几何的道理是说，一个人无论怎么化妆换衣服，都无法变成另一个人。而微分流形常常告诉我们如何选择最合身的衣服。黎曼几何也差不多，以微

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今天看书复习，拿黎曼几何开刀吧(2008-04-06 15:27:42)
转载标签：黎曼流形度量张量教育 分类：数学
Riemann流形是一个流形，有2阶协变对称张量（张量是切丛上的运算，到光滑函数，“余切映射的平方”abuse of language），使每点的切空间成为有诱导度量（叫黎曼度量）的欧式空间。
那么最“欧”的欧式空间当然是黎曼流形了，取标准内积。猜一个流形可以浸入到黎曼流形中，那么它也是黎曼流形，Bingo！把黎曼度量拉回就行了。就像一个人大名一定要随老爸或者老妈姓一样。
几何的道理是说，一个人无论怎么化妆换衣服，都无法变成另一个人。而微分流形常常告诉我们如何选择最合身的衣服。黎曼几何也差不多，以微分的张量积为基的黎曼张量如同做衣服量尺寸，用公尺市尺量出来不一样，但做出来的衣服是一样的。标准就是“公尺”单位正交标架，张量作用成Kronecker符号，黎曼张量是对偶标架的“平方”和。
大学数学专业的应该学过曲面的第二基本形式，那就是一种黎曼度量。是不是任何一个流形都有黎曼度量呢？是的。取正则覆盖（局部有限坐标的加细）和它的单位分解，局部与欧氏空间同胚，把欧氏空间的标准黎曼度量，再按单位分解线性组合起来成整体的。
切从中向量场的内积在一点定义成这点切空间上向量的内积，进一步好定义向量场的长度和夹角函数。
黎曼流形本来有一个作为流形的拓扑，现在又有了一个流形上两点间最短路长的度量拓扑，这俩一样。黎曼度量放松正定的要求，只要非退化，叫伪（用词真残忍）黎曼度量，比如洛仑兹度量。
小结：
1 黎曼流形上2阶协变对称张量诱导黎曼度量；
2 流形都可取黎曼度量，如欧氏空间上的曲面。