利用希尔伯特空间，我们能够通过物理量间的对易关系得到在经典中没有与

利用希尔伯特空间，我们能够通过物理量间的对易关系得到在经典中没有与
之相对应的物理量

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我眼中的希尔伯特空间
物理学院07 级基地班
方炜
2007213363
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目录
内容摘要………………………………………………………………………………3
关键词…………………………………………………………………………………3
Abstract………………………………………………………………………………3
Key words……………………………………………………………………………3
1.量子力学的一些基本假设………………………………………………………………………3
1.1 本征态………………………………………………………………………………………3
1.2 态函数………………………………………………………………………………………3
1.3 算符…………………………………………………………………………………………4
1.4 薛定谔方程…………………………………………………………………………………4
2.希尔伯特空间……………………………………………………………………………………4
2.1 空间的概念…………………………………………………………………………………4
2.2 表象空间……………………………………………………………………………………5
2.3 希尔伯特空间与物理规律的联系…………………………………………………………6
3.结语……………………………………………………………………………………………6-7
参考文献……………………………………………………………………………………………7
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我眼中的希尔伯特空间
方炜
（华中师范大学物理科学与技术学院湖北武汉430079）
内容摘要：希尔伯特空间，将量子力学基本理论抽象化的工具，十分的神秘，
却又拥有无可取代的重要性。在里头，你可以发现量子基本原理的身影以及物理
规律间的巧妙联系。
关键词：希尔伯特空间基本原理抽象化物理规律联系
Abstract：Hilbert space is a tool used for abstracting the fundamenta l theory of
quantum mecha nics, which is quite mysterious and has importance that
can’t be replaced by other tools. Inside it, you can find the figure
of fundamental theory of quantum mechanics and smart connection of
physical laws.
Key words: Hilbert space fundamental theory abstract physical
laws connection
1.量子力学的一些基本假设
1.1 本征态
本征态可以说是用来描述系统状态的基本单位（状态），每个本征态都对应
着相应的本征值，在定态问题中（例如薛定谔绘景），每个本征态都对应着一定
的出现概率，即每个本征态被实际观测到的概率是固定的。一个力学量在系统某
个状态中的平均值就是这个力学量在各个本征态之间的期望值，并且，如果本征
态是归一化的，那么所有本征值出现的概率之和也是归一的。
1.2 态函数
态函数，顾名思义，是用来描述系统状态的函数。系统的态函数，可以由系
统各本征态的线性叠加而得到。也就是说，一个系统可以同处在多种状态之中，
在没有对系统进行任何观测时，这个系统就是由各种本征态按照一定概率分布组
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合而成的系统，可以说是多种状态的混合态。讲到这里，不禁想起之前看的薛定
谔的猫，其模型更为形象，即在一个一定概率促发毒气装置的容器中放上一只猫，
由于容器是不透明的密封的，在你没有打开容器确认这只猫是死是活之前，这只
猫处于既死又活的状态。态函数，从广义上说，就是多种状态的复合体。
1.3 算符
算符实际上就是某个力学量（可能是经典的或量子的）的表示，具体到某个
表象时能够具体的确定算符形式。算符作用到本征函数（某个表象中用来表示系
统状态的一组完备本征态的具体表述形式）上，能够得到相应于某个本征态对应
的本征值。并且，量子力学基本假设规定，表示力学量的算符必须是线性厄米的。
1.4 薛定谔方程
许多书中说，薛定谔方程在量子力学中的地位就有如牛顿的三大定律在经典
力学中的地位一般，可见，薛定谔方程是构建量子一切理论的基础。利用薛定谔
方程，我们能够求解力学量在不同表象中的本征值和本征函数，于是能够得到一
个具体的系统的状态。个人感觉，薛定谔方程的作用是决定系统的态函数，其形
式与其所处的表象或绘景没有什么必然的联系（当然，由于方程中存在算符，算
符的形式是会随着不同表象绘景发生变化的）。在各种表象，各种问题和模型的
求解过程中我们都能见到它的身影。因此，一句话，薛定谔方程是我们求解量子
问题的出发点。
2.希尔伯特空间
2.1 空间的概念
空间这个名词，想必大家都不陌生。我们成天的把它挂在嘴边，但我们却很
少静下心来想想我们时常挂念的空间到底是个什么东西。在这里，我想谈谈我所
理解的空间的概念。
空间从有点偏哲学的语言来说，就是某事物（实际的或抽象的）所处的位置
以及占有的某种属性。从数学上来说，空间分为线性的和非线性的。非线性空间
之前没怎么接触过，也不大了解。而我们现在所讨论的希尔伯特空间是属于线性
空间的范畴之内的。那么，线性空间又是怎么定义的呢？数学里这样规定，线性
空间里的任意矢量都能通过空间的各基底的线性组合得到，并且这些矢量之间满
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足矢量的加法和数乘。显然，希尔伯特空间就是满足这样一些条件的空间。并且，
希尔伯特空间还在此基础上加上了一些限制，那就是满足矢量乘法可积，且定义
了矢量间内积。并且我们注意到，由于算符的厄米共轭等因素，希尔伯特空间同
时也是一个复空间。
2.2 表象空间
具体到表象中时，希尔伯特空间就是以本征矢（本征态复函数）为基底的线
性空间。态函数可以由该空间中的一个矢量给出（也就是态矢）。具体到表象时，
态函数和态矢量的定义容易理解。那么在抽象希尔伯特空间呢？由狄拉克矢量表
示的态矢的性质可以通过定义，因此也能进行运算。可是我们无法决定态矢的空
间位置，对它犹如维数大于三的空间，只能是个概念上的东西。只知道它具有确
定的属性，那就是物理量的客观存在性，因此知道不同的表象虽然形式不尽相同，
但是表述的量是唯一的。
表象空间，其实质相当于给定一个参照标准，对系统的态函数进行某种特定
形式的描述。某种特定的表象，实际上也就是希尔伯特空间的具体化模型。例如
刚开始接触量子力学时，我们讨论过自由粒子的运动，利用哈密顿算符在笛卡尔
坐标中的表述形式，运用薛定谔方程求解出了动量的本征函数，也求得了束缚态
粒子的能量表示式。之后我们在抽象希尔伯特空间里头，给出了算符的对易关系，
同样的通过薛定谔方程的抽象表述形式，也得到了同样的结论。
并且，应该注意到，我们在将经典的思想在坐标表象中进行理解时往往存在
着不足。因为微观世界中有些规律是不能靠我们按照思维定势去理解的，只有深
入到抽象希尔伯特空间，我们才能完整的得到它们的物理规律。例如，在J2 和Jz
的共同表象中，我们根据定义新的算符，通过对易关系得到了微观粒子的角动量
取值能够突破经典的范畴，取得非整数值，从而引进了自旋的概念。
还有，谈到表象空间，由于算符在给定的表象中不利于某些问题的求解，因
此我们引入了表象变换算符。表象变换算符我觉得，就是在某些需要将力学量或
者态函数进入到某些表象以便方便求解过程的情况下才发挥它的作用吧。例如在
将耦合振子系统去耦合，也就是进行正则变换的时候就用到了表象变换。
还要谈到，表象空间如果由某力学量的本征完备系构成的话，很多情况下都
是无限维的空间。不同的力学量在同一个系统状态下的各本征态都不相同，但他
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们之间还是具有着某种联系的。这可以从力学量算符在非自身表象中的矩阵形式
看出来。力学量在自身表象中的矩阵元只有对角线上不为零，这很好理解，这时
正好每个本征态都对应着对角元上的本征值。那么，力学量在其它表象中的矩阵
就不是那么规律的形式了，而是除了对角线上还有其它的非零元。这应该可以这
样解释：力学量在非自身表象空间的本征态是该表象的基底的线性组合，即可用
非自身表象的基底来表示该力学量在自身表象中的本征矢。
2.3 希尔伯特空间与物理规律的联系
我们都知道，希尔伯特空间是一个将系统状态进行抽象矢量化的空间，那么，
它又是怎样将物理量联系起来的，通过怎样的关系来表示各物理规律呢？
首先，对于希尔伯特空间，我们应该有这样的认识。各力学量或物理量在里
头只不过是用矩阵或者矢量来表征的量，并不是我们通常意义下能够有实际意义
的值。在希尔伯特空间中，我们并不过分的依赖某几个物理量之间的具体表达形
式来得到某些物理数值，而是知道这几个物理量之间的对易关系，通过巧妙的定
义算符和具体的表象空间就能避免繁琐的计算，最终得到我们所需要的物理量。
并且，在希尔伯特空间中，同样的空间的平移和转动都对应着相应的守恒量，
这和我们平常的经验是一致的。应该注意到，在希尔伯特空间中，我们引入了宇
称算符，有了对称和反对称的概念。比如，我们定义了福克表象，在里头，根据
对称和反对称定义了玻色子和费米子，并能够对电子处于不同自旋状态时总角动
量和角动量的分量进行分析。
利用希尔伯特空间，我们能够通过物理量间的对易关系得到在经典中没有与
之相对应的物理量，这就是希尔伯特空间的一大优势。
3.结语
在接触了量子力学之后，从开始的笛卡尔坐标系中简单的粒子运动和不同势
场下波函数的求解，到接触了希尔伯特空间之后我们能够运用抽象的狄拉克矢量
及不同的数学运算求解更为棘手的问题，比如求解微扰情况下的能级和哈密顿算
符的修正，能级的去简并，还有计算恒定微扰下和周期性微扰下粒子的跃迁等问
题。其实质都是将算符按照修正项进行展开之后，利用薛定谔波动方程得到不同
算符在表象中的分量，然后逐级的进行计算得到最后的结果。
希尔伯特空间，作为一种抽象的空间，是一种能够较为客观地对物理规律进
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行演算的空间。由于不受人们思维定势的约束，我相信在将来还能在其中大做文
章，有着更多惊人的发现。
参考文献
[1]刘年寿著.理论物理基础教程. 北京：高等教育出版社，2006.12
[2]曾谨言著.量子力学卷一.北京：科学出版社，2007.1