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一体（量变）问题，保守场；现代物理，多体问题（平衡是相对的，不平衡是绝对的，动态的，质变，对称性稀缺）
宏观物理，质量（相对静态，才有线性，常微分）物理，现代物理（广相，量子力学）动量（相对运动）物理
量子力学的公设形式及其物理诠释
吴大猷
1．历史进展
为清晰计，我们按时间顺序，列出迄1927年3月止量子力学的重要进展。
（1）爱因斯坦（1905年）和德布罗意（1924年）关系
与它们的实验证据：光电效应（密立根，1916年），康普顿效应（康普顿，1923年；戴维孙－革末，1927年；G．P．汤姆孙，1927年）。
（2）海森伯的矩阵力学和对易关系（1925年6月、9月、11月）。
（3）薛定谔的波动力学（1926年1－6月）及其与矩阵力学的数学等价性（1926年3月）。
（4）玻恩关于薛定谔波函数的概率诠释（1926年6月）。
（5）海森伯的不确定性关系（1927年3月）。
△x△px≥h
它是爱因斯坦－德布罗意关系的一个推论。后来（1928年）H．韦耳表明，由（2）中的对易关系和玻恩的概率公设（见下文），不确定性关系
可作为一个结论演绎得出。
所有上述结果（或公设）无论是在概念上，还是在形式上（由于普朗克常数h的关系），按照经典物理学都是不可理解的。爱因斯坦－德布罗意关系把根本不同的波和粒子的概念连接起来，已引出了很严重的困难，而它们的结论，即不确定性关系，则真正动摇了牛顿力学的概念基础。
1927年9月，在意大利科莫举行的国际物理学会议上，玻尔首次提出了一种后来被称之为互补性原理的观点。按照这种观点，爱因斯坦－德布罗意关系应作如下理解。粒子和波的概念是我们从宏观经验中形成的。我们宏观概念的这种起源使得这些概念本身带有固有的局限性。当它们被应用于原子（和亚原子）领域中时，这种局限性就显现出来，而爱因斯坦－德布罗意关系正表明了在原子领域中这些宏观概念的不适当性。在这个意义上，波和粒子概念不应被看做“矛盾的”，而应看做彼此“互补的”。
在同一意义上，坐标x与其共轭动量px是互补的概念；它们在经典物理学中的意义在原子领域中是不适当的，这种在原子领域的不适当性由不确定性关系所展现。
人们或许会问：是否有可能，并且最好通过运用某些适当的概念，以避免诸如波与粒子、坐标与共轭动量这些概念的不适当性？被称为哥本哈根学派的物理学家（其中最著名的倡议者有玻尔、海森伯和罗森菲耳德）对此的回答是：我们已从日常经验中形成的“经典”概念，是我们仅有的能借以思考并与他人交谈的概念；没有这些概念甚至就没有物理学。这些宏观概念在原子领域中的不适当性（对波和粒子的互补对）表现为爱因斯坦－德布罗意关系，并以更精确的数学形式（对共轭的x和px）表现为对易关系。
玻尔关于互补性的科莫演讲似乎没有招致什么反对意见；一方面是因为极少物理学家完全理解玻尔的意旨，另一方面是由于爱因斯坦没有出席那次会议。同年10月，第15届索耳维会议（首届索耳维会议举行于1911年）在布鲁塞尔举行，会上爱因斯坦既不承认概率诠释，也不接受不确定性关系，从而开始了与玻尔的长期论战，直至1955年爱因斯坦去世。我们将在下两章再讨论爱因斯坦－玻尔论战。
2．基本公设
在紧接着量子力学开端的那些岁月里，其数学基础也为诸如希尔伯特、冯·诺埃曼、P．约旦和其他数学家所奠定。海森伯、薛定谔、狄拉克、玻恩、玻尔和其他人的工作被统一进一个逻辑一致的体系内。下面，我们将给出一个量子力学的公设形式的基本表述。为这一考察的明晰起见，我们在每一公设后仅作少量评注，不加详细说明。
这些基本公设可被粗略地分为两类，即有关互补性原理的和有关概率的。
公设1．物理系统的状态被一个无限多维抽象空间中的矢量所确定。
注释 如果｜a〉（狄拉克术语中的“右矢”）是描述某一状态的矢量，则±C｜a）（其中C为一常数）描述同一状态。因此｜a〉可通过〈a｜a〉＝1归一化。态的变化由｜a〉的变化所表示。
公设2．所有物理量由线性的厄密算符所表示。作用于态矢｜a〉上的算符改变态｜a〉。
注释（1） 如果Q是一个厄密算符，｜qk〉是一右矢，使
Q｜q〉＝qk｜qk〉
式中qk为一个数，则｜qk〉被称为Q的一个本征态；并且｜qk〉是与本征值qk相联系的本征态。
注释（2） 厄密算符的本征值是实数。
注释（3） 属于一个厄密算符的两个不同本征值的本征态矢是彼此正交的，
〈qj｜qk〉＝δjk
其中〈qj｜是处于与｜qk〉的空间共轭的空间中的一个矢量（左矢），并有
〈qj｜Q＝qj〈qj｜
即〈qj｜是Q的属于本征值qj的本征左矢。
注释（4） 厄密算符的线性保证了态迭加原理。
注释（5） 一个厄密算符Q的本征矢｜qj〉构成一完全系。一个任意矢｜a〉能被展开为一组完全系
和
其中系数〈qk｜a〉＝〈a｜qk〉*满足
注释（6）任意厄密算符的本征矢的完全系能被选为基矢。从基矢｜qk〉到另一基矢｜rj〉的变换导出量子力学的变换理论。
注释（7） 幺正变换U－1QU＝R保持了R的厄密性质。
注释（8） 变换理论与下文的概率公设一起，使量子力学成为一个完备体系。
公设3．坐标q与其共轭动量p的厄密算符遵循关系
注释（1） 这个关系在某种意义上，是玻尔的互补性思想的数学表示。见下述公设4。
注释（2） 这个关系和公设4是与爱因斯坦－德布罗意关系相关联的。
公设1和公设2是属于“定义”性质的。公设3的性质则为基本原理，其意义类似于热力学定律。
所有前三条公设与“物理学”尚无关联。这种联系是由概率公设所提供的：
公设4．当一个物理系统在态｜a〉时测量其一物理量Q，则期望值为
〈Q〉＝〈a｜Q｜a〉
注释（1） 这个公设把前三条公设中引入的数学概念与测量结果联系起来，是量子力学体系的主要物理内容。
注释（2） 让一个系统在态｜a〉时测量其一物理量Q。用Q的本征矢的完全系〔公设2，注释（5）〕来表示｜a〉，我们得到
作为测量结果，任何一个本征值qk都有可能出现，其出现概率为｜〈a｜qk〉｜2。仅当一个系统处于Q的一个本征态｜qk〉时，才能肯定测量Q的结果精确地为qk。
这是一个非常重要的结果，它根本违背经典物理学的基本原理。一般而言，它否认了预言测量结果的准确值的可能性，只给出了所有可能出现值的相关概率；而这种精确知识的缺乏并非是由于人们必须处理大数量原子（如同在经典气体动理论中，人们为实用方便引入概率概念）；在这里，即使对一个原子也必须应用概率概念，即概率概念在量子力学中是内禀的。这一结论按公设4是不可避免的（参见书末附录10）。
注释（3） 由公设3的对易关系和概率公设4，韦耳（1928）推演出不确定性关系
注释（4） 人们可能要问：概率公设是否为量子力学作为一自洽体系所必需？
如先于公设4的段落和上述注释（1）所述，前三项公设1、2、3并不构成一个完备的理论，因为“算符”、“态矢”和“对易关系”还必须与对物理测量结果的预言和描述相联系。这些联系是由概率公设所提供的。没有这一公设，这个理论确实是不完备的。
概率公设的一个最重要推论，是它与对易关系一起，导出了不确定性关系，即概率公设是与互补思想一致的，而后者是哥本哈根学派量子力学的基本原理。从量子力学的内禀一致性观点看，这当无问题，但当排斥公设4而把前三项公设1、2、3称为“互补的公设”时，却引出了一个逻辑问题；因为如果公设4是互补思想的一个独立公设，那么就不应出现一致性问题。因此我们必须把概率公设与前三项公设一起，看做一个自洽的体系；把公设1、2、3称做“互补的公设”在逻辑上是不正确的，而仅仅是为了用以强调它们在表达互补思想方面的作用。
关于公设4形式的概率公设是否必需的问题，确实是一个涉及量子力学自身基础的深刻问题。我们将在第十二章再回到这个问题的讨论上来。
公设5．一个物理系统的状态变化，由薛定谔方程
决定，或者以波函数ψ（q，t）来表示：
注释（1） 薛定谔方程本身是一个基本公设，显然由 于普朗克常数h的出现，它不能由经典物理学中推导出。注意这个薛定谔方程是非相对论性的。
注释（2） 注意ψ（q，t）〔或通过傅里叶变换为（p，t）〕可被用于方程中，但由于公设3，ψ（q，p，t）则不行。
注释（3） 薛定谔方程的作用类似于牛顿运动方程的作用。
注释（4） 在哈密顿算符H中，出现诸如矢势A和标势这样的势，而在经典物理学中，只有它们的微商，如curlA（A的旋度）和grad（的梯度）出现。这是一个重要的区别，并导致了玻姆－阿哈罗诺夫效应（1959，1960年）。（见第十三章，1（3）部分。）
注释（5） 薛定谔方程是一个微分方程，对ψ而言，它是决定论的和因果性的。因为ψ*ψ只有概率性意义，按公设4它给出期望值，我们可说薛定谔方程仅对预言概率而言是“决定论的和因果性的”，并非对实际结果如此。
注释（6） 薛定谔方程内部包含某些守恒定理。例如，取一不可分辨粒子的系统（如在一原子中的一些电子）。如果哈密顿算符对两粒子的互易是不变的，则薛定谔方程的解对于两粒子的互易可能是对称的或反对称的，即
ψs(1,2)＝ψs(2,1)或ψs(1,2)＝－ψs(2，1)
现在的一个定理是：当ψ按薛定谔方程变化时，其对称性（或反对称性）不随时间改变。
另一个原理的性质则不同于上述公设。它使态函数对两个不可分辨粒子的互易的对称性或反对称性与它们的自旋相关。
公设6．对自旋为半奇整数的粒子，态函数对于两个不可分辨粒子的互易是反对称的，对于自旋为整数或零的粒子则是对称的。
从这个公设可得出，半奇整数自旋的粒子服从泡利不相容原理（起初用以表示电子）和费米－狄拉克统计，而整数和零自旋的粒子则服从玻色－爱因斯坦统计。
以这种形式表示的量子力学已经成功地应用于原子物理学、分子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学。然而，仍有若干有关量子力学基础的基本原理的问题，自从理论的诞生起，在物理学家中就没有达成共识。
3．小结
从量子力学公设形式及其物理诠释中可以窥见量子力学的基本思想。为清晰起见，我们扼要地强调以下几点：
（1）所有包含能量或动量转换的基元过程，因h的大小有限，所以是不连续的〔在经典物理学中，h是零，而所有出自大小有限（不为零的）h的后果给消除了〕。
（2）由此，所有测量，包括被测量的系统和测量仪器之间的相互作用，总包含一种相互扰动，以致不可能做到“人们要想多小就有多小”。
（3）物理学中的一切概念，只有在由它们的实验测量（实际上和想像中）所定义的范围内才有意义，而且测量程序及所得结果必须是能以经典物理学的概念表达的。
（4）经典概念已被发现在涉及原子现象时是不合适的。这种不合适性已由发现h的有限大小所揭示，它导致了为爱因斯坦－德布罗意关系所表达的波粒二象性。哥本哈根学派的哲学正是把这种波粒二象性看做粒子和波这些经典概念的根本不合适性的结果，当这两个概念应用于原子领域时就把它们看做彼此“互补”的。爱因斯坦－德布罗意关系就被当做对这种互补性的一种表达。
（5）从爱因斯坦－德布罗意关系出发，海森伯不确定性关系可作为一个推论得出。这必须被认为，不仅意味着在测量两个互补的性质时要求它们同时达到人们所希望的准确性在实践上的不可能性，而且还意味着要超越由不确定性关系所确立的准确性的限度，从概念上定义这样两种性质也有内禀的不可能性。
（6）由于从互补性引发的基本的不确定性，所以，经典物理学的严格的决定论特征在量子力学中是不存在的。为了形成一种新理论以适应这种新形势，有必要对“态”给出一个新的定义。人们设定：一个系统的态，要么用坐标和时间的函数ψ来完备描述，要么用动量和时间的函数来完备描述，但不能用坐标和动量两者来完备描述。物理量不能用普通的数描述，只能用算符描述，后者是使理论能够容纳在经典物理学中不存在的不确定性关系的一种方式。ψ随时间演变被设定为受薛定谔方程支配。
（7）为了能与不确定性关系相一致，对ψ的概率诠释被设定为甚至可以应用于单个的粒子。这是与经典理论中适用于很大数量的粒子的统计概念相矛盾的。
（8）在这些基本公设的基础上，有可能给出一个与量子力学中测量相一致的理论。因此，就能表明，互补性质的测量（借助实际的实验程序）在不确定性关系的意义上是互相排斥的。
（9）按照哥本哈根学派的意见，量子力学目前的体系和它们的诠释的逻辑一致性已经确定性地建立起来了。
参考文献
吴大猷，量子力学
（公设形式，互补性）
P．A．M．Dirac，
M．Jammer，
