，但是詹姆斯确实正确地认为，每一种感觉都是有一定的空间性。定域因为受刺激的要素在这里对应于每一种感觉，由于通常存在几个或许多要素，我们能够在某种意义上谈论感觉的容量。在他的叙述中，詹姆斯数次提及赫林，赫林表示灼热的表面或被照明的空间等等像类空间（space－like）的印象。通常把音乐的音调作为完全非空间的感觉的例子，但是赫林附带评论说，较深沉的音调比较高的音调具有较大的容量，在我看来这是恰当的。柯尼希棒的最高听得见的音调几乎给人以刺耳的印象，而深沉的音调似乎充满整个头脑，或者更恰当地讲，似乎充满整个声学空间。定域声源的可能性即使不完善，但同样使人想起音调感觉和空间之间的关系。斯坦豪塞（Steinhauser）的双焦点视力和两耳听力之间的平行不可能走得很远，但是存在着某种类似，定域化借助小容量的高音调最佳地达到了，并且比较分明地确定了位置。

第五节

不同感觉包容的重量空间仅仅部分地是共同的物理领域。对于触觉而言，整个皮肤是可以达到的，但是只有它的一部分是可见的。另一方面，视觉作为距离的感觉本身在物理上达到更远的地方。空间定位用耳朵比用眼睛要不确定得多，被局限于更为狭窄的空间。不管怎样放松了不同空间感觉之间的原来的联系，它们都会通过联想进入关联，不管在此时具有比较实际的重要性的系统是什么，都准备好补充和代理其他感觉。不同感官的空间感觉可能是完全联系起来的，但是它们将是不等价的。不需要借助普遍的空间感官增强和完善明显的和适当的联想粘结剂。

第六节

所有的空间感觉都具有正确地指导自我保存动作的功能。这个共同的功能构成了它们之间联想的粘结剂。用眼睛看的观察者主要由视觉空间的感觉和观念引导，因为这些对他来说是最熟悉的和最有用的。在暗处或当他闭上双眼时，在他的皮肤上缓慢地画出的图形，借助被感觉的动作，通过想像他自己完成这些动作，便被翻译为视觉图像。例如，如果某人在我的额头画一个图形，该图形对我而言好像是R，那么，若他站在我的面前，他必定写的是R。在我头的背后，他必须写R，在我的腹部，他必然写R，倘若我辨认出这些记号是他本人写的R的话。仿佛正是在头两个案例中，我想像我的头是透明的，我自己在同一方位正站在它的背后，正在完成书写动作。在最后的案例中，我想像我本人在我自己的腹部上书写并离开腹部阅读。有视力的人要到达盲人的空间观念是十分困难的。盲人几何学家桑德森的成就表明，盲人也能够达到高度明晰的事实。对他来说，要使他自己定位必定在某种程度上依然是困难的，他用来把他的黑板划分为正方形的十分简单的方法表明了这一点。他通常把大头针牢固地嵌入角落和中心，并用绳子把大头针的顶端连接起来。不过，恰恰因为这种简单性，初学者必然特别容易理解他的有独创性的讲解。就这样，他通过把立方体分割为六个全等的锥体，每一具有立方体的一个面作底并在立方体的中心具有顶点。证明锥体的体积是相等底和高的棱柱的体积的三分之一这个命题。

第七节

我们可以假定，对于像人一样其身体具有三个主要方向的所有动物而言，空间感觉系统十分类似于人的系统，尽管不怎么发达。这些动物在上和下、前和后方面有差别。至于左和右，它们似乎是相同的，但是有助于行进速率的几何学和质量的对称不必使我们对解剖的和生理的不对称感到失望：不管不对称可能多么轻微，它都清楚地在这样的事实中出现，即与对称开头密切有关的动物常常呈现出十分不对称的形状；请目睹一下不对称的鲽，或无壳的蜗牛的对称和它们的有壳的亲属的不对称。

第八节

现在，如果我们询问，什么对生理空间和几何学空间是共同的，我们发现很少有一致之处。两种空间是三维流形。对应于几何学空间的每一点A，B，C，D……，存在着生理空间的点A’，B’，C’，D’……。若C处在B和D之间，则C’处在B’和D’之间。我们可以说：对于几何学空间中的连续运动，存在着与之对应的生理空间中的坐标点的连续运动。在其他地方已经指出，我们出于方便的缘故假定的连续性对于两种空间中的无论哪一个不需要是实在的。如果我们进而毫不犹豫地假定，生理空间是天生的，那么它显示出与几何学空间过分微小的一致，以致无法认为它是康德意义上的几何学先验发展的合适基础。人们至多可以利用它作为拓朴学的基础。那么，生理空间为什么如此不同于几何学空间？不过，我们如何设法从第一种的观念过渡到第二种的观念？这些是我们此刻将要尽可能尝试回答的问题。

第九节

让我们从简单的和普遍的目的论的反思开始。设想蛙的皮肤在各个地方受到酸滴的刺激。蛙将针对每一个刺激以相应于被刺激的部位的特定防卫动作做出回应。遇到不同的基本感官并沿不同路线进入动物身体的在质上等同的刺激引起反应，这些反应通过不同的路线反回到环境。对皮肤有效的东西对视觉和每一种其他感觉也有效。不仅防卫或逃跑的动作，而且攻击的动作，都相对于受刺激的部位和受影响的感官的个性限定了范围。我们可以回想一下蛙抓捕苍蝇，或者刚孵出的小鸡啄食谷粒。迄今所说的东西也适合于纯粹反射的反应，对植物以及低等动物来说就是如此。然而，如果反射反应由于某种目的不得不受到影响和修正。自愿的动作不得不代替它们，那么刺激作为留下记忆痕迹的感觉必定变得有意识。实际上，正如自我观察表明的，我们不仅辨认出刺激的质——例如燃烧，无论什么敏感的部位都可能受到它的影响——而且也辨认出不同的受刺激部位。两种因素决定我们反应的动作。我们可以假定，在这些案例中，易变的要素隶属于在质上相似的感觉，而这些感觉依赖于基本感官的特殊本性，依赖于受刺激的特定部位，或者用赫林的话来说，依赖于注意力的定域。在空间感知中，存在着基本感官多样性的最完美的生物学相互适应之间特别显著的表达。

第十节

我们可以想像，空间感知在生理学上是如下建立的。由基本感官提供的感觉部分地依赖于刺激的种类（质）；让我们称这部分为严格意义的感觉。再者，假定基本感官能动性的一部分仅仅由它自己的个性来决定，以致不管刺激是什么，它都是相同的，虽然它将随感官不同而变化；让我们称这部分为感官感觉，并认为它等价于空间感觉。我们设想感官感觉是共同遗传的基本感官的多变的。进一步的个体发育的关系。只有存在基本感官的刺激作用，感官感觉或空间感觉才能出现，无论何时使相同的感官或感官复合起作用，它依然是相同的。我们可以说，生理空间是分等级的感官感觉的系统，没有严格意义的感觉，该系统当然不会存在；但是，如果这个系统由变化的感觉引起，那么它就形成用来排列这些感觉的持久的登记薄。我们会很自然地发现，我们就基本感官是十分类似的所作出的唯一假定，在具有共同的遗传但却具有不同程度的姻亲关系的分离个体方面被经验确认。在这里我们正在尝试努力完成的东西依然不是真正的空间感知理论，而只不过是观察到的心理特征的生理学释义。不过，这种释义似乎包含着某种能够与生理空间的天生观点、E．H．韦伯的观察资料以及他的感觉范围的理论、洛策（Lotze）的就其是生理学而言的当地记号的学说、赫林的观点以及斯图姆普夫（Stumpf）的批判性反思相调合的东西。这开辟了对空间感知的系统发育的理解和个体发育的理解的前景，如果有一天厘清了这些事情，那么原则上就达到了对它的物理学的理解和生理学的理解。

第十一节

倘若空间感觉系统是回应即时的生物学的需要，并指导身体的自我保存动作，那么除了我们发现它之外不能设想其他东西。每一种感觉系统，包括空间感觉系统，都是天生的；不可穷竭的可感觉的质或强度的系列在生理学上是不可思议的。不同的身体器官要求不同的空间灵敏度指导它们的功能。因此，与视网膜的侧面部分和上臂或背部的皮肤相比较，视网膜的黄体素斑点、舌尖和手指，都充分为空间敏感的器官提供了装备。如果身体的四肢必须满足生物学需要的话，那么空间感觉必定与它们相关，并向着它们定位。对我们来说重要的是区分上和下、前和后、左和右；也就是说，分辨相对于身体的关系。纯粹的相互之间的定域关系像在几何学中那样不会对我们有所帮助。而且，恰如其分的是，对于离得更远和不怎么重要的对象而言，存在着有限度的指标存储的较大经济，相比之下，就在生物学上更重要的、更接近的视觉对象来说，却存在着较丰富的立体的深度指标之等级。如果我们利用适当性标准不得不从几何学空间出发建构生理空间的话，那么它不能产生与我们发现它所是的东西大相径庭的东西。

第十二节

生理空间和几何学空间之间的不协调，从来也没有被来特别审查这个问题的人注意到，倘若几何学空间在他们看来好像没有可怕地证伪天生空间的话；比较仔细地考虑人类生活的条件和发展，将说明这一点。空间感觉指导我们的动作，但是我们罕有理由像这样准确地关注或分析它们。我们更多地对动作的目标感兴趣。在获得关于物体、距离等等的头一批原初的经验后，我们几乎充分地变得全神贯注于这些东西。假如人像不动的海洋动物一样，不能离开他的场所或大大改变他的取向，那么他永远也不会获得欧几里得空间的观念。于是，他的空间作为三斜等轴介质粗略地与欧几里得空间相关，以致它也许依然总是各向异性的和有界的。作为一个整体的身体的任意移动和定向促进了下述洞察：我们能够在各处和在所有方向运动，空间能够被描述为均匀的和各向同性的、无界的和无限的。几何学家说，从任何一点和在任何方向上，能够进行相同的建构。在均匀移动中，相同的空间变化持续地发生。对于取向的均匀变化，例如竖直轴的旋转，情况也相似。这不仅揭示了某些空间经验的均匀性，而且也揭示出它们是不可穷竭的、可重复的和能够被继续的事实。移动引入流动的空间值，代替了对象的固定的空间值，这就是只能运动他的肢体的人发现的一切。就这样，我们的空间经验逐渐地接近欧几里得空间，但是沿着这条路线无法完全达到它。

第十三节

正像空间感觉决定个人肢体的动作一样，它们一般而言也可能时常导致移动。小鸡能够注视对象，并啄起它，甚或被这种刺激决定转身向它跑去。当婴儿注视并抓取目标时，他也同样地行动，若目标在能及的距离之外，他便爬到那里，最终有一天站起来，走几步到那里。必须以同一方面考虑所有这样的连续地相互碰见的案例。剧烈的移动和取向变化的诱因不仅出自光刺激，而且也能够由化学的、热的、声音的、电流的以及其他的刺激仿效，甚至在盲动物身上也是这样。实际上，我们在蠕虫之类的天然盲动物和在因适应变盲的动物（鼹鼠、穴居动物）中，都观察到广泛的移动和再定向，除了由于目盲决定运动的距离感知局限于较小的区域之外。

第十四节

分析生理空间的主要困难在于，当我们开始思索这些问题时，受过教育的我们已经太熟悉科学的几何学观念了，我们处处把它们作为自明的东西而引入。这方面的最好例子是众所周知的光的方位线的理论，从托勒密到开普勒和笛卡儿，该理论能够延续它自己，直到赫林之前还末确定地被消除。如果这个领域的探究者要获得清白的眼睛的话，那么他必须采取人为地朴素的态度，力图忘掉他学会的许多东西。在未进入生理学的细节的情况下，让我们进而讲一个简单的普遍的思考。

第十五节

由反射决定的某些动作紧随某些刺激。这些动作反过来激起周围的刺激，从而在大脑皮层留下作为这些动作图像的痕迹。如果由于某种理由比如联想，这些图像再次活跃起来，那么它们易于再次唤起相同的动作。空间的点在生理学上是作为抓取、观看和移动的各种动作的目标而为我们所知。图像无疑地与或多或少分明地确定的大脑部位联结起来，也就是说，它们在某种程度被定域。未必可能的是，整个大脑同等地卷入它们的全体之中，这是根据刺激的离心流出和向心流入的条件得出的。于是，我们也许可以认为，各种目标是与在皮层中的图像群的中心协调的。只要从生理学上考察空间，那么它的点能够用大脑中的位置来描述。空间感觉能够对应于这些位置的感官感觉。人们当然将假定，空间观主要是由天生的组织预先形成的，但是在这里依然为个体的发展留有广阔的余地，而个体发展对于盲人和有视力的人，对于雕刻家、画家、猎人或音乐家来说是十分不同的。

第十六节

康德宣称，我们从来也不能形成不存在空间的观念，尽管人们完全能够想像不存在在空间中被发现的客体。今天，任何人都不怀疑，严格意义的感觉和空间感觉只是一起进入意识，并且能够再次消失。对于相应的观念，大概同样有效。如果对康德来说空间不是“概念”而是“十足的（纯粹的）先验直觉”，那么探究者今天就倾向于认为几何学空间是通过经验获得的概念。纯粹的空间感觉系统不能被直觉到，但是我们能够把严格意义的感觉作为次要的东西忽略掉，如果我们不充分注意这个容易发生的和未被观察的过程，那么纯粹直觉发生的观念就很可能出现。倘若空间感觉独立于有助于激励它们的刺激的质，那么在早先提到的限度内，我们可以独立于物理经验就这些感觉作出陈述，对于任何感觉系统，例如对于颜色或声音的感觉系统，情况附带地也是这样。康德观点中的这许多东西依然是正确的，但是这不足以形成发展几何学的基础，因为在这里我们明确需要进一步的概念，这些概念依赖于经验。

第十七节

几何学空间在概念上是清楚的，但是生理空间更接近感觉。这就是为什么当我们全神贯注于几何学时，生理空间的性质依然经常使它们自己被感觉到。在我们的图形中，我们按照生理因素把处在较近的点与处在更远的点区分开来，把位于右边的点与位于左边的点区分开来，把上面的点与下面的点区别开来，虽然几何学空间与我们的身体没有关系，而仅仅点相互有关。在几何学结构中，直线和平面是由它们的生理学性质标志的，实际上是第一批研究对象。对称尤其通过它的生理学优势被关注，从而吸引几何学家的注意力。而且，毋庸置疑，对称包含在空间分割为直角的选择中。在其他几何学的类同之间所研究的类似性，同样归因于生理的境况。笛卡儿的坐标几何学摆脱了生理的影响，但是残余依然留在正坐标和负坐标的区分中，这一点被分别看作是右和左、或上和下等等。这是方便的和直观的，但却是不必要的。第四坐标面或点通过它与两个非共面的基点的决定，使空间摆脱了生理因素的不断复发。指出“向右转”、“向左转”的需要以及在严格全等的和对称全等的图形之间的区分从而被消除了。当然，我们不能消除生理学的观点施加在几何学发展上的历史影响。

第十八节

甚至在其与欧几里得空间最近似之处，生理空间依然是显著不同的。这也表现在物理学中。朴素的人容易学会克服左和右或前和后之间的差异，但是对于上和下却无法克服，因为他的几何学在把这最后两个方向永久交换的道路上设置了障碍。为了表示某种东西是不可能的，希罗多德很早就把天将在下面和地将在上面（V，92）的意见归因于科林斯的索西泽斯（Sosides of Corinth）。拉克坦提乌斯（Lac－tantius）极力反对对跖地理论，在该理论中人的头和树梢指向下方，这与奥古斯丁（Augustine）的观点格格不入，持续数世纪对朴素人来说似乎是不可思议的，可是借助生理空间的性质，拉克坦提乌斯的反对就变得完全可以理解了。与赞美塔伦通姆的阿契塔、萨摩斯的阿利斯塔克以及其他古代思想家的抽象能力相比，我们仅有较少的理由为反对对跖理论的人的狭窄心智惊异。

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发表于 2008-9-27 23:09 | 只看该作者 第二十一章 论心理学以及几何学的自然发展

第一节

对于动物机体来说，它自己的身体不同部位的相互关系以及物理对象与这些不同部位的相互关系，原来具有最重大的意义。它的生理空间感觉系统建立在这些关系的基础上。在比较复杂的生活条件下，简单的和直接的需要的满足是不会发生的，这些条件导致理智的增长。于是，相互接近的物理的、尤其是空间的物体行为可以获得超越于暂时感觉兴趣的非即时和间接的兴趣。以这种方式，世界的空间图像被创造出来，起初本能地被创造，接着在实践的艺术中被创造，最后科学地在几何学形式中被创造。物体的相互关系就它们由空间感觉决定而言是几何学的关系，或者在这样的感觉中找到它们的表达。正如没有热的感觉就不会有热理论一样，没有空间感觉也不会有几何学；但是，热理论和几何学二者附带需要关于物体的经验；这就是说，它们二者必须超越构成它们的独特基础的感觉域的狭窄边界。

第二节

孤立的感觉只是在动物生活的最低级阶段才具有独立的意义；例如，像在反射运动中，在消除对皮肤某些讨厌的刺激中，在蛙的猛扑反射中等等。在较高级的阶段，注意不仅仅对准空间感觉，而且也对准与空间感觉合在一起的、我们称之为物体的其他感觉的错综的和密切的复合。物体引起我们的兴趣；它们是我们的活动的对象。但是，我们的活动的特征巧合地由物体的位置决定，不管它是近还是远，不管在上还是在下等等，换句话说，是由概括其特征的空间感觉决定的。因此，反应模式由能够达到物体的无论那些东西决定，不管通过伸展臂膀，通过几个或许多步骤，通过投掷物体，还是其他别的什么。物体激起的易感觉的要素的量（数量），它覆盖的位置数量，也就是说它的体积，在所有其他事情相同时，正比于它满足我们的需要的能力，因而具有生物学的重要性。虽然我们的视觉和触觉本来只是由物体的表面产生的，但是强大的联想尤其驱使原始人比他实际观察的想像得更多，或者像他以为的那样，察觉得更多。他想像，他仅仅察觉的表面包围的地方充满物质；当他看见或抓住他有几份熟悉的物体时，情况尤其如此。意识到我们只是察觉物体表面，需要显著的抽象能力——不能把这种能力归于原始人。

第三节

被捕食的和有用的对象的特别明显的形状，在这方面也具有重要性。人通过与他的环境的交流学会了解某些确定的形式，即某些特殊的空间感觉的组合，甚至用纯粹生理的特征也能毫不含糊地刻画它们。直线和平面由于它们的生理学上的简单性被区分高于其他形式，圆和球同样也是这样。对称的和在几何学上相似的形式的密切关系，被纯粹的生理学的特征揭示出来。我们从我们的生理经验中获取的形状的多样性，决不是无足轻重的。最后，通过使用身体的对象，物理经验也把它的丰富定额贡献给普遍的贮存。

第四节

粗糙的物理经验迫使我们把某种经久不变性赋予物体。除非有不这样做的特殊理由，也把同一经久不变性归于复合“物体”的个别属性。我们也认为物体的颜色、硬度、形状等是恒定的；尤其是，我们把物体视为相对于空间是恒定的、不可破坏的。空间的恒定性、空间的实质性的假定，在几何学中找到它的直接表达。我们的生理的和心理的组织独立地预先倾向于突出恒定性；因为普遍的物理恒定性必然地在我们的组织——这本身是物理的——中形成积淀，尽管在种族的适应中十分确定的物理恒定性曾起过作用。由于记忆在物体原来的形式和维度上复活了以前感知的物体的图像，它为辨认相同的物体提供了条件，从而为恒定性的印象奠定了第一个基础。但是，几何学还需要某些独特的经验。

第五节

设物体K被突然从环境FGH运送到环境MN（而离开观察者A运动。对于视觉观察者A来说，物体K在大小上减小，并一般地呈现不同的形式。但是，对于和K一起运动并相对于K保持相同位置的视觉观察者B来说，K依然是不变化的。触觉观察者经历类似的感觉，虽然各自的减小在这里正需要接触感觉不是传心术感觉的理由。A和B的经验现在必须是和谐的，他们的矛盾必须被消除——当同一观察者交互地扮演A和B的角色时，这个要求变得尤为紧迫。他们能够是和谐的唯一方法，是把独立于它相对于其他物体的位置之恒定的空间性质赋予K。在观察者A中由K决定的空间感觉，被认为依赖于其他空间感觉（K相对于观察者A的身体的位置）。但是，在A中由K决定的这些相同的空间感觉，独立于表示K相对于B、或相对于FGH……MNO的位置的其他空间感觉。我们在这里涉及的恒定性，正处在这种独立性中。因此，几何学的根本假定基于经验，尽管是理想化的类型的经验。

第六节

由于所考虑的经验采取明显的和完全决定的形式，因而物体K必须是所谓的刚体。如果与三种截然不同的感性知觉作用联系在一起的空间感觉依然是不改变的，那么针对空间感觉复合的不变性给出的条件就由刚体决定。从感官生理学的观点来看，对物体产生的空间感觉的这种决定借助三个空间感觉要素从而刻画了刚体的特征。这对于视觉和触觉感觉二者也有效。在使用这种标示时，我们正在思考的不是刚性——在定义刚性时我们会被迫进入不同的感觉域——的物理条件，而是仅仅给予我们的空间感觉的事实。实际上，我们现在正在把每一个物体视为具有所分配的性质的刚体，甚至把流体也如是观，只要它们的部分彼此之间不相对运动。

第七节

尽管几何学不涉及有形的对象、而涉及理想的对象这一经常反复的争论是恰当的，但是依然不容怀疑，几何学起源于集中在有形物体的空间关系的兴趣。它拥有这一起源的最分明的标志，它的发展路线只有在考虑到这些痕迹时才是可以充分理解的。我们对于物体的空间行为的知识建立在它们产生的空间感觉的比较之基础上。即使没有人为的或科学的最小帮助，我们也能获得丰富的空间经验。我们能够近似地判断，我们察觉相互并排地在不同距离处于不同位置的刚体，当使它们相继处于同一位置时，它们将近似地产生相同的还是不相似的空间感觉。我们十分恰当地了解，一个物体是否将与另一个物体重合，平直地放在地上的杆子是否将达到某一高度。不过，我们对空间的感觉受生理环境的支配，生理环境对于被比较的成员来说，从来也不能是绝对等价的。在每一个严格检查的案例中，必然要把感觉的记忆痕迹与实在的感觉比较。因此，如果它是物体相互之间精密的空间关系问题，那么我们必须提供尽可能不依赖生理条件的特征，从而难以控制。这是通过把物体比较完成的。物体A是否与另一个物体B重合，是否能够使它精密地占据另一个物体充满的空间，也就是说，在相似的环境下两个物体是否产生相同的空间感觉，这一切能够以极大的精确性估计。我们认为，这样的物体是在空间上或几何学上在各个方面相等的——是全等的。感觉的特点在这里不再是权威的；它现在仅仅是感觉的相等或不相等的问题。如果两个物体都是刚体，那么我们能够把我们在与第一个比较方便的、比较容易移动的标准物体A相关联中收集的所有经验应用到第二个物体B。我们将把前者回复到环境，以致使用特殊的比较物体或标准物体对每一个物体来说既不必要，也不可能。最方便的比较物体——虽则仅仅勉强地可以应用——即我们总是在我们眼前具有移动时不变的物体，是我们的手和足（feet）、我们的臂和腿。最古老的度量名称清楚地表明，我们最初用一手之宽（handbreadth）、前臂长（forearms ells）、脚长（英尺）（feet）、步度（Paces）等进行我们的测量。只不过较高的测量精确度是由引入约定的和仔细保存的物理标准开始的；原理依然是相同的。度量能使我们比较难以移动或实际不动的物体。

第八节

正如已经评论的，具有最强烈兴趣的东西，不是物体的空间性质，而主要是物体的物质性质。这个事实甚至在几何学的开端肯定找到了表达。物体的容积被本能地作为描述物质性质的量来考虑，在它的几何学性质收到接近深刻思考的任何东西之前好久，就开始成为争论的课题。然而，正是在这里，比较即容积的测量获得它的最初的意义，从而在早期的几何学的主要的和最重要的问题中占据了它的位置。头一批容积测量无疑是液体和果实的测量，是用中空的量具进行的。目标是方便地确定同样的物质的量，或同类的、形状相似的（等价的）物体的量（数量）。因此，相反地，贮藏室（谷仓）的容积很可能起初就用它能够容纳的同类物体的量或数量来估算。用容积单位测量容积很可能是晚得多的概念，只能在较高的抽象阶段上才能得以发展。

第九节

面积的估计无疑也是由一块田地能够容纳的结果实的或有用的植物的数量，或由能够在其中播种的种子的量引起的；或者可能由这样的工作需要的劳力引起的。当相同大小和形状的田地彼此相处较近时，在这种关联中显然容易使人想到用一个面测量一个面。在这里，人们几乎无法怀疑，由n个相同大小和形式的地块组成的田地也具有n倍的农业产值。当我们考虑埃及人、甚至罗马农人通常所犯的面积测量的错误时，我们不会倾向于低估这一理智步骤的意义。即使对于像希腊人这样的具有杰出的几何学天才的人来说，而且在后来的时期，我们也偶尔遇见具有相等周长的面在面积上是相等的观念的零星表达。当波斯的“超人”薛西斯希望清点军队——他必须“供养”它们，他在鞭打下驱使他们跨越赫勒斯滂进攻希腊人——时，他采取下述步骤：让10000人整队紧紧挤在一起。用围栏把他们复盖的面积围起来，为了计数别的10000，把军队的每一个相继的分队，或者更恰当地讲，把一群奴隶赶进并充满栅栏。在这里，我们碰到下述观念的相反的应用：用相等的、等价的、直接毗连的、覆盖面的物体的量（数量）测量面。在抽象中，起初是本能地，然后是有意地，从这些物体的高度过渡到借助面的单位测量面。类似的用容积测量容积的步骤要求更多实践的、受过几何学训练的直觉。它是在较晚达到的，甚至在今天对民众而言也不大易懂。

第十节

用一天的旅程、旅行的时间等计算的对长距离的最古老的估计；无疑建立在努力、劳作和为行走这些距离必需耗费的时间的基础上。但是，当用手、脚、臂、棒或链的重复应用测量长度时，那么准确地观察，测量是通过同类物体的计数进行的，我们实际上再次从事容积的测量。这一概念的奇特性在这种阐明的过程中将消失。现在，如果我们起初本能地、然后有意识地从物体的两个横向线度抽象，那么我们便达到用线来测量线。

第十一节

通常把面定义为空间的边界。因此，金属球的面是金属和空气之间的边界；立或者是金属的一部分，或者是空气的一部分。类似地，一维的线是面的边界；例如，赤道是半球面的边界。无维度的点是线的边界；例如，圆的弧的边界。点通过它的运动生成一维的线，线通过它的运动生成二维的面，面通过它的运动生成三维的立体空间。这一概念根本没有把困难给予擅长抽象的心智。无论如何，它遭受了它并未显示出来的、但是相反地却人为地隐蔽起来的退却，即藉以达到抽象的自然而实际的途径。因此，在长度的测量被讨论之后，当从这种观点尝试定义面的度量或面积的单位时，便感到某种不便。

第十二节

如果把每一种测量视为借助直接毗连的、在空间上等价的、或者至少假设性地等价的物体来计数空间，而不管我们涉及的是容积、面、还是线，那么便达到比较同类的概念。可以把面看作是处处具有相同的恒定厚度的物质薄板，我们可以使厚度随意变小，变得逐渐消失地小；可以把线看作是具有恒定的、逐渐消失地小的厚度的绳子或丝线。于是，点变成我们有目的地从其广延抽象的小的有形的空间，不管它是另一个空间的、面的一部分，还是线的一部分。在计数中使用的物体可以具有符合我们需要的任何小东西或任何形式。没有什么事情妨碍我们以通常的方式把这些图像理想化，而这些图像只是由于不顾薄板和丝线的厚度，以所指明的自然的方式达到的。呈现出几何学基本概念的通常的和多少有些胆怯的模式，无疑归因于下述事实：使数学摆脱它的早期基本形式的历史的和偶然的镣铐之无限小方法，在稍后的发展时期之前并未开始影响几何学，几何学与物理科学坦白而自然的联盟也在较晚之前还未通过高斯恢复起来。但是，这些要素现在将不带有我们的较充分洞察的长处，其原因还没有清楚地看出。甚至莱布尼兹也提到这样的事实，即在我们的几何学定义中从固体开始也许是比较合理性的。

第十三节

借助固体对空间、面和线的测量，是一个我们精制的几何学方法变得完全与之疏远的概念。可是，这一观念不仅仅是目前理想化的方法的先驱，而且它在几何学的心理学中起着重要的作用，而且我们发现它在发展的后期还强有力地活跃在这个领域的研究者和发明者的工作室。卡瓦列里的除不尽法通过这一观念好像最能理解。采用他本人的说明，让我们把要比较的面（求面积）看作是仿照织物的经线的方式，用我们意欲的任何数目的等距离的平行丝线覆盖，把要比较的空间（求容积）看作是用平行的薄纸片充满。于是，丝线的总长度可以作为面的量度，纸张的总面积可以作为容积的量度，测量的准确性可以进行到我们希望的任何一点。如果相同的等距离的物体充分接近到一起且具有恰当的形式，那么其数目恰如绝对覆盖面或绝对充满空间的等价物体的数目一样，完全能够提供面和一致空间的数值量度。如果我们使这些物体收缩，直到它们变成线（直线），或者直到它们变成面（平面），那么我们将得到面分为面元和空间分为空间元，同时得到用面习惯测量面和用空间习惯测量空间。卡瓦列里的有缺陷的讲解不适应他的时代的几何学状况，它招致几何学史家对他的漂亮的和富有创见的步骤进行十分严厉的批评。亥姆霍兹的批判性判断在易受攻击的时刻服从他的想像力，他在他的伟大的年轻时代的著作中能够认为面是包含在它之内的线（纵坐标）的总和，这个事实只不过是这个独创性的自然的概念达到的伟大深度的证据，是它藉以再断言它自己的便利的证据。

第十四节

于是，我们首先具有可动物体存在的普遍经验，不管物体的可动性，必须把上面记述的感觉中的某种空间的恒定性、恒久地等价的性质归因于这一点——一种构成测量概念的基础的性质。但是，除此以外，还存在着在职业和艺术的追求中本能地收集的诸多形形色色的特殊经验，这些特殊经验把它们的份额也贡献给几何学的发展。由于这些经验部分地以未曾料到的形式出现，部分地相互和谐一致，有时在不小心应用时，甚至变得卷入看来好像是自相矛盾的东西之中，因此它们扰乱了思想的进程，激励思想追求这些经验的有序的逻辑关联。我们现在将全神贯注于这些过程中的某一些。

第十五节

即使希罗多德的众所周知的陈述也是不够格的，他在陈述中把几何学的起源归之于在埃及人中的土地测量；即使该叙述也完全丢失了欧德摩斯（Eudemus）关于早期几何史留下的东西和我们所知的从普罗克洛斯那里摘录的东西，在我们看来，也许不可能怀疑几何学的前科学时期存在过。第一个几何学知识是偶然地、在没有计划的情况下，在实践经验的路线上，在与最多变的使用的关联中得到的。它是在科学精神或对上述经验的相互关联的兴趣仅仅有点发展的同时获得的。甚至在我们的几何学开端的贫乏历史中，这也是明白的，不过在一般的原始文明的历史中更加如此，在那里众所周知，技术的几何学应用存在于如此之早的野蛮时代，以致绝对地排除科学努力的假定。

第十六节

所有原始部落都从事编织技艺，在这里像在他们的绘图、绘画和木刻中一样，出现了由最简单的几何学形式构成的更可取的装饰主题。因为这样的形式像我们的儿童绘图一样，符合他们想要模仿的对象的简化的、典型的、图式的概念，而用他们的原始工具和手工的灵巧最容易制作的也正是这些形式。由一系列类似形状的、相互颠倒的三角形或由一系列平行四边形构成的这样的装饰（图11），清楚地暗示出这样的观念：当把三角形三个角的顶点放置在一起时，它们之和构成两个直角。在由相同形状的不同颜色的石料建造习惯的镶嵌图和铺路面时，这个事实也不可能逃脱亚述、埃及、希腊等地的陶工和石工。一点周围的平面场地能够被仅仅三个正多边形，即被六个等边三角形、四个方形和三个正六边形完全填满，这个毕达哥拉斯学派的定理暗示出同一来源。在早期希腊人证明关于任何三角形角之和定理的下述方法中，也揭示出相同的起源：把三角形分割（通过画高线）为两个直角三角形，并相应于这样得到的部分完成矩形。同样的经验也发生在其他许多场合中。如果测量者绕多边形地块步行，那么他将在到达起点时发现，他转了由四个直角构成的一个完整的循环。相应地，在三角形的案例中，由于内角和外角由六个直角构成（图12）． 在减去循环的三个外角a，b，c后，将依然有两直角作为内角之和。高斯的同代人蒂鲍（Thibaut）使用了定理的这一推导。如果制图员通过绕内角总是在相同的方向上转动他的直尺画三角形（图13）， 那么他将在抵达第一个边时再次发现，若他的直尺的棱在开始时向着三角形外部放置，则三角形此时将处在内部。在这个步骤中，直尺在相同的方向扫过三角形的内角，在这样扫过时完成了半个循环。泰勒评价说，折布或折纸可以导致相同的结果。 如果我们以图14所示的方式折一个三角形纸片，那么我们将得到在面积上等于半个三角形的双矩形，在这里将看到，在a处重合的三角形的角之和是两直角。虽然通过折纸可以得到一些十分令人惊讶的结果，但是几乎不能假定，这些过程在历史上对几何学来说是十分多产的。该材料具有非常有限的应用，使用它的工匠一点也未受刺激去进行精密观察。







第十七节

因此，平面三角形的角之和等于一个确定的量即两直角的知识，是通过经验达到的，这与杠杆定律及玻意耳和马略特（Mariotte）定律没有什么不同。的确，无论无助的眼睛，还是用最灵敏的仪器测量，都不能绝对地证明，平面三角形的角之和严格地等于两直角。但是，该案例恰恰与杠杆定律和玻意耳定律相同。因此，所有这些定理都是理想化的和图式化的经验；因为实际的测量将总是显示出与它们的轻微偏离。气体定律被进一步的实验证明仅仅是近似的，在不得不以极大的精确性描述事实时需要修正它，而杠杆定律和关于三角形的角之和的定理却像会导致我们预期的实验的不可避免的误差一样，依然精密地与事实一致；可以使建立在这两个作为初始假定的定律基础上的所有结果成为同一陈述。

第十八节

处在同一直线上以它们的底相互并排地铺设的相等而且相似的三角形，也必定导致十分重要的几何学知识的片断（图15）。如果把三角形沿直线移置在平面上（没有转动），那么它的所有点，包括它的边界线的点，将描绘相等的路线。因此，相同的边界线将在任何两个不同的位置提供在所有点彼此等距离的两个直线系统，该操作保证了由位移的线在两条直线的相应侧面形成的角相等。所以在位移的线的同一侧上的内角之和被决定是两直角，这样便达到了欧几里得的平行定理。我们可以添加说，扩大这类铺设的可能性无限制地、必然地把增加的明显性给予这个发现。直到今天，三角板沿直尺滑动依然是画平行线的最简单。最自然的方法。几乎没有必要评说，平行定理和三角形角之和定理是不可分割地关联的，只不过描述了同一经验的不同方面。



第十九节

上面提及的石工必须无困难地做出正六边形能够由等边三角形构成的发现。这样直接产生了把圆分割为部分的最简单的例子，即用半径把圆分为六部分、把它分为三部分等等。每一个木工本能地、几乎在没有思考的情况下就知道，由于圆的完美的对称性，能够从圆柱形的树干以无限数目的不同方式切割出具有矩形对称横截面的朽木。桁木的棱都将处在圆柱的表面，截面的对角线通过中心。按照汉克尔和秦勒的的观点，正是以这种方式，可能做出了在半圆上内接的所有角都是直角的发现。

第二十节

拉长的线提供了直线的显著的形象化。直线是由它的心理学的简单性刻画出特征的。它的所有部分引起相同的方向感觉；每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值；每一个无论多么小的部分都类似于每一个无论多么大的其他部分。虽然它影响了许多作者的定义，但是几何学家用这种心理学的特征却无法完成定义。形象化的图像必定是被关于在几何学上合用的物质对象的物理经验丰富的。设把绳子一端扎在A，没把它的另一端通过环形物扎在B。如果我们在B处在终端拉绳子，我们将看到以前处于A和B之间的绳子的部分在B处通过，而与此同时绳子将趋近直线的形式。与组成曲线相比，较少数目的绳子的相似部分即等价的物体足以组成连结A和B的直线。断言直线借助纯粹的想像被认为是最短的线，这是错误的。就质而论，我们的的确确能够在想像中以完善的精确性和可靠性复制绳子经历的形式和长度的同时发生的变化。但是，这无非是关于物体的先验的经验——思想中的实验——的复活。对空间的纯粹被动的冥思从来也不会导致这样的结果。测量是包括物理反应、重合实验在内的经验。具有不同方向和长度的形象化的或想像的线不能即刻相互应用。必须用被认为是不可改变的物质对象实际地经验这样的程序的可能性。把直线作为两点之间最短距离的本能的知识赋予动物是错误的。如果刺激吸引动物的注意力，如果动物如此转动以使它的对称平面通过刺激的对象，那么直线是唯一地由该刺激决定的运动的路线。在洛布关于动物向性（tropisms）的调研中，明确地表明了这一点。

第二十一节

进而，仅有形象化不能证明三角形的任何两边在一起大于第三边。确实，如果把两边通过绕底角顶点旋转放在底上，那么只有通过想像行为才能看到，两边与它们在圆弧上运动的自由端点最终将交叠，从而比填补底还要多。但是，我们不应该达到这一描述，倘若在与物质对象的关联中实际上没有目睹该程序的话。欧几里得从每一个三角形的较大边与较大角相对的事实，迂回地和人为地演绎这个真理。但是，在这里，我们知识的来源也是经验——物理的三角形的边运动的经验；然而，这个来源被演绎的形式吃力地隐蔽起来，这并没有伴随明白和简洁的增加。

第二十二节

但是，用在先的经验的真理并未穷竭直线的性质。如果把任何任意形状的金属线放在木板上与两个直立的钉子接触，并如此沿着滑动，以使它总是与钉子接触，那么在钉子之间的金属线的部分之形式和位置将不断地变化。金属线越直，变化将越轻微。弯曲的金属线在绕它自己的固定点中的两个转动时，它将继续不断地改变它的位置，但是直的金属线将依然保持它的位置，它将在它自身之内转动。现在，当我们把直线定义为由它的点之中的两个完全决定的线时，在这个概念（concept）中，除了从所提到的物理经验推导出的经验概念（no－tion）——这种概念决不是由想像的生理行为直接提供的——的理想化之外，不存在其他东西。

第二十三节

平面像直线一样，也是由它的简单性刻画其生理学上的特征的。它似乎在各个部分都是相同的。每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值。每一部分无论多么小都与每一其他无论多么大的部分相像。但是，如果必须把这些性质表达为几何学的陈述，那么也需要在与物理对象的关联中获得的经验。平面像直线一样，在生理学上关于它本身为对称，倘若它与物体的中线平面重合或与同一平面成直角的话。但是，为了发现对称是平面和直线的恒久的几何学性质，必须把二者的几何作图作为可动的、不可改变的物理对象给出。生理上的对称与度规性质的关联也需要特殊的度规证明。

第二十四节

在物理上，平面通过把三个物体在一起摩擦来构造，直到得到三个面A，B，C为止，每一个面严格地符合另一个，既没有凸面，也没有凹面，而只有平坦的面，正如图16表明的，这是一个能够完成的结果。实际上，凸状和凹状是通过摩擦去除的。类似地，比较真实的直线能够借助不完善的直尺得到：首先放置直尺使它的末端紧靠点A，B，接着从它的位置转动它通过180度的角度，再把它紧靠A，B放置，此后把如此得到的两条线之间的平均值作为比较完善的直线，并用最后得到的线重复该操作。在通过摩擦产生平面时，也就是说，在通过摩擦产生在所有点和两侧具有相同形式的面时，经验提供了附带的结果。把这样两个平面一个放在另一个之上，人们将获悉，该平面到自身之上是可取代的，在自身之内是可转动的，正像直线那样。在平面上任何两点之间拉长的丝线完全落在平面内。横越平面任何边界部分的拉紧的布块与平面重合。因此，平面在它的边界代表面的极小值。如果把平面放在两个尖锐的点上，它还能够绕连结点的直线转动，但是任何在这条直线之外的第三点固定了平面，也就是说，完全决定了它。



在上面提及的给维塔莱·焦尔达诺（Vitale Giordano）的信中，当莱布尼兹把平面定义为把无界的固体分为两个全等的部分，把直线定义为把无界的平面分两个全等的部分时，他最直率地使用了这种关于物质对象的经验。

第二十五节

如果把注意力指向平面关于它自身的对称性，并且假定两点一个在它的每一侧，每一个关于另一个为对称，那么将发现，平面上的每一点都与这两点等距离，莱布尼兹的平面定义达到了。直线和平面的一致性和对称性，分别是它们为长度和面积的绝对极小值之结果。尽管为给出极小值的边界必须存在，但却没有包含其他附属条件。极小值是唯一的，在它的种类方面是单独的；因此，它关于边界点为对称。由于极小值的绝对性，每一部分不管多么小，再次展现出相同的极小性质；从而展现出一致性。

第二十六节

有机地相关的经验真理可以相互独立地造成它们的外观，无疑在已知它们相关的事实之前好久，这一点就被发现了。但是，这并没有妨碍它们后来被辨认出是包含在另一个之中并被另一个决定，是可以相互演绎的。例如，假定我们获知了直线和平面的对称性和一致性，我们乐于演绎，两个平面的交是直线，平面的任何两点能够用整个处在平面内的直线连结起来等等。只是难以觉察的和不引人注目的经验的极小值需要这样的演绎，这一事实不应该诱入下述错误：认为这个极小值是完全多余的，相信仅仅形象化和推理对构造几何学来说是充分的。

第二十七节

像直线和平面的具体的形象的图像一样，我们关于圆、球、柱等等的形象化也这样被物质的经验丰富，并以这种方式首次表示服从富有成效的几何学处理。促使我们的儿童在他们的概念和图画中仅仅保留典型特征的同样经济的冲动。也导致我们把从我们的经验中导出的图像图式化和概念理想化。虽然我们在自然界中从未碰到完善的直线或精密的圆，但是在我们的思维中，我们却事先计划好从这样存在的偏离中抽象。因此，几何学涉及的是通过经验对象的图式化产生的理想对象。

第二十八节

我在其他地方评论说，在初等的几何学教育中，占支配地位地修习问题的逻辑方面，而忽视向青年学生打开包含在经验中的知识的源泉，确实是错误的。使人感到可喜的是，人们注意到，与我们相比较少固于传统的美国人破除了这种体制，正在把一种实验几何学作为导言引入系统的几何学教育。

第二十九节

在几何学概念的本能的、技术的和科学的获得物之间，无法画出一条截然分明的界线。一般地讲，我们也许可以说，由于在工业和经济领域里的劳动分工，由于日益增长的特殊对象的使用，知识的本能的获得物进入背景之中，知识的技术的获得物开始了。最后，当测量本身变成目的和职业时，在各种各样的测量操作之间得到的关联获得了强大的经济利益，我们达到几何学的科学的发展时期，我们现在继续向这一点行进。

第三十节

几何学的度量相互依赖的知识是用形形色色的方法达到的。在用面开始度量面之后，某种另外的进步几乎是不可避免的。在一个容许分为相等的部分的平行四边形域中，以致每一个包含m个域的n排部分域并排相互放置，计数这些域是不必要的。通过把测量边的数目在一起相乘，便发觉域的面积等于mn这样的域，而且很容易发现用画对角线形成的两个三角形中的每一个面积等于mn／2这样的域。这是算术对于几何学的第一次和最简单的应用。同时发生的是，面积的度量依赖于其他度量即线和角的度量，也被发现了。人们发觉，矩形的面积比具有相同长度的边的斜平行四边形的面积大；因而，面积不仅取决于边长，而且也取决于角度。另一方面，正如容易看到的，由平行于底的木条构成的矩形，通过位移能够转变为具有相同高和底的任何平行四边形而不改变它的面积。正像每一个木工知道的，具有它们的给定的边的四边形在它们的角方面还未被决定。他添上对角线，使他的四边形变成三角形，而三角形在边给定时是刚性的，也就是说，就它们的角而言也是不可变的。由于察觉到度量相互依赖，从而引入真实的几何学问题。施泰讷（steiner）贴切而公正地把他的主要著作冠以《几何学图形相互依赖的系统发展》的书名。在施内尔（Snell）有独创性的、未受赏识的论基础几何学的专题著作中，上述问题甚至对初学者来说也变得显而易见。

第三十一节

用金属线构造一个平面的物理的三角形。如果其边之一绕一个顶点转动，以便使在那点的内角增加，那么将看到运动的边改变它的位置，对边随角一起变大。金属线除了现在之前的那些以外，将需要新的片断完成最后提到的边。这个实验以及其他相似的实验能够在思想中重复，但是心理实验从来只不过是物理实验的摹本。如果物理实验先前没有导致我们关于在空间上不可改变的物理物体的知识——度量的概念，那么心理实验恐怕是不可能的。根据这种特点的实验，有助于我们达到这样一个真理：在三角形内可发现的六个度规量（三个边和三个角）中，至少包括一个边在内的三个度规量足以决定三角形。如果在决定三角形的组分中只给予一个边，那么所考虑的角或者必须是给定的边包含的角，或者是与较大的边相对的角——至少若决定不得不是唯一的话。在达到三角形由三边决定和它的形式独立于它的位置的洞察后，可以得出结论说，在等边三角形中所有三个角和在等腰三角形中与等边相对的两个角必定是相等的，不管角和边无论以什么方式相互依赖。这在逻辑上是确定的。但是，由于那个理由，它所依据的经验基础丝毫也不比它在类似的物理学案例中那样多余。

第三十二节

边和角相互依赖的模式首先在特殊的例子中被自然地辨认出来。在计算矩形和由它们的对角线形成的三角形的面积时，必定会注意到这样的事实：具有3和4个长度单位的边的三角形给出具有3，4，5个长度单位的边的直角三角形。因此，成直角性表明与边之间的确定的、合理的比率相关。关于这个趔的知识借助三个分别为3，4和5个长度单位的相关联的绳索立桩标出直角。等式3[2]＋4[2]＝5[2]现在引起注意，已证明它的类似物对于具有长度a，b，c的边的所有直角三角形都是有效的（一般公式是 a2＋b2＝c2）。众所周知，这一关系多么深刻地进入度规几何学中，距离的所有间接测量如何可以追溯到它。我们将努力揭开这个关系的基础。

第三十三节

首先必须评论一下，对于所谓的毕达哥拉斯定理，无论希腊的几何学演绎还是印度的算术演绎，都无法避免考虑面积。所有演绎依据的、在整个演绎中以不同形式本能地出现的一个本质之点如下：如果使三角形a，b，c（图17） 在它自己的平面上滑动一个短距离，那么可以设想，它留在后面的空间被它占有的新空间弥补或补偿。这就是说，边中的两个在位移时扫过的面积等于第三边扫过的面积。这个概念的基础是三角形面积守恒的假定。如果我们把面看作是十分微小的、但不改变第三维厚度（为此这在目前的关联中不产生影响）的物体，那么我们将再次具有作为我们根本假定的物体体积的守恒。相同的概念可以应用到四面体的平移，但是它在这个例子中不导致新的观点。体积守恒是刚体和流体通常具有的性质，被旧物理学理想化为不可入性。在刚体的情况下，我们具有所有部分之间的距离保持不变的附加属性，而在流体的情况下，刚体的性质仅就最小的时间和空间元才存在。



第三十四节

如果使具有边a，b，c的斜三角形在边b的方向上位移，那么根据上面叙述的原理，仅仅b和c将描绘出等价的平行四边形，这些平行四边形在相同的平行线上的相等的一对平行边方面是相同的。如果a与b成直角，且把三角形与〔成直角地移动距离c，那么边c将描绘出正方形c2，而另外两个边将描绘出平行四边形，其组合面积等于正方形面积。通过刚才在先的观察，两个平行四边形分别等价于a2和b2——以此便达到了毕达哥拉斯定理。相同的结果也可以通过下述程序得到（图18）：



首先使三角形与a成直角地滑动距离a，然后与b成直角地滑动距离b，在这里a2＋b2将等于c扫过的面之和，该和显然是c2。取一个斜三角形，与刚才完全相同的程序容易且明显地给出比较普遍的命题c2＝a2＋b2－2abcosγ。

第三十五节

因此，三角形第三边对于另外两边的依赖由被围住的三角形的面积决定；或者，用我们的概念来讲，由包含容量的条件决定。也能直接地看出，上述的等式表达了面积的关系。确实，也可以把两个边之间所夹之角看作是对第三边起决定作用，在这个案例中等式将明显地呈现截然不同的形式。让我们略微仔细地考察一下这些不同的度量。如果两条长度为a和b的直线之端在一点相交，那么把它们的自由瑞连结起来的线〔的长度将包括在一定的限度之间。我们将有c≤a＋b和c≥a－b。仅仅形象化不能告知我们这个事实；我们只能从思想中的实验——基于有形实验并再现它的一种程序——获悉它。例如，这一点将通过抓牢a并转动b，首先直到它形成a的延长部分为止，其次直到它与a重合为止。直线原本是由心理性质刻画特征的唯一具体的图像——我们能够从具有确定特点的物体中得到这一图像，它以具有无限小但却恒定的厚度的绳子或金属线的形式把容量的最小值插入它的端点的位置之间——只能够以一种唯一决定的方式完成它。如果几条直线通过一点，那么我们用它们的方向从心理学的角度在它们之间进行区分。但是，在通过关于物理对象的度规经验得到的抽象空间中，不存在方向的差异。通过一点的直线在抽象空间中只能借助在它之上指定第二个物理点来完全决定。定义在方向上恒定的直线，或者把角定义为方向之间的差异，或者把平行直线定义为具有相同方向的直线，就是在心理学上定义这些概念。

第三十六节

当我们开始在几何学上刻画或决定被形象地给予的角时，各种不同的方法供我们支配。当距离在两个固定点之间被指定，而使每一点在交点之外置于角的分离的边之上时，角就被决定了。为了使定义变得一贯，可以选择位于距顶点相同的和不变的距离的点。于是，相互并排地处于与它们的顶点重合的同一平面的给定角之等倍数，不能用这些点之间的距离的相同等倍数来量度，这种不方便的理由在于，这种决定角的方法未被引入初等几何学。当使角截取的圆周或圆面积的除得尽的部分与它在中心的顶点都处在圆的平面上时，通过选取该部分便得到更简单的度量、更简单的角的特征。在这里所包含的约定是比较方便的。



在利用圆的弧决定角时，我们再次仅仅度量容量，即由具有简单的确定的形式的物体占据的容积，而该物体是在距顶点等距离的角的臂上的两点之间被引入的。但是，单纯的直线距离能够刻画圆的特征。两种量度，即直线的长度量度和角度的量度，原则上是作为基本的量度使用的，其他量度都由它们推导而来，这是一个明白、直接的问题以及由此导致的简易和方便的问题。这决不是必要的。例如（图19），在没有特定的角的量度的情况下，可以用下述途径决定直线与另一条直线成直角地相交：使它的距第一条直线上的两点等距离的所有点处在距交点相等的距离。能够以完全相似的方式决定角的平分线，通过连续的平分能够得到我们希望的无论多么小的角的单位。与另一条直线平行的直线能够作为一个来定义，通过全等的曲线或直线路线能够把另一条直线的所有点转化为第一条直线的点。完全可能仅仅从直线段开始作为我们的基本量度。设给定一个固定的物理点a。另一点m距第一个点的距离是r。于是，这最后的点还能够处在围绕a以半径r。描绘的球面的任何部分。如果我们还知道再一个点b，并把m移动距b的距离为rb，那么三角形abm将是刚性的、被决定了的；但是，m还能够在通过三角形绕轴ab转动所描绘的圆上旋转。如果现在把点m牢牢控制在任何位置上，那么上述三点a，b，m所属的整个刚体也将被固定。

第三十七节

因此，距空间中至少三个固定点a，b，c的距离ra，rb，rc在空间上决定了点m。但是，这一决定还不是唯一的，因为具有棱ra，rb，rc 的棱锥——m处在这个棱锥的顶点上——也同样能够在平面a，b，c的一侧构造，就像在该平面的另一侧构造那样。如果我们必须固定该侧，比如说用特殊的记号，那么我们应该诉诸生理的决定，因为在几何学上平面的两侧并非不同。倘若点m被唯一地决定，它距位于平面abc之外的第四点的距离rd必然附带地被给定。另外的点m’以相似的完成方式被四个距离r’a，r’b，r’c，r’d决定。因此，m距m’的距离也由这一决定给出。像各自被四个距离决定一样，同样的结论对于任何数目的其他点都为真，在四点之间，4（4-1）/1.2＝6的距离是可以料到的，要决定点的复合的形式，正好必须给出这个数。对于4＋Z＝n 点，6＋4z或4n－10的距离需要决定，尽管更大的数即n（－1）/1.2的距离存在着，以致距离的超过量也被同时决定。

第三十八节

如果我们从三点开始，并规定要进一步决定的所有点的距离将仅仅对于由三点决定的平面的一侧有效，那么3n－6的距离将足以决定n个点的系统相对于三个初始点的形式、大小和位置。但是，如果不存在关于所选取的平面之侧的条件，即包含感觉的和生理的特征但不包含抽象的度规特征的条件，那么点系统而不是预期的形式和位置，可能呈现对于第一个的点对称或者由二者的点组合。由于我们对称的生理组织，对称的几何图像很容易被认为是相同的，尽管它们从度规和物理的角度来看是迥然不同的。向右旋绕的螺丝和向左旋绕的螺丝、两个在相反方向旋转的物体等等，在我们的眼睛看来似乎是十分相像的。但是，我们为此理由都不容许把它看作是在几何学上或物理学上等价的。注意到这一事实会防止许多悖论问题。仅仅想一想这样的问题给康德带来的麻烦吧！感觉的生理属性由相对于我们的身体、特殊构成的肉体系统决定；而度规属性一般地由物理物体的世界决定。后者只能由重合实验即测量来确定。

第三十九节

正如我们看到的，每一个几何学的测量归根结底都可以还原为容量的测量即物体的计数。长度的测量像面积的测量一样基于每一个细绳、细棒和恒定厚度的叶片的容量的比较。这与下述事实没有不符之处：面积的度量在算术上可从长度的测量推导出来，或者立体的度量可仅仅从长度的度量或从与面积的度量结合的那些度量中推导出来，这只不过证明了，容量的不同度量是相互依赖的。断定这种相互依赖的形式是几何学的基本目标，正如断定各种计数操作或心智的排序活动关联在一起的方式是算术的本分一样。

第四十节

极其可能的是，视觉的经验是几何学发展急剧的原因。但是，我们从目前光学技术的发达状态获得的对光线性质十分熟悉，不应该误导我们认为我们关于光线的经验知识是几何学的主要基础。在充满灰尘或烟雾的空气中的光线提供了极妙的直线形象化。但是，我们不能从光线推导出直线的度规性质，恰如我们不能从想像的直线推导出它们一样，为此目的，与物理对象有关的实验是绝对必要的。实际几何学家的拉长的绳索肯定比经纬仪的使用要古老。但是，一旦已知物理的直线，光线便提供了达到新观点的十分清楚和近便的手段。盲人几乎不会发明近代的综合的几何学。但是，处在几何学基础的最古老的和最有力的经验恰恰是盲人通过他的触觉可以接近的，就像能够看见东西的人可以接近它们一样。不管物体的可动性，二者都了解物体的空间的恒久性；二者都通过把握对象获得了容量的概念。原始几何学的创造者起初本能地、然后故意地和有意识地忽略那些对他人操作来说是非本质的、他暂时下关心的物理性质、以这种方式，通过逐渐的成长，理想化的几何学概念在经验的基础上出现了。

第四十一节

因此，我们的几何学知识来自各种源泉。我们在生理学上从直接的视觉和触觉接触中获得了许许多多和各种各样的空间形式。物理的（度规的）经验（包括在相同的环境下由不同的物体引起的空间感觉的比较）与这些形式联系在一起，这些经验本身也只不过是在感觉之间得到的其他关系的表达。这些形形色色的经验序列如此密切地相互交织，以致只能用彻底的细查和分析分离它们，有关几何学的广泛歧异的观点概源于此。在这里它基于纯粹的形象化（Anschauung），在那里立基于物理的经验，依据高估或忽略一个因素或另一个因素而定。但是，两种因素都进入到几何学的发展中，它们今天还在其中起作用；正如我们看到的，因为几何学决不是全部使用纯粹度规的概念。

第四十二节

如果我们打算询问一个无偏见的、正直的人，他在什么形式下例如参照笛卡儿坐标系描绘空间，他无疑会说：我拥有刚性的（固定的形式）、透明的、可穿透的、邻接的立方体的系统的图像，这些立方体具有仅仅由朦胧的视觉和触觉标志的界面——一种幻影的立方体，遍及并通过这些幻影的构象，实在的物体和它们的幻影的配对物运动着，同时保持它们的空间的恒久性（正如上面定义的），不管我们正在追求实际的或理论的几何学还是运动论（phoronomy）。例如，高斯著名的关于曲线的研究实际上涉及到无限薄的薄片、从而涉及到柔软的物体的相互应用。不能否定各种经验序列在所考虑的基本概念的形成中协同作用。

第四十三节

然而，尽管几何学由以起源的特殊经验是各种各样的，它们仍然可以还原为事实的最低的限度：具有确定的空间恒久性的可动物体存在着，也就是说刚体存在着。但是，可动性是被如下刻画其特征的：我们从一点画三条并非在同一平面，但却在其他方面未被决定的线。根据平行于这些直线的三个运动，任何一点都能够从任何其他点达到。因此，在生理上和度规上作为最简单的东西刻画其特征的三个测量或维度，对于所有的空间决定而言是充分的。这些是基本的事实。

第四十四节

物理的度规的经验像所有形成实验科学基础的经验一样，是概念化的——理想化的。用简单的表达清楚的概念在容易的逻辑的控制下描述事实的需要是这一点的理由。绝对刚性的、在空间上不变的物体，完美的直线和面，像理想气体或理想流体一样不存在。不管怎样，我们更可取和更乐于用这些概念而不是用与对象的性质更密切符合的其他概念工作，而延缓对偏离的考虑。理论几何学甚至不需要考虑偏离，因为它假定绝对满足理论要求的对象，恰如理论物理学所作的那样。但是，在实际几何学的情况下，我们在这里关注实际的对象，我们像在实际物理学中一样被迫考虑与理论假定的偏离。但是，几何学有一个附带的长处，即它的对象与还可以受检测的理论假定的每一个偏离都能被消除；而物理学由于明显的理由不能构造比在自然界中实际存在的更完美的气体。因为在后者的案例中，我们涉及的不只是单独的任意可构造的空间性质，而涉及在自然界中发生的和独立于我们意志的压力、体积和温度之间的关系。

第四十五节

概念的选择受事实的启示；可是，由于看到这种选择是我们自愿在思想中复制事实的结果，因此在这件事情上留下某种自由的余地。概念的重要性由它们应用的范围来估价。这就是为什么直线和面的概念被置于突出的地位，因为每一个几何学对象都能够以充分的近似分成以面和直线为界的要素。我们决定强调的直线、面等等的独特性质是我们自己自由选择的素材，这个真理在就同一概念给出的各种定义中找到了表达。

第四十六节

于是，几何学的基本真理无疑是从物理经验推导出来的，仅仅是由于我们的空间形象化和感觉绝对达不到测量，不能成为度规实验的对象。但是，同样毋庸置疑的是，当有关我们的空间形象化与最简单的度规实验的关系变得熟悉时，于是就能够极为熟练、极为确定地仅仅在想像中摹写几何学事实，即用纯粹的心理经验摹写。正是在我们的空间感觉中的连续变化对应于物理物体中的连续的度规变化，才能使我们仅仅在想像中断定相互依赖的特定的度规要素。现在，如果观察到这样的度规要素以严格相同的方式进入具有不同位置的不同结构，那么将认为度规结果是相等的。上面提到的等腰三角形和等边三角形可以作为范例。几何学的心理实验只是在下述方面优于物理实验：能够以更简单的经验这样地完成立，仿佛它是更容易地、几乎是无意识地获得的。

第四十七节

我们的感觉的空间相像和形象化是定性的，而不是定量的或度规的。我们从它们中推导广延的全等和差别，但从来不是实在的大小。 例如，设想一下图20，一个硬和顺时针向下滚动，围绕着另一个同样大小、没有滚动的固定硬币。即使我们的想像像它愿意的那样活泼，仅仅用摹写的意象（imagery）的纯粹技艺，也不可能在这里决定在转动整个一周时所描绘的角度。但是，如果考虑一下在运动开始时半径a，a’在一条直线上，但是在绕转四分之一周后半径b，b’在直线上，那么将立即可以看到，半径a’现在竖直指向上方，从而完成了半周绕转。从把理想化的经验集中在确定的物理对象上的度规概念可得到绕转的度量，但是绕转的方向却保留在感觉想像中。度规概念仅仅决定，在相同的圆中，相等的弧对着相等的角，与接触点对应的半径处在直线上等等。



第四十八节

如果我想像随其角之一增加的三角形，那么我也将看到与该角相对的边增加。这样产生的上述那种相互依赖的印象，仅仅先验地出自想像的技艺。但是，想像在这里只不过是摹写经验事实，角的度量和边的度量是可应用于同一事实的两个物理概念——这个概念对我们来说变得如此熟悉，以致开始把它们只不过看作是相同的想象的事实群的两种不同的属性，从而好像是联系在一起的十足的必然性。可是，我们在没有物理的情况下从来也不能获得这些概念。比较一下第21节。

第四十九节

在每一个几何演绎中，感觉想像与从经验导出的理想化的概念结合的作用都是明显的。例如，让我们考虑这样一个简单的定理：三角形ABC的边的垂直平分线相交于一个公共点。实验和想像二者无疑都导致该定理。但是，越仔细地作图，人们越变得深信，第三条垂线没有严格地通过头两条垂线的相交之点，因此在任何实际的作图中，将发现三个相交点相互密切接近。因为在实际上既不能画出完美的直线，也不能画出完美的垂线；后者还不能严格地竖立在中点上；诸如此类，不一而足，只有在这样的理想条件的假定上，AB的垂直平分钱才包含距A和B相等距离的所有点，BC的垂直平分钱才包含距B和C相等距离的所有点。由此可得，这两个垂直平分线的交点与A，B和C等距，由于它与A和B等距，它也是第三条垂线即AC的点。因此，该定理断言，越准确地满足假定，相交的三个点将越接近地重合。

第五十节

感觉想像「即Anschauung或正如我们称之为的直觉］和概念的结合作用的意义通过这些例子将无疑变得很清楚。康德说：“没有内容的思想是空洞的，没有概念的直觉是盲目的。”（KdrV A51／B75）也许我们可以更恰当地说：“没有直觉的概念是盲目的，没有概念的直觉是跛瘸的。”因为称直觉［即感觉图像］是盲目的和概念是空洞的似乎并非如此绝对正确。当康德进而说“在每一自然知识的部门中，仅仅存在与在其中包含的数学一样多的科学”（《自然科学的形而上学基础》，导言）时，人们大概也可以就包含数学在内的所有科学断言：“它们仅仅是达到它们用概念操作的程度的科学。”因为我们的逻辑控制只扩展到我们自己已决定其内容的那些概念。

第五十一节

物体是刚性的和可动的这两个事实，对于理解任何几何学事实都会是充分的，不管几何学事实多么复杂都会是充分的，也就是说，从提到的两个事实可以导出它。但是，几何学在它自己的兴趣和它作为辅助科学的作用两方面，或者在对实际目的追求中，都被迫回答以同一方式反复再出现的问题。现在，在这样的偶然事件中，每次都从最基本的事实开始，并推进到显示出来的每一个新案例的根底，也许是不经济的。因此，选择某几个简单的，熟悉的和明确的定理——在我们的这种选择中决不排除任性，并从这些定理中一劳永逸地为实际目的的应用系统形成回答最频繁重现的问题的普遍命题，则是更为可取的。从这种观点来看，我们立即理解了几何学假定的形式——例如，它把重点放在它的关于三角形的命题上。就所预定的意图而言，选择具有最广泛应用范围的，最普遍的可能命题是称心如意的。我们从历史了解，通过把各种知识的特例综合在单一的普遍案例之下，才能得到这种特征的命题。今天，当我们处理两个几何学图形的关系时，或者当形式和位置的不同特例迫使我们修正我们的演绎模式时，我们甚至不得不对这个程序再分类。作为在初等几何学中的这方面的最熟悉的例子，我们可以引用在圆心角和圆周角之间得到的关系的演绎模式。

克罗曼（Kroman）提出这样一个问题：我们为什么认为用特殊图形（特殊的三角形）构成的证明对于所有图形是普遍可靠的？他发现他的答案在于假定，我们能够通过急剧的变化，在思想中把所有可能的形式传递给图形，从而使我们自己相信同一推理模式在所有特例中的可采纳性。历史和内省都宣布，这个观念在所有基本的方面是正确的。但是，我们不可以和克罗曼一起假定，在每一个特例中，每个个别的几何学学生都“以闪电般的迅疾”获得这个完备的概要的观点，并即刻达到所讨论的几何学确信的透彻和强度。频繁需要的操作是绝对不可实行的，误差证明，在其他案例中，它实际上不可实行，依然满足于猜想的探究者立足于类比。除了个人马上达不到或不能达到之外，他可以在他的一生的过程中达到。整整多代人辛苦地确认几何学。对它的确实性的确信无疑被他们的集体努力增强了。我曾经了解，一位在其他方面出色的教师强迫他的学生用不正确的图形完成他们的所有证明，但是在理论上，正是概念的逻辑关联而不是图形，才是本质的东西。但是，嵌入在概念中的经验依附我们的感觉图像。只有实际上形象化的或想像的图形才能够告诉我们，在给定的案例中必须使用什么特定的概念。这位教师的方法令人钦佩地适应于使逻辑操作在达到真理中分担的程度变得容易感觉到。但是，习以为常地使用它就是完全没有领会这样一个真理：概念从感觉的源泉获取它们的基本功能。

如果准确地观察事实，那么还不能坚持用幸运的三段论排列就能够一劳永逸地捕获新洞察的观点：该观点既对单个的初学者或探究者不成立，也对作为一个整体的人或人类不成立，既对几何学不适用，也对其他科学不适用。相反地，科学史表明，正确地还原为它的基础的正确的新洞察迟早在某种程度上可能变混乱，不完备地或以被曲解的形式出现，甚或完全不再为某些探究者所知，只是在以后才以充分的光辉重新显现。洞察的一次发现和表达是不够的。把一般的思维习惯发展到上述的洞察能够变成共同的特性并持久地充满活力的地步，往往需要花费若干年和数世纪。迪昂在他的关于静力学的历史的详尽调研中特别优美地表明了这一点。

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发表于 2008-9-27 23:09 | 只看该作者 第二十二章 从物理探究的观点着空间和几何学

第一节

我们的空间概念根植于我们的生理构成。几何学的概念是物理空间的经验的理想化的产物。几何学体系最终源于如此收集的概念资料的逻辑分类。所有三种因素都在清楚明白的近代几何学中留下它们的痕迹。因此，关于空间和几何学的认识论探究涉及到生理学家、心理学家、物理学家、数学家、哲学家，同样也涉及到逻辑学家，他们只有考虑这里提供的广泛歧异的观点，才能够被带到它们的肯定的解答。

早在青少年时代醒悟到强烈的意识时，我们便发觉我们自己具有包围和环绕我们身体的空间概念，各种各样的物体在这样的空间中运动，部分改变和部分保持它们的大小和形状。我们不可能断定是如何产生这一概念的。只有在意图和方法上计划好的对经验的彻底分析，才能使我们猜想，身体的天生的特质与具有纯粹物理特征的简单的和粗糙的经验之配合可以达到这个目的。

被看见或被接触的对象，不仅用感觉的质（如“红”、“粗糙”、“冷”等）区分，而且也用处所的质（如“向左”、“上”、“前”等）区分。感觉的质可能依然是相同的，而处所的质却连续地变化；即相同的感觉的对象可以在空间中运动。由于物理－生理的环境一而再地引起这类现象，人们发现，不管偶然的感觉的质可能如何变化，处所的质的相同秩序不变地发生，以致后者必然作为感觉的质所进入的和被分类的、固定的和持久的系统或登记薄而出现。现在，虽然这些感觉和处所的质只能够在相互联合中被激励，只能相伴地使它们呈现，但是无论如何容易产生这样的印象：处所的质的比较熟悉的系统先于感觉的质被给予（康德）。

第二节

视觉和触觉的扩大的对象由或多或少可区分的感觉的质构成，而感觉的质与邻近的可区分的，连续渐变的处所的质结合在一起。如果这样的对象运动，特别是在我们支配的范围内运动，我们察觉到它们（整体地或部分地）收缩或膨胀，或者我们察觉到它们依然是相同的；换句话说，刻画它们边界的处所的质的对照或变化，或依然恒定。在后一种例子中，我们称对象是刚性的。通过识别作为与空间位移重合的恒久性，使得我们的空间直觉的各种组分变得可以相互比较——至少在生理学的意义上。通过把不同的物体相互比较，通过引入物理测量，使得这种可比较性变成定量的，变得更精密，从而超过了个体性的限度。于是，对所有人都有效的普适的几何学概念代替了个人的和不可传达的空间直觉。每一个人都有他自己的个人直觉空间；几何学空间对大家则是共同的。我们必须明确区分直觉空间和包含物理经验的度规空间。

第三节

大约在上世纪中期，对几何学基础作彻底的认识论阐明的需要诱使黎曼提出空间本性的问题；高斯、罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和两个鲍耶（Bolyai）的注意力先前就被吸引到几何学某些基本假定的经验－假设特征。在把空间的特征刻画为多重广延的“量值”（magnitU众）时，黎曼无疑考虑到可以同样地被想象为充满整个空间的某些几何学构象——例如笛卡儿坐标系。黎曼进而断言：“几何学的命题不能从普遍的量值概念演绎出来，空间籍以与其他可构想的三重广延量值的独特性质只能够从经验中推导。……这些事实像一切事实一样绝不是必然的，而仅仅具有经验的确实性——它们是假设。”按照黎曼的理论，像每一门自然科学的基本假定也是如此一样，经验把我们导向的几何学的基本假定只不过是经验的理想化。

在这种物理的几何学概念中，黎曼在与他的老师高斯相同的立足点上采取了立场，高斯曾经表示相信，不可能完全先验地确立几何学的基础，并进而断定：“我们必须谦卑地坦白，如果数完全是心智的产物，那么空间另外具有在我们心智之外的实在，我们不能充分地指明关于这种实在的先验定律。”

第四节

每一个探究者都知道，他正在调研的对象的知识本质上是通过把它与有关的对象比较而增加的。因此，黎曼十分自然地在他周围寻找提供与空间某种类似的对象。他把几何学空间定义为三室广延的连续的流形（manifold），该流形的要素是由每一组可能的三个坐标值决定的点。他发现“感觉和颜色（原文如此）的对象的处所也许只不过是概念，它的决定的模式形成多重广延的流形。”黎曼的后继者把其他东西添加到这一类比中，他们还加以发挥，但是我认为措词并非总是恰当的。

第五节

把空间感觉和颜色感觉比较一下，我们发现，三个混合颜色的感觉系列黑－白、红－绿、蓝－黄对应于连续系列“上和下”、“右和左”。“近和远”。感觉的（看见的）处所的系统是像颜色感觉系统一样的三星连续流形。针对这种类比提出的反对意见，即在后一个例子中三种变化（维度）是均匀的和相互可交换的，而在前一个例子中它们是异质的和不可交换的，在把空间感觉与颜色感觉比较时是无效的。因为从心理－生理学的观点来看，“右和左”不容许与“上和下”交换，犹如红和绿与黑和白不容许交换一样。只有当我们把几何学空间与颜色系统比较时，反对意见才明显地受到辩护。但是，还大量需要确立直觉空间和颜色感觉系统之间完备的类似。在感觉空间中的近似相等的距离立即就辩认出是这样的，而就颜色的差异则不能作同样的评论，在这后一领域内，不可能在生理学上相互比较不同的部分。此外，即使通过诉诸物理经验、在用三个数刻画系统的每一个颜色时不存在困难——恰如刻画几何学空间的处所一样，在创造相似于后者的度规系统时也是如此，那么无论如何，就颜色系统寻找对应于距离和容量、具有类似的物理意义的某种东西，将是困难的。

第六节

在类似中总是存在着任意的要素，因为类似关注的是把注意力对准的符合，但是，在空间和时间之间，类似无疑被充分承认，不管我们在词汇的生理学涵义上还是在词汇的物理学涵义上使用这些词汇。在二者的术语的意义上，空间是三重的连续流形，时间是单一的连续流形。正好由其条件决定的，具有适度的即不太长或不太短的持续时间的物理事件，在我们从生理学的角度看来，在现在和其他任何时间似乎具有相同的期间（duration）。在任何时候在时间上同时发生的物理事件，同样地在任何其他时候也是同时发生的。因此，时间的重合存在着，恰如空间的重合存在着一样。因此，不可改变的物理的时间的对象存在着，就像木可改变的物理的空间的对象（刚体）存在着一样。不仅存在空间的实体化（substantiality），而且也存在时间的实体化。伽利略为决定时间使用了像脉博和呼吸的节拍之类的肉体的现象，正像在古代为决定空间使用手和足一样。

第七节

音调感觉的单一流形同样类似于空间感觉的三重流形。音调感觉系统的不同部分的可比较性是由直接感觉到的音乐音程的可能性给予的。对应于几何学空间的度规系统最容易借助振动比率的对数由表达音调的音高得到。对于恒定的音乐音程来说，我们在这里有表达式 log[n/n]＝logn’－logn＝logT－logT’＝常数，在这里，n’，n表示比率，T’，T分别表示较高的和较低的音调的振动周期。对数之间的差在这里描述位移上的长度的不变性。我们作为音程感觉到的不可改变的、实质性的物理对象对耳朵来说在时间上被决定了，而类似的对象对视觉和触觉来说在空间上被决定了。在我们看来，空间度量似乎更简单，仅仅因为把距离本身选作几何学的基本度量，而距离对感觉来说始终是不可改变的，然而在音调领域，我们只有通过冗长的和迂回的路线才达到我们的度量。

第八节

在详细研究我们类比的建构物的符合时，对我们来说，现在依然要强调它们的差异。由于把时间和空间构想为感觉的流形，因而通过改变时间和空间的质使其运动变得可以察觉的对象，被其他感觉的质待征化为颜色、触觉感觉、音调等等。如果把音调感觉系统看作是类似于视觉的感觉空间，那么奇怪的事实产生了，即在第一个领域仅仅出现未由对应于该对象的感觉的质伴随的空间的质，恰如人们在没有看见占据这个处所或延伸这个运动的对象的情况下，却能够看见处所或运动一样。由于把空间的质构想为只能与感觉的质相伴随而被激起的有机体的感觉，因而上述类比看来好像不是特别有吸引力了。对于流形数学家来说，不管确定的颜色的对象是否连续地在视觉空间运动，或者不管在空间上固定的对象是否连续地通过颜色的流形，都呈现出本质上相同的案例。但是，对于生理学家和心理学家而言，两个案例则是大相径庭的，不仅因为上面所提出的理由，而且尤其因为这样的事实：空间的质的系统是我们十分熟悉的，而我们只能够借助科学的手段费力地和人为地想象颜色感觉的系统。颜色在我们看来是作为选录的流形的成员出现的，我们一点也不熟悉这种排列。

第九节

在这里与空间类比的流形像颜色系统一样，也是三重的，或者它们描述了较小数目的变化。空间包含作为两重流形的面和作为一重流形的线，数学家在概括时也可能把作为零重流形的点添加其中。对于拉格朗日来说，在构想作为四维——时间被认为是第四个坐标——解析几何的分析力学时，也没有困难。事实上，解析几何的方程以其与坐标的一致，十分清楚地启发数学家把这些考虑推广到不受限制的较大数目的维度。相似地，在考虑推广的物质连续体（continu－urn）——温度、磁势、电势和引力势作为多重流形的部分或截面归因于连续体的每一点——时，物理学也会受到辩护。正如科学史向我们表明的，决不必把使用这样的符号表示看作是完全无结果的。起初似乎没有无论什么意义的符号，在服从可以称之为理智实验的东西之后，便逐渐获得清楚的和精确的含义。只要想一想代数中的负指数、分数指数和变量指数或者下述案例就可以了：在这些案例中，重要的和必不可少的观念的推广占据了在其它地方完全丧失了的、或使它们在以后许多时期出现的位置。只要想一想所谓的虚量就可以了，在它们处在分配给它们以完全确定的甚至可以想像的意义的地位之前，数学家早就用它们运算了，他们甚至从中得到了重要的结果。但是，符号表示同样也有不利之处：容易丧失对所描述的对象的洞察，用频频没有任何对象与之对应的符号继续操作。

第十节

很容易起来应付黎曼的n重连续流形的概念，甚至有可能使这样的流形的部分实在化和形象化。设a1，a2，a3，a4……a[n＋1]是无论什么要素（感觉的质、实物等）。如果我们构想这些要素以它们的可能的关系混合，那么每一单个的混合将用表达式

a1aG1＋a2a2＋a3a3＋……an＋1a[n＋1]＝1表示，在这里系数a满足方程

a1＋a2＋a3＋……＋a［n＋1］＝1。因为这些系数a可以随乐意而选择，所以n＋l个要素的混合的总体将描述n重连续流形。我们可以把下述形式的表达式看作是这个流形的点的坐标：

am/a1或f（am/a1），例如log（am/a1）但是，在选择距离或者类似于几何学概念的任何其他概念的定义时，我们将不得不十分任意地进行，除非上述流形的经验告诉我们，某些度现概念具有实在的意义，因此受到偏爱，关于具有针对距离元ds2＝dx2＋dy2＋dz2从物体容量的恒定性导出的定义的几何学空间的案例是这样的，关于具有上面提及的对数表达式的音调感觉的案例同样也是如此。在大多数案例中，这样的人为的建构是这类正缺少的被包含、被固定的点，因此整体的考虑是理想的考虑。与空间的类比从而在完备性。多产性和激励功能方面受到损失。

第十一节

可是，在另一个方向，黎曼发挥了高斯的观念；他由后者关于曲面的研究开始。高斯的曲面在任何点的曲率的度量由表达式是k＝do/ds给出，在这里d是曲面的面元，do是单位球的表面面元，而单位球的极限半径平行于面元d的极限法线。曲率的这种度量也可以用形式k＝1／ρ1ρ2来表示，在这里ρ1ρ2是曲面在上述之点的主曲率半径。其曲率的度量对所有点而言有着相同值的曲面——恒定曲率的曲面——具有特殊的兴趣。在把曲面构想为无限薄的、不可膨胀的、但却是固体的物体时，人们将发现，可以使相同曲率的曲面通过弯曲重合——例如平面纸张围着柱面或锥面缠绕就是这样的，但却不能使它们与球的表面重合。在这样变形时，甚至以弄皱的方式变形时，在曲面上所画的图形的成比例的部分就长度和角度来说依然是不变的，倘若我们在我们的测量中不超出曲面的两维的话。相反地，曲面的曲率同样不依赖于它在空间第三维中的构形，而仅仅依赖于它的内部的比例。当时，黎曼构想了概括曲率度量的概念并把它应用于三维或多维空间的观念。与此一致，他设想具有恒定正曲率的有限无界的空间是可能的，它对应于无界但却有限的两维球面，而我们通常认为是无限空间的东西也许对应于曲率为零的无限平面，相似地，第三种空间也许对应于负曲率的曲面。正像在确定不变的曲率的曲面上所画的图形只能在这个曲面上无变形地位移（例如，球面图形只能在它的球面上位移，或平面图形只能在它的平面上位移）一样，类似的条件必然地对于空间图形和刚体也应该有效。正如亥姆霍兹详细表明的，后者能够在恒定曲率的空间中自由运动。恰如平面的最短的线是无限的，而在球面上作为具有确定的有限长度、闭合的和复归为它们自己的大圆出现一样，黎曼同样地构想，在类似物的三维正曲率空间中，直线和平面是有限而无界的。但是，在这里存在着困难。如果我们具有关于四维空间的曲率度量的概念，那么转移到三维空间的特例就能够很容易合理地实行；但是，从特殊的案例向比较一般的案例的过渡包含着某种任意性，这是很自然的，不同的探究者在这里采取不同的路线（黎曼和克罗内克）。对于一维空间（任何种类的曲线）来说，曲率的度量没有内部度量的含义，这样的度量首先出现在与两维图形的关联中，正是这个事实迫使我们询问：某种类似的东西对于三维图形是否有任何意义，在多大程度上有意义？我们用没有实在的事物与之对应、至少用没有什么事物与感觉对应的符号操作，我们错助符号能够证实和纠正我们的观念，我们在这里没有遭遇上述的幻想吗？

这样便达到了关于空间及其与类似的流形的关系之最高的和最普适的概念，这些概念出自高斯对于几何学的经验基础的确信。但是，这个确信的起源具有两千年的预备的历史，我们也许能够从我们现在达到的高度更充分地概览这一主要现象。

第十二节

以手为尺的质朴单纯的人在获知我们的头一批几何学知识后，便把握了最简单的具体对象或图形——直线、平面、圆等等，并且借助能够被构想为这些简单图形的组合的形式研究它们的测量的关联。他们不会不注意到，当物体的一点、接着两点被固定时，它的可动性便受到限制，最后由于固定了它的三个点，它完全停止不动了。假定绕轴（两点）的旋转、或绕平面上一点的旋转像两点与直线和第三点与固定平面恒定接触的位移一样，都通过那条直线，即假定这些事实是分开观察的，那么人们会知道如何在纯粹的转动、纯粹的位移和由这两种独立运动合成的运动之间区分。第一个几何学当然不是建立在纯粹度规概念的基础上，而是对生理的感觉因素作出了许多显著的让步。于是，外观用两种不同的基本度量来说明：（直线的）长度和角度（圆的度量）。直线被构想为刚性的可动的物体（量杆），角度被构想为一条直线相对于另一条直线的转动（用如此画出的弧测量）。无疑地，人们从来也没有要求特别证明用相同的转动在原点画出的角度相等。很容易引出关于角度的附带命题。 使线段b绕它与c的交点如此转动，以致画出角α（图22），在与c重合后再使它绕它与a的交点转动，直到它与a重合为止，这样便画出用β，我们将在同一指向通过角μ把b从它的初始位置转到它的最终位置。因此，外角μ＝α＋β，因为μ＋γ＝2R，所以α＋β＋γ＝2R。把在它们的平面内在位置1处相交的刚性的线系统a，b，c移动到位置2（图23），线段a总是仍旧在它自身之内，纯粹的运动将不会引起角度的变化。如此产生的三角形1，2，3的内角之和显然是2R。相同的考虑也免除了平行线的性质。



关于绕几个点的相继转动是否与绕一点转动等价，纯粹的位移是否完全可能的疑问——当用不同于零的曲率的曲面代替欧几里得平面时，这一点受到辩护——在正在考虑的期间从来也不会在纯朴和快乐地发现这些关系的心智中出现。欧几里得在他的全等原理中刻意回避和隐蔽引入的刚体运动的研究，到今天还是最适合几何学基础教育的工具。借助发现观念的方法能最佳地使它为初学者拥有。

第十三节

当几何学变成职业的和学者的沉思的科目时，事物的这种健全的和朴素的概念消失了，几何学的处理经历了本质的修正。该科目现在必须为个别的概观起见综合这个部门的知识，必须把能够直接辨认的东西与可以演绎和已被演绎的东西分开，必须明确减少演绎的头绪。为了教育的目的，人们把最简单的原理、最容易获得和明显地摆脱了怀疑和矛盾的东西放在开头，使下余的东西基于它们之上。人们竭尽全力简化这些初始原理，在欧几里得的体系中可以观察到这一点。通过这种用别的概念支持每一个概念，把尽可能小的范围留给直接的知识的努力，几何学逐渐离开了它从中起源的经验的土地。人们习惯于使自己认为推导的真理比直接知觉的真理更高级，并最终开始要求从来也没有人怀疑的命题的证明。就这样，具有其逻辑完美和优雅的欧几里得体系出现了——为了制止诡辩派的猛攻，以致按惯例也会这样进行的。可是，这种把一连串的命题放在任意选取的演绎思路之上的人为方法不仅隐藏了研究的道路，而且也完全丧失了对几何学原理之间各种有机关联的洞察。与富有成果的、多产的研究者相比较，这个体系更适合于生产心智狭窄的和缺乏独创性的学究。当偏好对他人的智力成果作奴性评论的经院哲学在思想者中几乎不培育对于他们的基本假定的合理性的任何敏感性，并且通过补偿的方式在他们中间鼓励对于逻辑演绎形式的夸大的尊重时，这些条件并未得到改善。从欧几里得到高斯的整个时期，都或多或少地遭受了来自这种心智的影响。

第十四节

在欧几里得把他的体系建立于其上的命题中，可以找到所谓的第五公设（也称为第七公理，有人称为第十二公理）：“如果一条直线与两条直线相交，以致在它的同一侧的两个内角合在一起小于两直角，那么这些直线在被连续延长时，最终将在其角是小于两直角的那侧处相交。”欧几里得容易证明，如果一条直线落在另外两条直线上时，它使错角彼此相等，那么这两条直线将不相交，而是平行的。但是，对于逆即平行使落在它们之上的每一直线的错角相等的证明，他却不得不诉诸第五公设。这个逆等价于这样的命题：通过一点只能画一条线与直线平行。进而，由于借助这个逆能够证明三角形的角之和等于两直角，以及从这个定理再次得出第一个定理的事实，赋予欧几里得几何学第五公设以独特的和基本的意义的、所讨论的命题之间的关系变得清楚明白了。

第十五节

缓慢会聚的线的相交处在作图和观察的范围之外。因此，可以理解，鉴于包含在第五公设中的断言的巨大重要性，欧几里得的后继者由于他习惯于严格性，竟然甚至在古代就绷紧每一根神经证明这个公设，或者用某个直接明显的命题代替它。为了把这个第五公设从欧几里得的其他假定中演绎出来，从欧几里得到高斯时代人们就作出了无数无效的努力。出于十足渴望科学的阐释，在追求潜藏的真理源泉中花费了诸多世纪的辛劳，正是这些人奉献的令人钦佩的场景，可是从来没有一个理论家或实践者实际上怀疑过这一切！我们以热切的好奇心追踪寓居于人类对知识这种追求中的道德力量的固执表达，我们满意地注意到，探究者的失败如何逐渐地导致他们察觉几何学的真实基础是经验。我们将使我们自己满足于几个例子。

第十六节

在其对平行理论的贡献方面著名的探究者当中，有意大利人萨凯里（Saccheri）和德国数学家兰伯特（Lambert）。为了使他们的进攻模式变得可以理解，我们将首先谈到，我们相信我们经常观察的矩形和正方形的存在，在不借助第五公设的情况下无法证明，例如，让我们考虑两个在A和D具有直角的全等的等腰三角形ABC，DBC（图24）， 并设它们在它们的斜边BC处在一起，以致形成等边的四边形ABCD，欧几里得的头27个命题不足以决定在B和C处的两个相等的（直）角的特点和大小。因为长度的度量和角度的度量根本不同且不可直接比较；因此，关于边和角的相关的头一批命题仅仅是定性的，关于像角之和这样的角的定量定理的绝对必要性从而也是如此。进而要谈到的是，类似于欧几里的27个平面几何命题的定理也可以针对球面和具有恒定负曲率的曲面建立，在这些案例中类似的作图分别在B和C处给出钝角和锐角。



第十七节

萨凯里的主要成就是他陈述这个问题的形式。如果第五公设包含在余下的欧几里得假定中，那么就可能在没有它帮助的情况下证明，在A和B处具有直角且AC＝BD的四边形ABCD（图25）中，在C和D处的角同样也是直角。另一方面，在这个项目中，C和D或是钝角或是锐角的假定将导致矛盾。换句话说，萨凯里力图从直角、钝角或锐角的假设引出结论。他表明，如果证明这些假设的每一个在一个案例中成立，那么它将在所有案例中都成立。为了证明锐角、直角或钝角的假设的普适有效性，仅仅必须拥有一个其角2R的三角形。值得注意的是这一事实：萨凯里也谈到支持直角假设的生理－几何学实验。如果线段CD（图25）与垂直于直线AB的相等的垂线的两个端点连结，从第一条线的任何一点N出发在AB上终止的垂线即NM等于CA＝DB，那么直角的假设被证明是正确的。萨凯里如实地不认为，与另一个直线等距的线本身是直线并非自明。只要想一想平行于球上的大圆的圆就可以了，该圆没有描绘球上的最短线，不能使它的两面全等。

直角假设正确性的另一个实验证明如下。如果表明半圆中的角（图26）是直角，即α＋β＝R，那么2α＋2β＝2R是三角形ABC的角之和。如果使半径在半圆上三次对向（subtend），且连结第一个和第四个端点的线通过圆心，那么我们将在C处有（图27）3α＝2R，从而三个三角形的每一个将有角之和2R。不同大小的等角三角形（相似三角形）的存在同样有待于实验证明。就图28而言，若在B和C处的角给出β＋δ＋γ＋ε＝4R，则四边形BCB’C’的角之和也是4R。甚至沃利斯（1663）把他对第五公设的证明建立在相似三角形存在的假定上，近代几何学家德尔布吕夫（Delboeuf）从相似假定演绎出整个欧几里得几何学。



萨凯里相信，他能够轻而易举地驳倒钝角假设。但是，锐角假设却把困难摆在他的面前，他在对所期望的矛盾的寻求中被带到一个意义最深远的结论，罗巴切夫斯基和鲍耶随后用他们自己的方法重新发现了这些结论。他最终感到不得不把最后命名的假设作为与直线的本性不相容的东西加以拒斥；因为它导致在无穷远处相交的、即在那里具有公共垂线的不同种类的直线之假定。萨凯里在预知和提升后继的阐明这些问题的劳动中没有作许多事情，不过显示出某种倾向于传统观点的偏见。

第十八节

兰伯特的专题论文（1766）在方法上与萨凯里的方法有关联，但是它在其结论上更进一步，并且给出较少受约束的视野的证据。兰伯特由考虑具有三个直角的四边形出发，审查了从第四个角是直角、钝角或锐角的假定中可能得出的推论。他发觉图形的相似与第二和第三个假定不相容。他发现，要求三角形角之和超过2R的钝角案例在球面几何学中成为真实的，在球面几何学中平行线的困难完全消失了。这导致他猜想，在其中三角形的角之和小于2R的锐角案例可能在具有虚半径的球面上实现。用之和背离2R的量在两个案例中正比于三角形的面积，通过适当地把大三角形分为小三角形可以证明这一点，小三角形在减小时可以变得像我们乐意地那样趋近角之和2R。兰伯特在这个概念上推进得十分接近现代几何学家的观点。人们公认，虚半径r[-1]的球不是可以具体化的几何构图，但是在解析上它是具有负的恒定高斯曲率度量的曲面。从这个例子再次显而易见，在完全缺乏其他支撑点，在有用的办法以其价值必须受到尊重的时期，用符号实验如何也可以把探究引向正确的路线。甚至高斯也显露出具有虚半径球的思想，这一点从他的关于圆周的公式（致舒马赫（Schumacher），1831年7月12日）来看是很明显的。可是，兰伯特实际上不顾一切地相信，他如此接近第五公设的证明，以致能够很容易地提供所需要的东西。

第十九节

现在，我们可以转向其观点对于几何学概念具有最根本意义，但却仅仅用口头或信件简要报告他们看法的研究者。“高斯认为几何学只不过是在逻辑上连贯的作图体系，它具有作为公理被置于顶点的平行理论；可是，他得以确信，这个命题不能被证明，尽管人们从经验——例如从连结布罗肯（Brocken）、霍恩哈根（Hohenhagen）和因塞尔斯堡（Insel*****erg）的三角形的角度——知道它是近似正确的。但是，如果不承认这个公理，那么他坚决主张，由于不接受它便产生了不同的和完全独立的几何学，他曾经研究过这种几何学，并用反欧几里得几何学的名字称呼它。”按照萨尔托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森（sartoriusvon Waltershausen）的看法，高斯的观点就是这样的。



由这一点开始，O.斯托尔茨在他的十分有教益的小册子中力图从纯粹可观察的经验事实中演绎欧几里得几何学的主要命题。在这里，设给出（图29）一个具有用之和2R的大三角形ABC。我们在BC上画垂线AD，通过BAE≈ABD和CAF≈ACD完成图形，并把全等图形CBHA”G添加到图形BCFAE之中。于是，我们得到单个矩形，因为在E，F，G，H处的角是直角，在A，C，A’，B处的角是平角（等于2R），因此边界线是直线且对顶角相等。通过与在矩形的边之一的中点垂直的垂线，能够把该矩形分为两个全等的矩形，继续这一程序，可以把平分线引到我们在被分割的边上乐意的任何点。相同的作法对于其他两边而言也为真。

因此，从给定的矩形ABCD（图30）切出相互之间具有形成任何比例的边的较小的矩形AMQP，是有可能的。这个最后的矩形的对角线把它分成两个全等的直角三角形，其中每一个不管边的比例，具有角之和2R。每一个非直角三角形能够通过画垂线被分解为直角三角形，其中每一个能够再次被分解为具有更小边的直角三角形，以致每一个三角形的角之和终归是2R，倘使这对一个三角形严格为真的话。借助这些基于观察的命题，我们容易得出结论，矩形的（或任何所谓的平行四边形）的对边不管延长得多么远，处处离开的距离相同，也就是，永远也不相交。它们具有欧几里得平行的性质，可以像这样称呼和定义。现在，从三角形和矩形的性质同样可得，如此被第三条直线相交的两直线，致使它们同一侧的内角之和小于两直角，它们在该侧相交，但是在二者之中的任一方向，它们从它们的交点起将运动得相互无限地远离。因此，直线是无穷的。是作为公理或初始原理陈述的无根据的断言的东西，作为推理的结果可以具有健全的意义。

第二十节

因此，几何学是由把数学应用于关于空间的经验构成的。像数学物理学一样，它只有在它描述经验对象的条件下，借助图式化和理想化的概念，才能变成精密的演绎的科学。恰如力学能够断定质量的恒定性，或把物体之间的相互作用仅仅在观察误差限度内还原为简单的加速度一样，同样地也仅仅能够在相似限制内坚持直线、面的存在，角之和的量等等。但是，正像物理学有时发现它自己被强使用其它比较普遍的假定代替它的理想的假定，用依赖距离的加速度取代落体的恒定加速度，用热的可变量而不是热的恒定量一样，当事实要求相似的程序或该程序对科学的阐明暂时是必要的时候，也同样容许它在几何学中存在。现在勒让德（Legendre）、罗巴切夫斯基和两个鲍耶的努力将显示在他们的新见解中，较年轻的那位鲍耶可能直接受到高斯的激励。

第二十一节

我们将不谈及也是高斯同代人的施韦卡特（Schweickart）和陶里努斯（Taurinus）的辛劳。罗巴切夫斯基的工作是变得为思想界的人所知，并且如此富有成果的第一个（1829）。此后不久，较年轻的鲍耶的出版物发表了（1833），它与罗巴切夫斯基的在所有基本之点一致，只是在它的发展形式上有所偏离。根据原文（1899年出版），可以容许假定，罗巴切夫斯基也着手他的研究，以期望由于反驳欧几里得公理而变得陷入矛盾之中。但是，在他发现他自己在这一期待中犯了错误之后，他具有理智勇气从这个事实引出全部推论。罗巴切夫斯基以综合的形式给出了他的结论。不过，我们能够相当有理由地想像为构造他的几何学铺平道路的一般的分析思考。



从处在直线g（图31）之外的一点向下引垂线p，通过平面pg内的同一点画直线h，使它与垂线成锐角s。在作出g和h不相交、但在稍微减小一点点角s时它们会相交的假定时，空间的均匀性立即迫使我们得出结论：具有同一角s的第二条线k本身在垂线的另一侧举止相似。因此，通过同一点所画的所有不相交的线都位于h和k之间。后者形成相交的线和不相交的线之间的边界，罗巴切夫斯基称其为平行。

在《几何学的新原理》（1835）的引言中，罗巴切夫斯基证明他自己是一位彻底的自然探究者。没有一个人会想到把下述未加工的观点甚至归因于有感官的普通人：“平行角”比直角小得多，当稍加延长时能够清晰地看到，它们能够相交。在这里所考虑的关系只容许在歪曲了真实比例的绘图中表示，相反地我们必须想象，由于截量（cut）的维度，s偏离直角的变化如此之小，以致h和k表面看来难以区分地重合起来。现在把垂线p延长到超过它与h的交点的一点，并通过它的端点画新线l平行于h，从而也平行于g，由此可得，平行角s’必然小于s，倘若h和l不再满足欧几里得案例的条件的话。以相同的方式继续延长垂线和画平行，我们得到不断减小的平行角。现在，考虑更远离的、从而在收敛一侧更急剧收敛的平行，我们将在不与先前的假定抵触的情况下，被迫从逻辑的角度假定，在趋近或垂线的长度减小时，平行角将再次增大，因此，平行性的角是垂线p的反函数，罗巴切夫斯基用II（p）来标示它。平面上的平行群之排列在图32中用图解表示。它们都相互对称地趋近它们收敛的一侧。空间的均匀性要求能够使两个平行之间的每一个“条带”与每一个另外的条带重合，倘若把它在纵向上移动所需要的距离的话。

第二十二节

如果设想圆无限地增大，那么当不断增加的弧达到圆的半径的收敛与平行一致的地点时，这些半径将停止相交。于是，圆通过所谓的“界线”。类似地，如果球面无限地增大，它将通罗巴切夫斯基命名的“界面”。边界线与边界面具有的关系，类似于大圆与球面具有的关系。球面几何学与平行公理无关。但是，由于能够证明，由界线在界面上形成的三角形与在无限半径球上的有限的三角形相比并没有显示出角之和的过量，因此欧几里得几何学的法则对于这些边界三角形也有效。为了找到边界线的点，我们在处于平面上的平行把（bundle）aα，bβ，cγ，dδ……中决定这些平行中的每一个的点a，b，c，d，这些点相对于aa中的点a如此定位，以致于∠αab＝∠βba，∠γca，∠αad＝∠δda……（参见图33）。由于整个构图的同一性，可以把每一个平行看作是界线的“轴”，当界线绕这个轴转动时，它将产生界面。同样地，也可以把每一个平行看作是界面的轴。出于相同的理由，所有界线和所有界面都是全等的。每一个平面与界面之交是圆；只有当割平面包含轴时，它才是界线。在欧几里得几何学中，不存在界线，也不存在界面。在这里，它们的类似物是直线和平面。如果不存在界线，那么必然地，任何不在直线上的三点必定在圆上。因此，比较年轻的鲍耶能够用这最后的公设代替欧几里得公理。



第二十三节

设aα，bβ，cγ是平行系，ae，a1e1，a2e2……是界线系，这些系中的每一个都把另一个分为相等的部分（图33）。因此，在相同的平行之间的任何两个界弧的相互之比率，例如ae＝u和a2e2＝u’，仅仅依赖于它们分开的距离aa2＝x。我们可以一般地提出u/u’＝ex/k，在这里k如此选取，以使e将是自然对数系的底。以这种方式引入指数，并借助这些引入双曲函数。对于平行性的角来说，我们得到s＝cot1/2∏（p）＝ep/k。若p＝0，则s＝π／2；若p＝∞，则s＝0．

一个例子将阐明罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学和球面几何学的关系。对于具有边a，b，c和角A，B，C的直线罗巴切夫斯基三角形来说，当C是直角时，我们得到 sinh(a/k)＝sinh(c/k)A. 。在这里，sinh代表双曲正弦，sinhx＝1/2 (ex－e-x)而sinx＝（1/2 i）（eix－ e－ix），或者sinhx＝x／1！＋x3／3！＋x5／5！＋x7／7！和sinx＝x／1！－x3/3＋x5/5！－x7/7！＋……。

考虑到在前述的公式中所包含的关系sin（xi）＝i（sinhx）或sinh（xi）＝isinx，人们将看到，上面罗巴切夫斯基三角形给出的公式通过对球面三角形成立的公式，即sin（a／k）＝sin（c／k）sinA，此时用ki代替前者中的是，并像他那样把k看作是球的半径，而在通常的公式中假定它的值是一个单位。用同一方法把球面公式重新变换为罗巴切夫斯基公式是明显的。如果k与a和c相比十分大，那么我们可以把我们自己局限于在二者案例中得到的关于sinh和sin的平面欧几里得几何学公式的级数的第一项a／k＝（c／k）sinA或a＝C sinA，我们可以认为这是罗巴切夫斯基几何学和球面几何学二者对于十分大的人的值或对于k＝∞的极限情况。同样可以允许说，这三种几何学在无穷小的领域相符。

第二十四节

正如我们看到的，仅仅在平行线收敛的假定上，就有可能构造自我一致的，无矛盾的几何学体系。确实，不存在我们可以达到的几何学事实的单一观察，表明支持这一假定，人们公认假设随我们的几何学本能有如此大的变化，以致容易说明诸如萨凯里和兰伯特这样的早期探究者对它的态度。我们的想像因为被我们的形象化模式和熟悉的欧几里得概念统治着，只是零碎地和逐渐地有能力把握罗巴切夫斯基的观点。在这里，我们必须容许我们自己与其受源于单一的狭窄空间的部分的感觉图像的引导，还不如受数学概念的引导。不过，我们必须承认，我们通过我们的首创精神在某一任意范围内藉以描述几何学经验的事实之定量的数学概念，并没有以绝对的精确性复写后者。不同的观念能够以相同的精确性在观察可以达到的领域内表达这些事实。因此必须把事实与理智的建构仔细区分，事实启示了理智建构物的形成。后者即概念必须与观察一致，此外必须在逻辑上相互一致。现在，这两个要求能够以一种以上的方式付诸实现，不同的几何学体系由此而来。

第二十五节

显然，罗巴切夫斯基的工作是持久的和紧张的智力努力的成果，可以推测，在他能够综合地介绍它之前，他首先从一般的考虑并通过分析的（代数的）方法获得了他的体系的明晰概念。在这个麻烦的欧几里得形式中的说明决不是诱人的，它可能主要由于这一事实：罗巴切夫斯基和鲍耶的工作的意义如此之迟地才得到承认。

第二十六节

罗巴切夫斯基仅仅发展了欧几里得第五公设的修正结果。但是，如果我们抛弃欧几里得的“两条直线不能封闭空间”的断言，那么我们将得到罗巴切夫斯基几何学的伴随部分。局限于面，它将是球面几何学。我们有大圆代替欧几里得直线，所有大圆相交两次，其中每一对封闭两个球面二角形。因此，设有平行。黎曼第一个宣布了关于三维（正曲率）空间的类似的几何学的可能性，这个概念甚至到高斯好像还没有出现，可能由于他对无穷的偏爱。亥姆霍兹在物理学上继续黎曼的研究，轮到他时，他在他的第一个出版物中也忽略了罗巴切夫斯基的负曲率（具有虚参数k）空间的案例的发展。实际上，对这个案例的考虑对数学家来说比它对物理学家来说要更加明显。亥姆霍兹在所提及的出版物中仅仅处理了欧几里得的零曲率案例和黎曼的正曲率空间。

第二十七节

因此，我们能够以尽可能的精确性用欧几里得几何学以及罗巴切斯基和黎曼的几何学描述空间观察的事实，倘若在后两种情况下我们取参数k是足够大的话。物理学家迄今没有发现违反欧几里得几何学的假定k＝8的理由。坚定不移地固守最简单的假定，直到事实迫使它们复杂化或修正它们，正是他们的实践和长期的、可靠的经验的结果。这同样与所有伟大的数学家对于应用几何学的态度一致。物理学家和数学家对于这些问题的行为总的来说是不同的，但是这不能用环境来说明，即对于前一类探究者来说，物理事实具有最大的意义，几何学在他们看来只不过是方便的研究工具，而对后一类探究者来说，正是这些问题是探索的首要素材，具有最大技巧的、特别是认识论的兴趣。设想数学家尝试性地修正我们几何学经验的最简单的和最直接的假定，设想他的尝试富有新颖的洞察，那么从纯粹的数学兴趣来看，肯定没有什么东西比应该一步执行这些探索更自然的了。我们熟悉的几何学的类似物是针对任何数目的维度在较广阔和较一般的假定之上构造的，这些假定不要求被视为比理智的科学实验更多的东西，不具有应用于实在的观念。在支持我的评论时，提一下克利福德（Cliford）、克莱因、李（Lie）和其他人在数学中作出的进展是充分的。思想者很少变得如此沉浸在幻想之中，或者如此远离实在，以致就我们的空间想像超过给定的感觉空间的三维的若干维度，或者构想用可以看见背离欧几里得几何学的任何几何学描述那种空间。高斯、罗马切夫斯基、鲍耶和黎曼在这一点上是十分清楚的，肯定不能认为他们对随后在这个领域出现的荒诞不经的虚构负有责任。

第二十八节

针对几何学的建构物在无穷处和不可达到的地点的行为作假定，然后接着把它们与我们即时的经验加以比较，并使它们适应于它，这与物理学家的的原则不一致。像斯托尔茨这样的物理学家就偏爱注重作为他的观念源泉直接给予的东西，他认为在被迫改变它们之前，也可以把它们应用于达不到的东西。但是，他也可能极其感激存在几种适当的几何学发现，我们也能够对于有限空间运用它们，一句话，他感激废除某些因袭的思想障碍。

假如我们生活在具有混浊的、不透光的大气的行星表面上，我们在假定地球的表面是平面、我们唯一的工具是矩尺和链的基础上着手测量，那么大三角形角之和超过量的增加会立即迫使我们用测球面学代替我们的测平面学。作为一个原则问题，物理学家不能排斥在三维空间中的类似经验的可能性，尽管会迫使接受罗巴切夫斯基几何学和黎曼几何学的现象，应该呈现出与我们迄今已经习惯的现象如此奇特的对照，以致人们将不认为它们的实际发生是可能的。

第二十九节

给定的物理对象是直线还是圆弧，这个问题没有被恰当地阐明过。拉紧的绳索或光线肯定既不是一个，也不是另一个。问题仅仅在于，是否对象在空间中如此作用使得它更好地符合一个概念而不是另一个概念，是否它以对我们来说是充分的、我们可以达到的精密性完全符合任何几何学概念。把后一个案例排除在外，便出现了这样一个问题：我们是否能够实际上消除、或者至少在思想上决定和顾及与直线或圆的偏离呢，换句话说，我们是否能够矫正测量的结果呢？但是，在实际测量中，我们总是依赖物理对象的比较。如果按照直接的调研，这些对象在可以达到的最高的精确度上与几何学概念一致，但是间接的测量结果却比考虑所有可能的容许误差更多地偏离了理论，那么肯定应该责成我们改变我们的物理－度规概念。物理学家将有理由等待这样的境况的出现，而数学家将总是有他的思辩的自由天地。

第三十节

在自然探究者使用的所有概念中，最简单的概念是空间和时间概念。与他的概念建构物一致的空间和时间的对象，能够以极大的精密性构造。几乎每一个可观察的偏离都能够被消除。我们能够在不违反事实的情况下，设想任何空间的或时间的建构物的实在化。下余的物体的物理性质是如此密切地关联在一起，以致在这里任意的虚构都因事实而受到狭窄的限制。理想气体、理想流体，理想弹性体都不存在，物理学家知道，他的虚构仅仅近似地、通过任意简化地符合事实；他完全意识到无法消除的偏离。我们能够在不违反任何事实的情况下构想球、平面等等，并以不受限制的精密性构造它们。因此，如果任何物理事实碰巧使我们的概念的修正成为必要的，那么物理学家将于可牺牲较少完美的物理学概念，而不是放弃较简单的、较完美的和较持久的几何学概念，因为这些几何学概念形成了他的所有理论的牢固基础。

第三十一节

但是，从另一个方向来看，物理学家能够从几何学家的劳动中得到实质性的帮助。我们的几何学家总是涉及感觉经验的对象。然而，只要我们开始用像原子和分子——从它们的真正本性来看，它们从未能够成为感觉注视的对象——这样的思想事物操作，我们无论如何没有任何义务认为它们处在对我们感觉经验的欧几里得三维空间来说独有的空间关系中。这可以引起相信原子思辨是不可或缺的思想者的特别注意。

第三十二节

让我们在思想上返回几何学在实际生活需要中的起源。认识空间的物质性和空间的对象不管它们的运动之不变性，在生物学上对人的存在来说是必不可少的，因为空间的量直接与我们的需要的量的满足有关。当我们的生理组织未充分地提供这类知识时，我们使用我们的手和足与空间的对象比较。当我们开始相互比较物体时，我们便进入物理学领域，不管我们使用我们的手还是人造的量器。一切物理学的决定都是相对的。因此，所有几何学的决定同样相对于量器具有有效性。测量概念是关系的概念，该概念没有包含未在量器中包含的东西。在几何学中，我们仅仅假定，量器将始终并且处处与它在某一其他时间和某一其他地点重合的东西重合，但是，这个假定对于与量器有关的东西不是决定性的。代替空间的生理学的质的，是截然不同定义的物理的质，不要把后者与前者混淆起来，如同不要把温度计的指示与热的感觉等同起来一样。的确，实践的几何学家借助保持在恒定温度中的量器决定被加热的量器的膨胀，并注意到上述的叠合关系受到这种非空间的物理环境扰乱的事实。但是，对于纯粹的空间理论而言，所有关于量器的假定都是不相干的。完全在生理学上造成的认为量器是不变的习惯，心照不富地、但却不合理地保留下来。假定量器，从而一般地假定物体在空间中位移时经受了变化，或者它们在这样的位移时依然未变化——这个事实本身只能使用新的量器才能决定——也许是完全多余的和无意义的。这些考虑使所有空间关系的相对性变得显而易见。

第三十三节

如果量器的引入实质上修正了空间的质的标准的话，那么把数的概念引入几何学则使该标准受到更进一步的修正和增强。存在着通过这种引入获得的细微的区别，仅有叠合观念是永远无法达到这种区别的。算术应用于几何学导致不可公度性和无理数的概念。因此，我们的几何学概念包含不是空间固有的外加的要素；它们用某种纬度描述空间，也任意地以比空间观察更大的精确性可能实现。事实和概念之间的这种不完美的接触说明了不同的几何学体系的可能性。能够就物理学说严格相同的话。

第三十四节

导致我们的几何学观念转变的整个运动，必定能够被描绘成一个健全的和健康的运动。没有人认为，这个在若干世纪前开始、但在现在大大增强了的运动终止了。相反地，情况完全证明我们的下述期望是有正当理由的：它不仅促进了数学和几何学的巨大进展，尤其是在认识论的关系方面，而且也促进了其他科学的巨大进展。确实，这个运动受到几位著名人物的强大激励，但是它无论如何不是源于个人，而是源于普遍的需要。从参与其中的人的职业差别将看到这一点。不仅数学家，而且哲学家和教育学家也对它作出了巨大的贡献。不同的探究者寻求的和没有联系的方法也是如此。莱布尼兹表达的观念以稍微改变的形式在博里叶、罗巴切夫斯基、鲍耶和H．艾布（Erb）到那里重现哲学家于贝韦格（Ueberweg）在他反对康德时十分接近生理学家贝内克的观点，在他从付艾布（H．艾布提到K．A．艾布（Erb）是他的先驱）出发的几何学观念中行动在亥姆霍兹工作的颇大部分之先。

第三十五节

前面的讨论导致的结果可以概括如下：

（1）我们的几何学概念的起源被发现是经验。

（2）满足相同的几何学事实的概念的多样性被揭示出来。

（3）通过把空间和其他流形比较，便达到比较普遍的概念，几何学概念是这些概念的特例。几何学思想就这样摆脱了因袭的、迄今被想像为不可超越的局限。

（4）通过证明与空间同源但又不同于空间的流形的存在，提出了全新的问题。空间在生理学、物理学、几何学上是什么？由于其他性质也是可相信的，把它的特殊性质归因干什么？空间为什么是三维的？如此等等，不一而足。

第三十六节

对于诸如此类的问题，虽然我们没有必要期望今天或明天就可以作出回答，但是我们却在被调研的领域的整个深奥性面前停滞不前。我们将对“愚笨的人”的不适当的苛评不置可否，高斯曾预言他们会到来，他们的态度决定了他秘而不宣。但是，对于高斯、黎曼和其他后继者所遭受到的高居于科学界的人物的辛辣的和吹毛求疵的批评，我们将有话要说。探究者在知识的最外面的边界上发现了许多事物，这些事物没有平稳地滑入所有的头脑，但是由于这个缘故它们不是胡说八道，难道他们在自己身上从来也没有体验过这个真理吗？确实，这样的探究者易于出错，但是，即使一些人的错误也往往在它们的结果方面比另一些人的发现更富有成效。

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发表于 2008-9-27 23:10 | 只看该作者 第二十三章 与度规时间相对照的生理时间

第一节

在一个尽可能均匀和恒定的、附带在观念上具有最小的可能变化的环境中，如果我们好像从睡眠中醒来却还昏昏欲睡，我们听到时钟均匀的报时声，那么我们清楚地把第二个报时声与第一个区分开来，把第三个与第二个和第一个区分开来，一句话，把较后的与较前的区分开来，尽管所有报时声都具有相同强度的音高和音色。我们一点也不怀疑报时声之间的间歇的质，同时在无人为的帮助的情况下立即注意到这种事态是否被扰乱。我们即时地感觉到时间和在时间中的位置，恰如即时地感觉到空间和在空间中的位置一样。没有这种时间感觉，就不会有测时学，正像没有空间感觉就不会有几何学一样。

第二节

处在时间感觉的根底的独特生理过程的存在，很可能变成我们在最多变种类的时间结构中、例如在超越节奏而没有相似性的旋律中辨别节奏的质的给定的环境。我们感觉不受它的质妨碍的过程的节奏。明显的生理事实加重赞成这样的观点：基本的感官本身有助于空间感觉的建立。例如，扭转的弹簧或流水的运动的余像（普拉蒂奥和奥佩尔（Oppel）或者德沃日阿克（Dvi rak）的在亮度上过长时间的变化的照亮或遮暗的余像（after-image），都是这样的事实。在即时的知觉的限度内（即略去钟表指针或抛射体的极端案例），位置和亮度的变化率不仅是数学的和物理学的度量的概念，而且也是生理学的对象。

第三节

在我们的生理时间直觉和通过物理过程相互之间的时间比较得到的度规时间之间，存在着类似于生理空间和度规空间之间的那样的差异。事实上，二者似乎是连续的；在生理时间中的稳定位移对应于在物理时间中的另一个位移，二者仅仅在一个方向流逝。不过，这穷尽了一致。与生理时间相比，物理时间时而流逝得较快，时而较慢；也就是说，并非所有相等的物理期间的过程对于即时的观察似乎都如此。时间中的点的物理辨别比生理辨别要精确得多。对于我们的时间直觉来说，现在看来好像不是时间的点——这个点必定总是内容空洞的，而是具有可变限度的值得注意的期间的时间之片断，这个限度模糊不清，实际上难以决定，因案例不同可以移动，时间直觉被恰当地局限于这个限度，并通过过去的记忆和由幻想想像的未来——二者出现在真正按透视比例缩小的时间透视图中——十分微妙地完成了。这使时间直觉的限度为什么是不精确的变得不可理解。对于物理学来说，一个周期性地重复的个体的节奏只不过是一个个体的结构；对于我们的时间直觉而言，这个结构的形式在注意力到达之点变化。以相同的方式，一个几何学结构的形式对于空间直觉来说按照取向和固定的点而变化，这对于一维时间而言限定于单一的决定因素。

第四节

今天，我们几乎不能怀疑，时间直觉像空间直觉一样，是受我们的遗传的身体组织制约的。要使我们自己摆脱这些直觉，我们必然是枉费心机。但是在这样采纳天生的理论时，我们没有断言，它们在诞生时就完备地发展得充分明晰了；也没有断言，我们放弃了关于它们如何与生物学需要联系或后者如何影响系统发育和个体发育的发展之陈述。最后，在这方面，迄今还没有一个人排斥空间和时间的直觉如何与几何学和测时学的概念关联的研究。对概念而言，直觉是必要的，但不是充分的；要形成度规概念，我们需要关于物体的相互空间行为和物理过程的时间行为的互补经验。

第五节

让我们首先力图阐明时间感觉的生物学意义。在斯宾塞那里，我们找到了恰当的评论：时间感觉的发展与空间的发展结合在一起，并依赖于它。针对无论力学的还是化学的感觉的刺激仅仅需要维护自身或使自身适应的动物，将以相应的同时发生的反应对付。这些最后的反应可能与在组织上受制约的，不受环境影响的过程的时间进程关联在一起；这样的自动的过程将造成对有意识的时间概念的需要。不过，当感觉的行动的空间半径变得较大时，以致在它到达能及的范围内之前，正在趋近的猎物因气味、声音或在一定距离可以看见的踪迹将暴露自身时，此时便需要按序列的自然的时间顺序这样趋近序列。因为没有这样的心理重演，反应就不能以例如捕获所要求的在时间上有序化的和被度量的阶段开始行动。然而，一旦猎物被吞下，消化过程便与意识无关，因此不再参与它。时间的感觉和观念是在适应时间和空间的环境的过程中得以发展的。人的兴趣横跨空间和时间的最广泛的延伸，因而人事实上具有最发达的时间的感觉和观念。

第六节

这实际上是我们经验的心理重演的基本特性，这些重演不仅就可感觉的要素及其结合的质而言，而且也就空间和时间的关系和大小而言都像原型（original）。准确决定的东西是实践和注意的程度，但是，甚至不注意的人在记忆中也没有看到屋顶向下的房子，大建筑物在他看来好像不具有小人国的尺度或不具有不均衡的高烟囱，在回忆音乐的片断时，我们没有颠倒音调或节奏的时间的序列，柔板并未作为快板重演，反之亦然。这一切指明这样的事实：正是在我们称为严格意义的感觉的那些经验要素之上，存在着形成一个相对牢固的基础（像照相底板和留声柱面）的其他要素，这些要素总是重演、同样也防止记忆图像过多的空时畸变。

第七节

各种考虑力图获得对我们的时间观点的把握。在开端，十分清楚，无论感觉还是观念这样的心理要素的时间进程，本身并不包含这样的进程的意识。如果总是把我们的心理视域在时间上局限于充分狭窄的赠品，那么就根本无法察觉变化的事实。因此，意识总是必须围绕一定的时间的延伸，其中存在着正在衰微的感觉和观念，同时也存在着新浮现的感觉和观念，因为头一批被看作是较早的，第二批被看作是较迟的。此外，如果我们构想由共同的情感等等刻画其特征的相对稳定的自我复合（ego－complex），那么它构成一种具有在时间上有序的、流过它的一连串变化的磐石。这似乎是一个相当过得去的图景，似乎对应于我们用以把孤立的成员排列成经验链环的方式。容易把可感觉的现在的经验与衰微的和比较易于消失的最接近的过去记忆区别开来，以及与更加衰微的较遥远的过去的记忆区别开来。联想的思絮把我们从最古老的记忆导向最近的记忆，导向现在的记忆，并通过它导向幻想在我们面前反映的预期。不过，仅仅把事物按数值排序——我们可以如此称呼这个过程——在我看来并未充分符合事物的时间进程的观点。当在按透视法严重缩短的透视中回忆遥远的过去时，我们也许可以使用的正是这一程序。例如，这将几乎不能按照节拍和节奏——二者在可感觉的现在和逼真的记忆中——产生音乐片断的实在的时间的观点。仿佛缺乏上面提到的刚性和经验在其上被投射的未畸变的背景。

第八节

为了较充分地把握这一最后的环境，考虑一个物理学案例。扰乱沿各种渠道进入均匀的物体；例如，电流首先通过a和b处的电极，然后通过c和d处的电极。等势面、相等的电流密度面和相等的热生成面等等在两个案例中迥然不同。接着，我们将在点m和n处引入非同步的冲击波，前沿波在第一时刻通过m，在第二时机通过n。在第一个案例中，干涉面距n更近，在第二个案例中，距m更近。在有组织的动物身体中，这样的现象显著得多。沿不同路线进入的刺激一般将决定不同的反应，这些反应又沿不同的路线影响环境。给定的刺激影响相同的感官的时间顺序并非不同，但是若时间顺序变化，它将一般地产生不同的反应。正如不管我刺激蛙的背部左边皮肤还是右边皮肤，时间顺序对于结果的刺激并非不同一样，在同一感官遭受相同刺激的所有时间的状态方面，它同样也并非不同，例如当动物饥饿或不饥饿时，不管发生的是味道刺激还是气味刺激。

第九节

为了方便把握感官的空间的观点。我们假定，每一个被刺激的感官不仅供给由刺激的质部分地决定的严格意义上的感觉，而且也供给持久地与个体的感官结合的感觉。如果我们认为这个最后的感觉是由恒定的部分和在时间上随感官的活动变化的部分组成的，那么就存在借助这个最后的、可变的部分使时间的观点变得可以理解的某种指望。当然，这些不是生理的空间和时间的理论或说明，而只不过是空间和时间的观点藉以表达它们自己的可能有用的释义和分析。于是，我们必须如何领会依赖于感官活动的部分的时间变化，以尽量满足观察事实呢？

第十节

在人中，或者在与人接近的较高级的脊椎动物中，身体都具有维持生命来说必需的、几乎不变的温度，而且在相当长的时期保持与环境的恒定的温度差。从物理学上考虑，这预设了与生命攸关的功能的十分一致的进程，该进程只是稍微经受了来自对环境的不连续的时间反应的扰乱。最小的和最简单的有机体仅仅处在容许稳定的食物供给，从而容许与稳定的消耗对应的稳定的恢复的条件下。在较大的和较发达的有机体中，周期性的过程对于保持与生命攸关的功能的不完善的但却适当的一致性是不可避免的。有机体在睡和醒、饥饿和饱足的状态之间变化。为维持生命所需要的空气量只能通过周期作用的肺部传送给血液，而血液必须通过心脏泵的周期作用传送给器官。对环境的适应和食物的获得需要移动，移动是通过四肢精确的间歇运动和肌肉的有节奏的收缩实现的，而肌肉在单一的收缩中显示出有节奏的现象。甚至由眩眼产生的视觉的余像和栩栩如生的印象也具有周期性的进程。事实上，有机体拥有最多变的持续时间的许许多多的周期。如果我们在赫林的涵义上把生命视为消耗和恢复之间的动力学平衡状态，那么这种过多的周期过程像物理振动的巨大多样性一样，一点也不会使我们感到惊异。事实上，无论稳定平衡被扰乱和阻尼不足以使调节变成非周期的，振动必然发生。有机体的功能倾向于周期性本身进而在下述事实中显示出来：它们容易适应外部强加的重复的、具有任意持续时间的周期，它们自发地接受和继续这个周期。一个明显的例子是，人的步调适应偶然遇到的进行曲的节奏。如果我有节拍地几次握紧我的拳头，然后结束注意这个动作，那么这往往需要作出停止的额外决定。

第十一节

在低等动物或年幼的动物中，在生物学上重要的刺激放松了适应的反射。如果感觉的序列吸引比较高度发达的动物的注意，那么这些感觉被由经验（记忆）修正了的反射构成的活动所伴随。行动与感觉是不可分割的。甚至观察也是和缓的协作形式，这对人和动物来说都一样。动物无疑仅仅对于短期间的自愿行动从心理冷淡的状态被唤醒，而且仅仅通过严格意义上的感觉被唤醒，而人的注意力往往也被记忆的观念激励。不过，在这个案例中，我们恰恰没有让图像被动地通过我们，但是我们是逐渐主动的，事实上，例如只要我们一想到所经历的词语的交换，甚或慨然的或可能的交换，我们就注意到这一点。如果心理生活是强烈的，那么注意力可以维持较长的时期，尽管即使在此时，它也不是恒定的，而是在突然的绷紧和松弛的交替中变化，任何学生和老师都能够观察到这一点。思考问题的答案在于相对同一目标的起跳线。我们往往相信，我们能够看见我们正在寻求的东西，但是，如果我们没有完备地把握它，那么它将再次逃避我们。于是，在这个时候，那是终点，不久必须尝试新的起跳线。

第十二节

注意力也易于受到波动，这种波动也许能够持续几秒钟，从而大体上覆盖着我们在生理学上称之为、并视其为正在处理的物理时间。如果人在他的反应中使他自己适应关于他的环境的感觉经验，而不管这种感觉经验由剧烈的身体行为构成还是仅仅在于机灵的观察，那么只要开始注意，注意力的一个阶段就对应于每一个物理瞬时，如果我们认为从开始到注意力消失或偏离的阶段在长度上大略相等，但是却认为这些阶段的感觉是与严格意义上的感觉联系在一起的，那么在物理事实和观念中的重现将在时间上也几乎相等，不管注意的阶段可能是物理时间的无论什么函数。这样的重合对应于生物学的需要。如果有意识的自愿的行动（想一想猎人的行为）不得不符合经验，那么人们必须以某种方式具有注意的阶段的感觉。倘若这种观点原来是可行的，那么它会提供刚性的、不可畸变的记忆的时间背景或均匀流逝的留声柱面。自然的，这种观点仅仅有助于我们理解在小周期内的事态的重现。对于跨越长期间的经验的秩序而言，联想的思绪是足够的，只是在微观的细节中仔细观察几个比较重要的场景。否则，我们的记忆就会花费经验本身原来花费的那么多的时间，就不会有为新经验留下的时间。

第十三节

在注意行为包括了形形色色的经验之后，我们逐渐获取了时间感觉，这种时间感觉是持久的、独立于继续存在的经验的内容的，是恒定地再发生的。时间感觉的序列变成登记薄，我们把感觉经验的其他质排列到其中。对此要补充的是，存在着诸如节拍、步调、摆振动之类的过程，它们的持续时间始终是相同的，从而显示出生理的时间恒定性。虽然相同的事件似乎花费不同的时间——该时间取决于人的各种各样的正常和患病的身体状态、睡眠、发烧、正在用印度大麻麻醉等等，但是不管怎样，我们注意到，无论何时我们以正常清醒的注意力关注同一个摆的振动，它们在持续时间上是显著恒定的。

第十四节

在生命的最低层次上，我们仅仅涉及影响我们身体的过程。然而，只要需要不再能够被直接满足，而只能通过我们环境中的时间过程被迂回满足，这些迂回必定获得间接的兴趣，它往往比对短暂感觉的兴趣强烈得多。要判断环境中的过程的时间进程，时间的生理感觉也是不精确的和不可靠的。当我们把物理过程相互比较时就是这样，例如把摆振动与通过确定的距离的落体运动比较，或者在振动期间与地球的转动比较。在这里，我们发现，一对精确确定的、在两个端点的时间中重合的、从而在时间上一致的物理过程，在所有时间都保持这种特性。这样一个精确确定的过程现在能够用来作为时间尺度，这是测时学的基础。实际上，我们本能地习惯于把作为实体的时间的观念转换为时间测量的标准，但是我们必须注意，这个观念在物理学领域失去了所有意义。测量指明与标准的比率，后者的定义没有就此说什么。我们必须截然分明地在直接的持续时间的感觉和数值量度之间作出区分，就像在热感觉和温度之间区分一样。每一个人都有它自己的不能被转换的时间的观点；但是，测时学的概念对于所有受教育的人是共同的，是可以转换的。在这方面我们能够简而言之，因为在细节上作必要的修正后，我们能够重复我们关于空间所说的一切东西。

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发表于 2008-9-27 23:10 | 只看该作者 第二十四章 从物理学上考虑的空间和时间

第一节

就生理学而言，时间和空间是定向的感觉的系统，该系统决定严格意义上的感觉和在生物学上恰当的适应反应的释放。就物理学而言，它们是物理要素相互之间的特殊依赖。这在下述事实中显露出来：时间和空间的数值度量出现在所有物理学方程中，测时学和几何学的概念是通过分别把物理过程和物体相互比较而得到的。首先，考虑物理的时间。

第二节

要容许纯粹形式中的时间的依赖；请考虑一下空间仿佛通过下述事实被排除的过程的例子：我们只考虑在空间关系方面是完全等价的物体。想像三个具有无限的内部的热传导率和相同比热的相等质量，每一个都以相等大小的面积和相等外部的热传导率与另外两个接触（图34）。 设这些质量具有不相等的温度u1，u2，u3，审查它们在时间上的变化。给出我们的假定，平均温度是不变的，因此u1＋u2＋u3＝c。对于u1随时间t的变化，我们从牛顿的传导定律得到du／dt＝k（c－3u1），对于另外两个温度也相似。积分得c－3u1＝ke-3kt，用u1的初始值U1代替积分常数k，并用3除得（c/3－u1）＝（c／3－U1）e－3kt。就这样，每一个温度都倾向于在无限的时间流逝之后达到的平均值c／3。如果我们用u1表示第一个物体的与平均值的变量的偏差，用V1表示它的初始值，我们得到

u1＝V1e-3kt （1）

对于u2和u3来说也是相似的关系。利用第一个决定e[-3kt]，把这个值插入其他两个，我们得到u2＝V1·u1／V1，u3＝V3·u1／V1，或者把它们结合起来

u1／V1＝u2／V2＝u3／V3 （2）



第三节

考虑方程（1），我们看到，按照通常的时间度量，在这里t与地球相对于固定恒星旋转的角度成正比，与平均温度的偏差随t指数地减小。如果反过来我们借助V1和V2表达t，我们得到t＝（1／3k）log（V1/u1）。由于我们用来作为时间测量或计数的比较标准的过程完全是约定的事情，我们能够选择log（V1／u1）或V1／u1本身而不是t。情况也许只不过是，在第一个案例中我们得到不同的时间单位，在第二个案例中得到不同的（也是无限的）时间尺度和不同的来源。

第四节

追求这个最后的观念和测量在被此项中的温度变化，方程（2）描述的案例表明，什么对于时间的依赖是典型的。差异只能减少而不能增加；时间的进程是无方向的。与平均温度的偏差经历了同时相互依赖的变化，在具有直接的相互关系的案例中，这些变化彼此成正比。时间依赖的这些特征性的特色是完全可以理解的。必须认为，每一个必定全然是可研究的过程是由这些或那些差异决定的。在不存在可接近的差异的地方，我们不能找到任何决定的因素。如果我们暂时设想，差异必须变得更大，那么我们应该明确认识到，这种观念与我们的世界图像的最通常的特性不一致，我们的世界图像从未显示出没有界限的变化，但却处处展现出力图趋向已决定的状态。可能碰巧，某些差异变得较大，即使其他比较有影响的差异减小，但是无补偿的差异增加从来也没有发生。存在着差异可以与减少完全相等地成长的另外的过程，以致它们似乎能够在相反的方向上流逝，实际上有时的确以这种方式好像周期性地流逝。不过，这些过程永远不是未被补偿的差异的案例。确实，如果我们仔细地考察一下这些过程，而不是刚才概要地考察，那么像所有的振动类型一样，它们不是严格周期性的，而是具有某些不可逆的组分。时间依赖的第二个特征即同时变化的相互可度量性，在直接相互联系的物理的案例中是容易理解的。借助物体之间的差异决定变化是相互的，因为没有什么物体有凌驾于其余物体之上的特权，一个所得的东西是另一个所失的东西，正如在我们的例子中那样。在直接依赖的案例中，我们不能期望，同时的变化能够像在我们先前的例子中那样如此简单地彼此借助而度量，但是在这里，每一个将平行于其他提供的性质而流逝的变化是均匀的，未曾料到的扰乱没有干预正常的进程。例如，考虑木星的卫星之一的轨道周期，并用它作为时钟，虽然没有一个人可能设想这个运动对地上的过程具有任何可觉察的影响，可是地球上的冷却过程将完全等同地用带有不同进程系数的公式ke－kt来描述，不管t是从卫星运动还是从地球的轴转动导出的，只有在我们观察的进程中该卫星因为与陨星碰撞而不得不改变它的速度时，公式也许不再成立，于是情况变得很明显，热过程不直接地依赖卫星运动。

第五节

让我们以这样的方式修正我们先前的例子，使得不同的空间关系影响以最简单的形式表现出来，而与时间关系并排。考虑四个相等的质量成对直接接触形成一个环（图35）。



在这里，只有两种不同的空间关系：相邻质量之间的接触和相对质量的不接触。对于其余的，我们保留先前案例的假定。我们再次有方程u1＋u2＋u3＋u4＝c。关于u1的变化，我们发现du1／dt＝k（c－u3－3u1）。通过循环交换，我们得到三个进一步的相似的公式。对于u1和u3把这些公式组合起来给出

d（u1＋u3）/dt＝k［2c-4（u1＋u3）］］，

其积分是

2c-4（u1＋u3）＝［2c－4（u1＋u3）］e-4kt（3）

必须把符号的意义看作是像在先前的例子中的那样。接着，我们形成关于d（u1＋u2）／dt和d（u2＋u3）／dt的方程。从第二个减去第一个并积分，从而得到

2（u3－u1）＝2（U3－U1）e-2kt（b）

把（b）的两倍加到方程（a）中，我们得到关于u1的表达式，容易把它变换为u1＝1/4［c＋（U1＋U3－U1-U4）e-4kt＋2（U1－U3）e-2kt］，对于t＝∞，我们有u1＝c/4；不用说对于t＝0来说，u1＝U1。在温度相等时期，在空间不一样的位置的质量对u1的变化贡献不等。通过循环交换，我们得到关于u2，u3，u4的相似的表达式。

第六节

就某些进一步的点重返第一个例子，我们观察到，不是三个质量的相等的空间关系，我们也能够产生四者之一，倘若我们考虑通过把四个角与引力中心连接起来，在正四面体中形成四个相等的分隔空间的话。正六面体的类似分割不再能够用于我们的目的，因为在这个案例中每一个质量会接触另外四个而不接触第五个，以致我们具有对应于我们第二个例子的图解的事例。通过想像质量除无限地从每一个到每一个传导的金属线之外是孤立的，我们还能坚持在同一相互的热关系中任意数目质量的物理学虚构。这样的质量的数目没有改变我们考虑的结果。单一的孤立物体不能决定自身中的任何变化。但是两个物体足以决定彼此的变化。明确决定的需要驱使我们注意裁决两个可能的（可想像的）变化的方向。如果做到了这一点，而且方向是减少差异的方向，那么我们力图断定每一个物体在等同化过程中所起的作用，例如，同时的温度变化可能与热容量成反比，从而两个同一时间达到共同的平均温度，在另外的案例中，我们发现类似的法则，在纯粹的时间依赖中显示出来的东西是最简单的直接的物理关系。

第七节

比较仔细地考察在第二个例子中空间排列的影响表明，四个质量在环中的规则配置对应于四个要素的最简单的、有限的、无界的、线性的黎曼空间，环形形状具有循环交换提供较大明晰性的优点，在没有本质上改变结果的情况下，我们可以利用一百个质量而不是四个，甚或像博里叶那样考虑具有连续的初始温度分布的均匀环。通过用这样的质量排列充满薄球层，得到二维的黎曼空间，借助合适的传导链条的虚构，我们能够就它们的物理结局模拟进一步的空间排列，我们考虑的结果依然总是相同的。间接的物理关系的影响后来显露出来，而且被是直接的或通过少数中间链条传达的关系掩盖和抹去。在空间关系中显露出来的东西是间接的物理依赖。

第八节

这个结果也许是通向阐明空间问题的第一步而不是解决它，该结果如何与流行的空间观点一致呢？为了评价形成“空间”的抽象是多么困难，人们最好研究一下亚里士多德的《物理学》的第四编。他为下述问题大感烦恼：空间（定域）是否存在，如何存在，它是什么。他不能认为空间是物体，因为一个物体怎么能在另一个物体的内部呢。可是，他也不能够把空间与形体的存在分开，因为他把物体的地点看作是包围或封闭物体的东西。他强调，如果运动不存在，那么我们不应该就空间询问。他的空间观点的所有困难出现在他的运动的陈述中。正像亚里士多德和许多其他古代思想家认为的，空间观念与物体观念一起出现，使真空是不可思议的变得显而易见。像留基伯（Leucippus）、德谟克利特、伊壁鸠鲁以及其他假定真空的人，从而具有与我们自己的观念较为接近的空间观念。空间对他们来说是可以充满的或空虚的容器。实际上，几何学忽略了除边界的刚性以外的所有的物体的性质，它必定在那个方向领先，对物体在像空气这样的稀薄的透明媒质中的运动的朴素观察加强了这一发展，这些煤质在特殊场合可以被视为无或虚空。居里克的一段文章确认了这种运动。

第九节

不能构想空虚的空间，这一直被坚持到近代。笛卡儿还如此沉浸在这种观点中，他假定完全被抽空的容器器壁必定同时接触。我们知道居里克、玻意耳和帕斯卡的工作，这些工作使他们的同时代的人深信被禁止的真空事实上存在的证据。他们的东西还不是现代意义上的真空。在讨论了古代的和近代的处所、时间和真空的观点后，居里克在他的《马德堡实验》（Experimenta Magdeburgica，1672）中说，他将用实验证明，在自然界中存在着真实的真空。在第三编第35和36章中，他详尽地驳斥了对真空存在的反对意见和针对他的实验提出的怀疑。正是通过哲学研究，导致他进行这些试验。在考虑巨大的天上空间时，他常常发觉一个强加于人的疑问：这些空间是否不是总被否认的真空。

第十节

真空存在的证据无疑地大大有助于提出独立的空间观念。不过，其他重要的境况也介入其中。伽利略通过观察地球上的运动发现他的动力学定律。作为哥白尼体系的主要代表人物，他经常有机会借助他自己的动力学讨论对它的反对意见。这几乎自动地和不引人注目地导致他尝试，把这种动力学不是与地球联系起来，而是与被视为刚性的固定恒星的天球联系起来。例如，他以这种方式发现了他的潮汐理论，从而给哥白尼理论以公认的支持，他认为这一支持是正确的，仅仅因为迄今缺少辨认它是有缺陷的手段。牛顿在伽利略和惠更斯的基础上完成了天体力学，天体力学使新的和成功的参照框架变得绝对不可或缺。牛顿察觉到万有引力依赖于距离的假定是一个富有成效的基本观念。即使他可能偏向认为这种空间是被充满的，力是通过媒质传递的，然而他暂时不得不遵守强调空间本身的观点，这种观点直到十九世纪中期之后认为场几乎是唯一的。考虑到牛顿的万有引力力学不再能够把固定恒星看作是绝对不变的、静止的和刚性的体系，他把整个动力学与绝对空间、相应地与绝对时间联系起来的大胆尝试在某种程度上看来好像是可以理解的。在实践中，这种表面上无意义的假定没有改变把固定恒星用来作为空时坐标，以致它依旧是无害的，长期逃脱了严肃的批判。我们可以公正地说，主要因为牛顿断言空间和时间是一种独立的和非物质的实体，今天它们还被认为是这样。

第十一节

牛顿的超距力的观念是一项伟大的理智功绩，它在一个世纪内能够使探究者完成同类的数学物理学。这一功绩建立在理智视野的广度的基础上，他看到实际的超距加速度，并明确认识到它们是重要的；它们如何被传递是不大清楚的，他暂时对这个疑问一无所知，然而，即使最纯粹的细节也必须加以研究，因为这种眼光敏锐的近视是比较多产的，考察广阔范围的大问题必须与细查就近的、微小的和特殊的问题交替进行，即使进步稳定地继续着，最伟大的探究者尤其是牛顿，是二者的大师。牛顿就传递超距作用的近接作用留下的问题，被法拉第在十九世纪极其成功地处理了。不过，在麦克斯韦把这些观念翻译为比较熟悉的数学语言之前，沉浸在超距作用物理学中的探究者还不能理解它们。

第十二节

朴素的观察者通过注意在空间和时间中一个位置的可感觉的要素之间的强烈而密切的关联开始，不管他是从生理学还是从物理学的角度理解空间和时间的。我们称这种关联为物体。就观察容许我们把空时处所细分为较小的部分而言，我们发现该关联在细分之内甚至变得更为密集。物体的部分再次是物体。变化通常不在整个物体中发生，它们一部分接一部分地吞没，例如在融化或加热等过程中就是如此。把例外看作是纯粹表观的，希望我们能够把整个物体的突然变化（例如带电）和超距影响（照明，引力加速度）还原为从一部分到另一部分传递的逐渐变化，简直更为自然，这是在古代也被思想家接受过的朴素观点，法拉第通过他的伟大成功复活了它：从他的立场来看，我们易于理解空间依赖是直接的、而时间依赖是间接的命题。

第十三节

从这种观点来看，我们现在借助最基本的物理事实通过把握它，而获得对空间和时间作物理学理解的前景。对于牛顿来说，空间和时间是某种超物理的、不能直接达到的某种东西，或者至少是不能精确决定的独立的主要变量，这些变量支配着按照它们流逝的整个世界。正如空间控制着最遥远的行星绕太阳运动一样，时间也同样维持最遥远的天体运动与地上的过程一致。依据这种观点，世界变成有机体，或者如果宁可选择一种表达的话，也可以说变成机器，它的部件按照它们之中单独一个部件的运动完全一致地运转，除了这一运动的目的对我们来说依然未知之外，仿佛该运动受到相同的意志的控制。作为牛顿的后来的影响，这种观点还处在当时的物理学的基础上，即使我们也许感到不倾向于公开承认它。然而，必须按照法拉第的立场修正立。只要没有要素被隔离，世界依然是一个整体，但是所有部分被关联在一起，即使此时不是直接地、至少也是通过其他部分间接地关联在一起。于是，未直接关联的成员的协调的行为（空间和时间的统一），显然仅仅是由于没有注意中介的链条而引起的。宇宙的运动的目的依然是未知的，只是因为我们能够考察的片断具有狭窄的边界，超越这个边界探究者无法达到。这种观点是较少富有想像的和富丽堂皇的，但是它因此却比较朴素、比较适度。

第十四节

空间的物理学观点因在辨认“真空”中的进步而受到支持，对居里克来说，真空只具有否定的性质。甚至空气在朴素的观察者乍看起来也只提供否定的质：它是不可见的，它只有通过剧烈的运动才变得可触知，从而也显示出它的温度。通过把它密封在软管或容器中，我们开始知道，它是穿不过的且具有重量。更迟一些，添加了可见性，直到最终物体的所有特征都被证明，对真空而言情况也相似。起初，它不具有物理的质。玻意耳表明，炽热的玻璃和磁体越过它作用。按照杨和菲涅耳的观点，在光横越的真空中，我们必须设想相同的物理状态在每一个短暂的时间间隔同时存在，并想像这些状态以极大的速率在光中位移。法拉第、麦克斯韦、赫兹和其他人的工作表明，在空虚空间中电力和磁力的存在以这样的方式关联在一起：一个的每一变化将制约在同一地点另一个的出现。一般地，我们不能直接地觉察这些力的任何东西，除非在急剧的周期变化中它们作为光显示出来。然而，物理的迂回容易证明这些力，如果它们完全不存在，那倒是最罕见的例外，人们是否需要称它为物体（以太），则是无关紧要的，但是人们不能否认，可变的和相互依赖的性质属于它。

第十五节

作为几何学的自然科学家的罗巴切夫斯基观察到，在每一个测量中我们都使用物体，以致在建立几何学概念时我们必须从物体开始。他认为接触是物体的区分的标志，我们藉此把它们称为几何的。这似乎指向一个事实：物体是刚性的和不可入的，当它们相互接触时，这一点就表现出来，这一点是所有测量的基础。不过，自十九世纪开始以来，事情继续运行着。我们还需要刚性的物体来建造我们的装置，但是我们能够利用光干涉标记点，用在表面上空虚的空间中的波长比借助相互毗邻和接触的刚体也许可以准确得多地度量伸长。甚至很可能，分别借助波长和振动周期，真空中的光波将提供未来的长度和时间的标准，这些基本的标准将是更合适的，一般而言比任何其他标准更便于比较。通过这样的变化，空间和时间日益丧失了它们的超物理学的特征。

第十六节

我们把三维归于空间，我们的几何学认为这些维度一般是等价的，以致空间是各向同性的。实际上，如果我们仅仅考虑物体是不可入的事实，那么就不存在差异。然而，如果我们认为几何学是物理科学，那么可能成问题的是，它是否总是适合于支持这种观点。确实，已经在矢量代数中，我们必须注意，方向不是等价的。无定形的或等轴的物体，锌粉在其中溶解的硫酸稀溶液等等，都在方向方面未显示出差异；但是在三斜晶系的物体中，或者在电流于其中正在被感应、以致磁力线在确定的向指环绕它的物体的要素中，三个方向不是等价的。如果我们能够使正在溶解的锌粉产生的随机电流有序化和适当地引导它们，那么三个维度同样会不再是等价的。因此，等价在这里似乎取决于在特定的、频繁的和较简单的案例中抹去不等价。从生理学上看，维度也是不等价的。也许这种各向异性在于由以构成身体的基本感官。如果我们能够利用我们的身体获得物理过程的关系，目睹一下安培的左手定则和其他以一贯的成功应用的类似的电动力学法则，那么这指明了物理环境和我们共同具有相同的各向异性的生理构成之间由来已久的关联。

第十七节

我们的空间和时间直觉形成我们感觉的世界观（view of theworld）的最重要的基础，其本身不能被消除。然而，这并不妨碍我们力图把处所感觉的质的流形还原为生理－化学流形。我们可以思考以所有比例混合的若干化学的质（过程）的系统。如果这样的尝试在某一天必然成功，那么它也会导致这样一个问题：我们是否不可能给追随莱布尼兹的赫尔巴特就可理解的空间的构成进行的思索赋予物理意义，致使我们可以把物理空间还原为量和大小的概念。当然，在赫尔巴特的形而上学中，存在许多能够加以反对的东西。他对部分是人为地设计的矛盾的追查到底和可以伸缩的倾向不是过于有吸引力的，但是他将几乎不产生错误。他中止空间在第三维中的构成是完全没有根据的，事情的核心之处恰恰是在这里。在一个世纪之后，这样的问题能够显示出全新的复杂性。

第十八节

可以顺便提及，从生理学上看，空间和时间仅仅显现表现的连续统，大概是由不连续的、然而却无法精确区别的要素构成的。在物理学中，我们能够在多大程度上支持空间和时间的连续性假定，这只不过是什么是适当的、什么与经验一致的问题。这些仅仅是思想的开端；它们是否能够发展，我不能决定。

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发表于 2008-9-27 23:11 | 只看该作者 第二十五章 自然定律的涵义和价值

第一节

人们常常谈到自然定律（law）。这一表达意味着什么？通常的看法将是，自然定律是在自然界中的过程必须服从的法则，它类相似于公民行为应该服从的民法（civil law）。差别通常看来在于，民法能够被破除，而与自然过程的偏离则被认为是不可能的。然而，关于自然定律的这种观点被如下反思摇撼：我们是从那些过程本身察觉并抽象出这些定律的，在这样做时我们决没有免除错误。当然，在这种情况下，对自然定律的任何违反都可以用我们犯错误的观点来说明，这些定律牢不可破的观念便失去了所有涵义和价值。如果我们一旦强调我们自然现的主观方面，我们就容易达到一种极端的看法：唯有我们的直觉和我们的概念规定自然定律。不过，对自然科学发展的公正考虑使我们看到它的起源在于下述事实：我们是通过在过程中注意到那些对我们具有直接的生物学重要性的方面开始的，只是后来逐渐地把我们的兴趣扩展到是间接重要性的方面。借助这种反思，下述明显阐释也许是可以接受的：在起源方面，“自然定律”是在我们的经验的引导下，我们对我们的期望所规定的限制。

第二节

K．皮尔逊（pearsin）——他的观点相当接近我的观点——在这些问题上以下述方式表达了他自己的看法：

民法包含着命令和责任；科学定律是描述而不是处方（preion）。民法仅对特定时期的特定共同体是有效的；科学定律对所有正常人都是可靠的，只要他们的知觉官能依然处在相同的发展阶段，科学定律是不可改变的。然而，对奥斯丁（Austin）和其他许多哲学家来说，自然定律不是心理的程式（formula），而是重复的知觉序列。他们把这种重复的知觉序列从他们自身投射（project）出去，认为它们是不受人制约且独立于人的外部世界的一部分。在该词的这一涵义——不幸的是这一涵义在今天过分通用了——上，自然定律在它被人认识之前就存在。

在J．S穆勒和麦克斯韦之间讨论时已经出现的术语“处方”，自基尔霍夫以来就被普遍采用了；相比之下，请让我建议用“对期望的限制”（restriction on expectations）的表达作为自然定律的生物学意义的指向。

第三节

定律总是在于对可能性的限制，不管是作为行动的围栏，作为自然事件不变的路线，还是作为关于通过跑在事件前头以互补的方式预期事件的我们的思想和观念的道路标记。伽利略和开普勒设想自由落体和行星运动的各种可能性，力图猜测符合观察和使它们更精确的可能性。惯性定律在一旦所有力消失时把匀速直线运动赋予物体，该定律选择无限多可能的思想之一作为我们观念的决定性的思想。朗格（Lange）关于自由质量系的惯性运动的观点声称，它是从无限多的运动学可能性中选择的一种运动模式。事实领域能够被分类，概念能够为符合分类而创立，这些境况构成对可能性的限制。木需要把定律必然地表达为定理。质量概念能够被应用的事实包含着这样一个限制：借助任何一个物体作单位测量的封闭系统中的质量总和是不变的。等于第三个物体的两个物体也彼此相等。

第四节

在给定的环境下，生物的期望在保存的方向被调节，正是被赋予记忆的所有生物的需要。至于直接的和最简单的生物学需要，我们的心理组织通过联想机制产生适合于绝大多数案例的机能的准备，而本能地符合它们。如果存在的条件复杂化，以致需要的满足只能通过冗长的迂回达到，那么只有充分装备的心理生活才能够满足这些需要。于是，带有附随环境本身的迂回的个别步骤将获得间接的兴趣。每一个科学兴趣都可以被看作是迂回步骤中的间接的生物学的兴趣。不管案例是接近还是远离直接的生物学兴趣，符合我们需要的唯一事情是在该环境下矫正和调适期望。不过，在不同的环境中，我们使关于期望的矫正的要求十分不同。如果我们饥饿，并在该环境下我们期望它的地方寻找食物，那么难有这样将满足我们的期望。然而，如果已知枪的靶子和子弹与火药的重量，我们期望某一射程，那么甚至与期望的轻微偏离都能够构成扰乱的欺骗。如果目标是通过包括几个步骤或许多步骤的相当长的路线达到的，那么每一步的大小和方向上的小错误将足以使我们击不中目标。因此，进入计算的几个数中的小小错误能够大大地弄错最终的结果。由于在科学中我们恰恰正在处理这样的用于理论或技术实践中的中间步骤，因此借助给定的环境获得期望的特别准确的决定，将是重要的。

第五节

随着自然科学的进步，在其中实际上出现了日益增长的对期望的限制，这些限制逐渐呈现出比较决定的形式。头一批限制在类型上是定性的。决定期望M的因素A，B，C，……是否能够在科学上用单一的命题一起系统阐述，或者科学是否就在植物学表格或化学分析中的例子为一个接一个地引证这些因素提供指导，则是不重要的。如果在质上相似的案例中人们也能够定量地区分各种质，以致定量地被决定的集合A1，B1，C1，……相应地决定定性的期望M，那么我们具有进一步的限制，限制的鲜明性受到由能够达到的观察和测量的准确性限定。在这里，限制可以同时或以相继的阶段出现。如果限制被第二个决定或互补的决定进一步收缩在较小的限度内，那么后者将发生。在具有n个边的凸平面直线多面体中，在欧几里得空间中的内角和是（n－2）·2直角。对于三角形（n＝3）而言，这变成2直角，致使每一个角由另外两个角决定。因此，这些最狭窄的限制取决于条件的整个序列，这些条件是相互完备的，其中一些在需要它们首先给予其他条件以任何涵义方面是基本的。在物理学中情况也同样。方程pu/T＝常数对于不变质量的气体都成立，就此而言p，u，T在它的所有部分都是相同的，倘若条件与液化足够不同的话。包含在折射定律sina／sinB＝n中的限度，通过与确定的一对处于确定的温度和密度或压力以及没有内部的电磁势差的均匀物质联系起来，进一步变狭窄了。如果物理学定律与确定的物质相联系，那么这意味着该定律对这种物质的已知反应在其中也被找到的空间有效。这些条件通常被纯粹的物质名称覆盖和隐蔽起来。对空虚空间（真空、以太）有效的物理定律总是且仅仅与电常数和磁常数等等的确定值联系在一起。通过把命题应用于已知的物质，我们引入进一步的表达条件的决定或方程，恰如当我们就几何学定理谈论或心照不宣地假定，它适用于三角形、平行四边形或菱形一样。如果人们发现在定律迄今总是发现有效的环境下不再适用的案例，那么这促使我们寻找该定律迄今未知的补充条件。找到这些条件总是重要的发现。因此，电和磁是通过被设想是相互无关的物体的相互吸引和排斥发现的。不仅明晰的假设，而且心照不宣假定的附带条件，都形成几何学论题甚或物理学论题的基础。要始终明确记住，可能存在迄今未知的限定性的条件（它们的可观察的变化迄今逃脱了我们）。

第六节

按照我们的观点，自然定律是我们心理需要的产物，为的是在面对自然界中到处寻找我们的道路，这样在面对自然过程时我们不会处于被隔离和受阻碍的状况。这清楚地在这些定律背后的动机中显示出来，定律总是符合这种需要以及流行的文化状态。在取向方面的头一批初步尝试是神话的、魔鬼的、诗的。在哥白尼和伽利略时期的自然科学的科学复兴时代，为主要定性的暂定的取向、容易、简单性和美而奋斗，是在探索关于理智地重构事实的法则中的主导动机。比较精确的定量探究旨在尽可能完备他决定事实，从而寻求毫不含糊的决定，正像在力学发展的早期历史中已经发现的那样。如果个别发现后来积累起来，就产生了强有力的推动，以便减少心理努力，达到经济、连续和恒久以及尽可能普遍的范围，因为有益地应用的法则建立起来了。我们只需要指出力学或任何相当发达的物理学部门的后来的历史就可以了。

第七节

在相当马虎的认识论的批判时代，把心理动机投射到和归因于自然本身，是十分自然的。上帝或自然力求简单性和美，其次力求严格合法的关联和决定性，最后力求所有过程的经济，也就是力求以最小的努力达到最大的结果。甚至在最近的时代，菲涅耳在强调与古老的发射说相对照强调波动说的普适应用时，把通过微小的手段达到许多东西归因于自然。

第一个假设具有导向是比较明显的结果的优势，因为力学分析更容易应用于它；相反地，第二个假设在这里引起很大的困难。不过，在选择体系时，人们仅仅必须考虑假设的简单性，计算的简单性在概率的平衡中可能没有权重。自然并未因分析的困难而烦劳，它仅仅避免手 段的复杂性。它似乎已经决意以少做多：物理科学的完美不断地以新的证据支持的正是这个原理。

第八节

自然定律的逐渐精练和对期望的日益增加的限制，相应于思想对事实的更精确的适应。要达到对每一个别的和不计其数的未来的事实的完全适应，当然是不可能的。如果自然定律必须变得可以反复地和尽可能普遍地应用于实际的具体案例的话，那么它要求抽象、简单化、系统化和理想化：我们必须在心理上把事实分解为这样的简单要素，以致我们能够用它们以充分的精确性重构和重组事实。这样的从来也不会在实在中严格出现的简单的理想化的事实要素，是质量的匀速运动和匀加速运动、稳恒的（稳定的）热流和电流以及均匀增加或减少的流等等。每一个任意可变的运动和流都可以看作是在任何程度上由这样的要素构成的，以致能够把自然定律应用于它，这是通过物理学的微分方程发生的。因此，我们的自然定律由一系列为这种应用恰当选择的和为应用准备停当的定理组成。因此，可以把自然科学视为一类工具的收集，为的是理智地完成任何部分给定的事实，或者为的是尽可能地限制在未来案例中的期望。

第九节

事实并未被迫要符合我们的思想，但是我们的思想和期望符合其他思想，即符合我们由事实形成的概念。依附于事实的本能的期望总是具有相当数量的游戏，但是，如果我们假定事实严格地对应于我们的简单的理想的概念，那么我们的期望将与它们一致，从而将正好被决定。自然科学的命题总是具有纯粹假设的意义：如果事实A恰恰对应于概念M，那么推论B恰恰对应于概念N；两种对应具有相同的准确度。在自然科学中像在几何学中一样，来自预设的推论的绝对精密的和十分精确的与毫不含糊的决定并不存在于可感觉的实在中，而仅仅存在于理论中。所有进步的目的在于使理论可以更符合实在。当我们观察和测量一对介质中的许多折射案例时，我们对于给定入射光线的折射光线的期望依然隶属于观察和测量中的不精确性的范围。只是在定律被固定和数值针对折射率选定，对于入射光线来说才存在一条唯一的折射光线。

第十节

已经数次强调，在以概念和定律为一方和以事实为另一方之间，明确区分是多么重要。奥斯特的案例（一个平面上的电流和磁针）按照他的时代之前的有效的概念是绝对对称的，而事实揭示出它们本身是不对称的。圆偏振光的行为在几个方面像非偏振光一样具有相同的无差异，要揭示它的双螺旋不对称需要更为仔细的研究，从而迫使我们用新的和更完备的摹写概念描述事实。如果我们的自然观念受我们认为是恰当的概念的支配，而且我们相应地变得习惯于毫不含糊的精确的期望，那么我们也容易被导致消极地使用毫不含糊的决定的概念。在那里，比如说在运动中，某一结果并未被毫不含糊地决定，就像平面上三个相等的力在一点相互以120度作用一样，我们将根本不期望效应发生。如果我们不受在这种形式中的充足理由律（参见上面的例子）的误导，那么我们必须保证，所有操作条件是已知的。

第十一节

只有比观察（由于已经众多的和复杂的附属环境的影响）能够保证的更简单、更精确地描述事实的理论，才对应于毫不含糊的决定性的理想。理论的这种精确性能使我们通过一系列相等的或不相等的步骤演绎将与理论一致的广泛的推论。不过，因为累加的偏差，推论和经验的一致或不一致与把原理和观察比较相比，通常是对理论的矫正或它需要改进的更佳的检验。想一想牛顿的力学原理和从它导出的天文学的推论吧。

第十二节

如果从我们对决定性、尤其是毫不含糊的类型的决定性的需要的观点，来考虑理论的命题的普遍而经常重复的形式，那么它们就变得可以理解了。这使得一切事物变得更清楚、意思更明白。对于物理学家来说，几句评论将足够了。物理的差异决定发生的一切事物，差异的减小在我们正在注视的实在的片断中占压倒优势。在同一类型的相似地决定一点的事件之处，决定的因素是这些差异的平均值。适用于静力学、动力学、热、电等等如此之多的领域的拉普拉斯方程和泊松方程，分别陈述它碰巧是零或无论其他什么的这一平均值。关于一点对称的差异在这里决定对称的事件；或者在多重对称的特例中，决定事件的不存在。在应用时，描述相互垂直的势面和力线或流等等的共轭函数，决定在无穷小要素中的事件的对称。多重毗邻的可能性集合中的极大值或极小值总是能够被视为从属于某些对称的条件。如果差异对于排列中的任意小的变化总是在相同的向指上变化，那么给定的排列在某个方面总是极大的或极小的。平衡案例，不仅仅静力学和动力学中的平衡案例，作为这种类型的法则都是如此。我们在其他地方已经说明，在像最小作用原理这样的定律和其他以极大值或极小值的形式陈述的定律中，起决定性作用的不是这些最后的东西，而是毫不含糊的决定性的观念。

第十三节

因为自然定律只不过是观察者对实在不需要符合的东西的期望之主观处方，因而它们是无用的吗？根本不是：尽管期望仅仅在某些限度内被可感觉的实在满足，但是它们无论如何常常证明是正确的，并且每日继续这样作。因此，我们在假定自然的均一性时没有犯错误，即使因为我们的经验是不可穷竭的，我们将永远也不能够证明，该公设在空间和时间中的每一处都可以绝对精确地应用：像任何科学的工具一样，它将依然是理想的。此外，该公设仅仅与均一性有联系，而没有详细说明什么类型。因此，如果期望落空，那么我们总是自由地寻找新的均一性，而不是原先期望的均一性。

第十四节

作为自然的探究者，如果人们认为人类个体和他的灵魂不是与自然对立的孤立的和异己的要素，而认为物理的感觉和观念的事件是不可分割的整体的话，那么人们将不会为整体不能被部分劳竭而感到惊讶。可是，在部分中显露出来的法则将启示他，存在着关于整体的法则。他将希望，正如他在小范围内用一个事实成功地说明另一个事实一样，物理事实和心理事实这两个领域同样地将逐渐相互阐明。这只不过是把详细的物理观察和心理观察的结果引入比迄今达到的更密切的一致的问题；现在，没有一个人怀疑二者之间的普遍关联。我们不再能够想像两个独立的世界或仅仅松散地关联的世界。借助未知的第三者把它们关联起来是无意义的：人们希望，这样的说明永远丧失了全部信任。

第十五节

所提到的观点应该出现，这是完全可以理解的。当人们通过类比发现，存在着类似于他并像他一样行为的其他生物、其他人和动物时，从而必定变得清楚地意识到，他必须判断他们对于环境的行为，而他是无法通过他的感官直接察觉到这些境况的；虽然他所熟悉的类似物形成他自己的经验，但是他不得不把过程分为两类：就全体而言可察觉的类和仅就一个而言可察觉的类。在他看来，这是最简单的、实际上最有帮助的解决办法。以这种方式，他形成了他自己的自我和其他人的自我二者的明晰思想。某个偶然地在没有生活同伴的情况下长大的人，几乎不会把他的贫乏的观念与感觉对立起来，也不会获得自我的思想，更少把自我与世界对立。对他来说，所发生的一切事情都是一。然而，一旦把握了自我的思想，我们就容易形成物理的和心理的东西的抽象，以及我们自己的和他人的感觉和观念的抽象。考察事物的两种模式对于综合的取向是有益的：一个导致关心细节，另一个保证我们不丧失对整体的洞察。

第十六节

如果世界被抽象锯开和切割成小片，那么部分看来是如此不实际和不实在，以致产生这样的怀疑：我们是否能够再次把它们粘合在一起。人们可能偶尔以玩笑和冷嘲的方式询问，这样的属于自我的感觉或观念是否能够在世界中独自漫游。因此，假如数学家在把世界割裂为微分之后是有点聪明的话，他们是否能够在没有损害的情况下再次用这样的无把世界结合在一起。我的回答是这样的：实际上感觉总是在复合中发生，但是这后者应该总是完备的，清醒的人的自我是可疑的；毕竟在梦幻、催眠状态、出神入迷中存在意识，在不同的程度上完全存在动物的意识。甚至物体、一块铅。我们已知的最原始的项目，总是属于复合，从而属于世界；没有什么东西孤立地存在。正像物理学家为了科学研究的目的必须自由地分析物质世界，把它拆卸为部分而又不因此忘记世界的普遍关联本性一样，生理学家也必须是同等自由的，倘若他要获得任何结果的话。利用犬儒学派的德谟纳克斯（De- monax）的话，我们可以说，感觉像任何其他事物一样未独自存在。

我通过反省发现，我的自我被意识的具体内容竭尽。如果人们有时设想，人们附带地察觉到某一事物，那么理由似乎如下。一个人自己的自我的抽象观念与其他人的自我的抽象观念、与它们之间的差异、以及与自我对于它的内容的行为并非无关紧要的思想，密切地联系在一起。然而，人们必须问自己，这些抽象的思想本身是否没有具体的意识内容且仅仅与这些内容不相符，人们是否能够通过纯粹的反省发现它们。再者，在涉及自我的物理的和心理的基础的地方，几乎一切东西确凿地被继续研究。这肯定是与短暂而生动的意识内容并存的某种东西，这在任何情况下只不过永远描述立的总体的丰富性的一小部分。

第十七节

传统的观点认为，在自我和世界之间存在着不可逾越的障碍，正像在自我和自我之间存在着不可逾越的障碍一样，这种观点在心理学上是可以同等地理解的。如果我有关于某物的感觉或观念，那么这似乎并不影响世界或其他自我，但只是在表面上如此。我的肌肉轻微伴随的运动已经属于世界和任何警觉的观察者；如果我的观念突然引发出言语和行动，那么这一点甚至更有理由成立。如果一个人看见蓝颜色，另一个人看见球的形状，那么这的确不能导致判断“球是蓝的”。正缺少的东西是“统觉（apperception）的综合统一体”，尽管这个琐细的事实被夸大地描绘了。两个观念必须密切得足以相互作用，这有点儿像物理学中的物体。不过，这样的表达没有解决问题，但却颇为倾向于与它相符或隐藏它。自我不是为判断结果仅仅需要把蓝色和球投入的碗钵。自我比纯粹的统一体更多，肯定不是赫尔巴特的简单的统一体。构成球的相同的空间要素必须是蓝的，而且必须辨认出蓝颜色是与它们的定域不同的和分离的，倘若判断是可能的话。自我是与物理有机体对应的心理有机体。很难相信，这必定永远是生理学和心理学一起无法提供进一步阐明的问题。仅仅反省而不借助物理学，甚至无法必然导致感觉的分析。哲学家片面地过高估计反省的分析，而精神病学家往往同样地就生理学分析作过高估计，不过要得到恰当的结果，我们必须把二者结合起来。在两群探究者中，似乎还潜伏着从原始文化得到的、迄今未完全消除的偏见的遗迹，即心理的东西和物理的东西原则上是不可通约的（incommensurable）。在这里提示的研究将领先多么远，目前是不可预言的。

在自我从中浮现并再次反过来准备消解于其中的宇宙之流中间，如果自我不是与世界孤立的单子（monad），而是它的一部分，那么我们将不再倾向于认为世界是某种不可知的东西。于是，为了希望真实的知识，我们要足够接近我们自己，要充分密切地接近世界的其他部分。

第十八节

科学显然是从生物的和文化的发展中成长起来的，是它的最多余的分支。然而，今天我们几乎不能怀疑，它发展为在生物学上和文化上是最有益的因素。科学接过了用充分有意识的和有条理的较快变化代替尝试性的和无意识的适应的任务。已故物理学家E．赖特林格（Reitlinger）通常在回答悲观主义发作时说，人在自然中在条件适合时是为存在而出现的，而不是为福利而出现的。事实上，他必须为他自己创造这最后的东西，我认为他这样做了。至少在今天，这对于物质福利来说有效，即使迄今不幸地仅仅对某些人有效，但是我们可以希望未来事情会好一些。约翰·卢伯克爵士（Sir Joh Lubbock）表达了如下希望：文明的果实将不仅扩大到其他国家和人民，而且也扩大到发达国家的所有阶层，以致我们在我们自己的同类公民中应该找不到那些过着比原始人更糟糕。且没有原始人真实——即使是微不足道的长处——的生活的公民。让我们记住，我们祖先在他们社会体制的暴行、他们的法律和法庭、他们的迷信和狂热下不得不遭受什么痛苦；让我们考虑这些东西有多少依然作为我们自己的遗产，让我们设想我们在我们自己的子孙中还将经受多少这样的遗产：在借助我们的心理学的和社会学的洞察实现道德世界秩序的理想中，这应该是我们开始热切合作的充分动机。一旦这样的秩序建立起来，没有一个人将能够说秩序在世界上不存在，也没有任何人将需要上天入地去寻找它。

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• 牛顿的成就在于，使这些数目众多的个别记述可以从下述假定推导出来：行星以它们离太阳的距离的反平方被加速 -marketreflections- ♂ (100 bytes) () 06/12/2010 postreply 16:19:25