当带电粒子之间发生碰撞时，它们在对方的电场里做加速运动，因此会辐射电磁波。当快电子因碰撞被慢化时就会出现这种辐射，它被命名为轫致

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当带电粒子之间发生碰撞时，它们在对方的电场里做加速运动，因此会辐射电磁波。当快电子因碰撞被慢化时就会出现这种辐射，它被命名为轫致辐射（“减速辐射”）。

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第7章 带电粒子与物质相互作用引起的辐射
7.1 轫致辐射
当带电粒子之间发生碰撞时，它们在对方的电场里做加速运动，因此会辐射电磁波。当快电子因碰撞被慢化时就会出现这种辐射，它被命名为轫致辐射（“减速辐射”）。
7.1.1 非相对论性碰撞辐射
在前面各章里，我们已经详细分析了忽略辐射情形下的带电粒子的碰撞。从经典理论上说，碰撞后的粒子轨迹是一条抛物线。然而作为一个近似，我们可以忽略轨道的曲率，将碰撞看成是沿一条直线进行的，尽管当碰撞参数b足够小时这个近似将不成立。我们以前采用这种“直线碰撞”的处理是为了近似计算碰撞中简谐振子的能量转移。眼下我们采取如下平行的论证处理。
当粒子经过靶粒子附近时，粒子感受到靶粒子的场，这个场使粒子加速。当粒子远离靶粒子时，不论是碰撞之前或之后，这种加速都变得可忽略不计。因此我们说粒子经历了一次“冲撞”，一次短暂的加速过程。我们可以用粒子走过大致距离b所需时间来估算这一碰撞的持续时间，即τ = b/v0，这里v0是粒子的入射速度。平均来看，碰撞前后粒子的速度相互垂直。
这一碰撞带来的辐射总能量可以用对前面给出的加速电荷的瞬时辐射功率公式（4.85）
在碰撞持续时间τ上积分来给出。加速度的特征值由粒子最接近距离时感受到的电场力确定，
由此我们得到对辐射能的估计：
这是碰撞参数为b时单次碰撞辐射的能量。为了得到单位长度上的辐射能量，我们将上式乘以靶粒子密度，并对碰撞参数进行积分，得到
注意，在此情形下，不必一定要知道积分上限值bmax。只要积分不发散，我们完全可以取bmax为无穷大。但对积分下限则不能这么处理。通常我们要么取经典碰撞参数b90作为下限，这时直线碰撞近似不成立；要么（更多的是）取通常的量子极限（此时粒子的波动性质就变得很重要了）：
这样，下限bmin取量子截断bq，上限bmax取无穷大，于是辐射能变成
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7.1.2 轻粒子或重粒子的轫致辐射
到目前为止，我们处理的是入射粒子和靶粒子均保持不变的一般意义上的碰撞，其中辐射只考虑来自入射粒子的情形。现在我们需要讨论引起严重轫致辐射的那些类型的碰撞。方程（7.6）有助于这一讨论。
首先，我们看到，入射粒子的速度并不出现在公式里，但粒子质量具有非常重要的作用。这样，像电子或正电子这样的轻粒子的有效辐射将远远高于质子或重核的辐射（辐射强度与质量成反比），因为前者的加速度要大得多。
话虽如此，但是我们认识到，如果是一个重粒子与自由电子靶粒子发生碰撞，那么靶电子将被加速，并产生辐射。这种来自靶粒子加速的辐射具有与前面相同的表达式，只是其中粒子的电荷和质量作了交换：
其次，对于靶粒子，有两种效应易于使核成为产生轫致辐射的主要源。第一种效应由方程（7.6）就可以看清楚，即辐射正比于222Zq，对重原子来说，因子Z引起的辐射增长要大于每个原子中Z个电子引起的辐射增长。第二个效应造成电子-电子碰撞对轫致辐射的贡献很小，原因是被偏转电子加速引起的辐射电场与靶电子的电场抵消了。
图7.1 当电子-电子之间的碰撞距离与其轫致辐射的波长可比的时候，辐射的波前反相，相互抵消。
在电子-电子碰撞中，入射电子的加速与靶电子的加速大小相等方向相反，因此它们产生相等且相反的辐射电场，二者得相干叠加来得到总电场。如果入射电子和靶电子的严格位置差引起的相差只有一点点，那么从远处看，这种场实际上是相互抵消了的。这个相差大约是kb，这里k是辐射的特征波数，b是碰撞参数。但是特征波数k可以写成
因此cvkb0，换言之，入射电子和靶电子的贡献将因kb 3
对于电子-原子核轫致辐射占压倒优势的情形，我们可用精细结构常数和经典电子半径的定义式将方程（7.6）改写成
7.1.3 轫致辐射与碰撞能量损失的比较
现在我们来考虑轫致辐射在物质中高能粒子的能量损失计算中的相对重要性。这种相对重要性由方程（7.6）的单位长度上辐射能与方程（6.45）的碰撞能量损失之间的比值确定。对于核之间碰撞引起的非相对论性轫致辐射情形，有ann2，故这一比值为
这里用了精细结构常数定义式和核的核电荷数Za。
我们立刻看出，非相对论性轫致辐射在总能量损失中永远都不是主要因素，因为即使是对电子与最重核之间的碰撞，67.0137/92~2Z，dW/dK 因为因子220cv和1/3ln而远小于1。
如果入射粒子是一个重粒子，那么它与核碰撞引起的辐射因为质量比的缘故完全可忽略。人们或许还会考虑到原子中的电子受到途经的重粒子影响而加速所引起的辐射。但它不会超过碰撞中转移到电子上的能量，尽管加速度转移碰撞能同时也引起辐射。形式上我们取方程（7.7）与碰撞损失的比，即可得到与方程（7.10）同样的表达式，差别仅在于用电子质量取代了m1，因此可确信，在重粒子和电子的非相对论能量损失情形下，轫致辐射可忽略。
但我们将看到，对于相对论性电子，电子-核之间的轫致辐射会变得非常重要。
7.1.4 频谱分布
我们来计算电磁辐射的频谱。这种频谱往往呈脉冲频谱形状。对于单次碰撞，辐射的频谱反映的是脉冲的频谱。一个无限陡的脉冲具有一个频域上无线宽的均匀频谱。如果加速脉冲的时间宽度是0vb，那么其结果是产生一个角频率/1的近似均匀的谱。
我们回头来考虑具有碰撞参数b的单次碰撞辐射能的表达式（7.3）。这个能量被延展到近似为/1的总谱宽上，因此能谱功率密度为
这是已知碰撞参数的单次碰撞的辐射能谱。如果我们要得到单位长度上的辐射能谱，通常需要乘以靶密度并对所有碰撞参数做bbdπ2积分，由此得到对数型关系：
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出现bmin 是因为入射粒子的波动性质，前提是相应的01minvmb大于b90。对于任意一个固定的光频 值，公式中允许出现的最大碰撞参数满足关系：10vb，因为（正如我们以讨论过的）对于较大的b值，功率谱将由于电场时间变化的傅里叶频谱关系而迅速变窄。因此有
（额外因子2是数值结果正确性的要求。）实际上，由于光子辐射带走了一些能量和动量，因此碰撞前后速度都不是简单的v0。我们可以通过减去速度10)(221mKv的均值而不是对数函数自变量里的v0来看出这一点，这里K是初始动能。如果这么做，并且用16替换掉系数里的因子4（随意，我们只是做估计，不是正规运算），我们得到：
这个表达式正是基于玻恩近似得到的非相对论性量子力学计算的结果，是由贝特和海特勒于1934年率先得到的（Bethe and Heitler, 1934）。
7.1.5 相对论性电子的轫致辐射
我们无法直接得到对相对论性电子的轫致辐射的估计。主要原因是辐射的光子能量可以从零一直延伸到电子的入射能，我们必须处理具有与电子静质量可比甚至更高的能量的光子，此时动量可忽略，尽管在散射过程中它很重要。看待此过程的方法之一是将轫致辐射当作与核场相伴的“虚光子”的散射。 这种处理也称为魏茨泽克-威廉方法，以纪念这两位最先提出该方法的物理学家。他们考虑了电子静止参照系中的轫致辐射，其中离子在电子前走过。电子感受到离子的一个时变的电场，其频谱我们已经在讨论碰撞能量转移和振子强度时讨论过。这个时变场（至少对于速度接近光速的情形）可以用平面波谱来近似。这些是虚量子。 虚量子遇到（初始）静止的电子，就会因康普顿散射过程被散射。正如相比于非相对论性汤姆孙散射，光子动量影响到康普顿散射过程那样，轫致辐射也会受到光子动量和电子反弹的影响。因为总的康普顿散射截面按反比于光子能量而下降，（事实上，对于2cme情形，)()()4/3(2cmeTc，见杰克逊，《经典电动力学》697页，）故在此参考系下，被散射的虚光子（轫致辐射光子）主要是2cme。
图7.2 在电子静止参考系上，核的电场被看成是具有电子散射能谱的虚光子“云”。
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我们知道，虚光子能谱密度基本上与其速度无关（见直线碰撞一节）。
因此，对于相对论性速度，各种能量的光子的散射率是一个常数，与碰撞能量无关，因为它是由光子的直到常数谱极限（mec2）的常数谱密度散射的恒常速率（汤姆孙散射截面量级）构成的。在实验室参考系下，相对论性多普勒效应将大部分光子上移到很高的能量，产生延伸到实验室系下电子能量 mec2 的谱。正如图7.3所示，光子的能量损失率差不多正比于碰撞能量，因为它是由常速率但平均能量正比于碰撞能量 mec2的光子散射构成的。
图7.3 实验室系下的光子散射谱可被看成是电子静系下能量平展到mec2的谱，在实验室系下，多普勒效应将能量移到 mec2。
这一定性论证显示，我们应当预料到，在光子能量的很大范围上，轫致辐射能量损失谱的取值与非相对论情形（公式）有基本相同的公式，虽然对数因子的值不同。完整的相对论性公式可以写成（杰克逊，《经典电动力学》公式（15.34））：
这里2cme是发射光子后电子的相对论伽玛因子，v0 ≈ c，因为这是相对论性碰撞。
我们可以将整个能量范围上的单位长度光子能谱写成一个通用的表达式。对入射电子情形，量子力学玻恩近似计算给出的这个表达式有如下形式（Heitler，p250）：
其中B是比值)1(2cme的无量纲函数，它替代了因子(16/3)ln。它依赖于碰撞能量（即)1(2cme）和光子能量，但较弱。函数B的形式见图7.4。由图可见，大部分光子谱有指数15的值。我们很快就能确定，这个表达式不论在电子能量的低端还是高端都有正确的速度标长。
由于版权原因本图隐去
图7.4 轫致辐射谱的谱型（摘自Heitler）。
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截面大小由下式给出：
（1靶 = 10–28 m–2。）
7.1.6 屏蔽和总辐射损失
发生远距离碰撞时，我们需要考虑原子的轨道电子对核电势的屏蔽作用。
“托马斯-费米”势是对屏蔽核势的一种近似，它可以写成
这里特征长度3/104.1Zaa。这种屏蔽形式等同于应用于库仑碰撞能量损失等的形式。
最重要的是低能光子（相对于入射能量而言）情形，因为远碰在这里最有效。它降低了截面（或辐射功率），因为它主要是将最大有效碰撞参数减小到 ~ a。图中实线是屏蔽后的估值（对铅）。虚线是非屏蔽情形。显然二者间存在很大差异。
屏蔽效应的估计可通过令bmax等于a而不是v0 / 来得到，由此得到对于非相对论性碰撞的对数因子为
最终形式有
实际上屏蔽效应最重要的不是非相对论性碰撞情形而是相对论性碰撞情形。对于相对论性碰撞，我们用用a来替代特征最大碰撞参数/2c，如果a较小的话，这时屏蔽很重要。条件是
如果入射能量满足下式，这个不等式可以应用到直到最大可能光子能量21cm的整个频域：
这里再次用到了公式(7.19)。对于入射粒子是电子的情形，这个判据为3/1/196Z。当该式满足时，碰撞被称为处于“完全屏蔽”范围内，对数因子变成)/233ln(ln3/1Z。（杰克逊，《经典电动力学》722页，虽然我们的计算取为)/192ln(3/1Z。）
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对于非相对论电子，辐射能量损失与碰撞损失相比总是可以忽略的。但强相对论电子则不同，因为对于基本上是常数谱功率情形，总的轫致辐射功率损失正比于谱的总宽，即碰撞能量。
对于完全屏蔽截面情形，这时对数项和)1(基本上是常数，总谱积分能量损失率为
将电子总能量写成2cmKe，我们得到慢化方程
如果将它与碰撞效应引起的（除去轫致辐射）慢化率相比，我们发现，这些慢化率（依赖于核电荷数Z）对空气取200或对铅取20时是相等的。
当轫致辐射损失超过碰撞损失而占主导地位时，能量足以完成屏蔽。于是慢化率为常数。就是说，能量损失方程基本上退化为
它有指数衰减解)exp(lK，其中特征长度：
经常引用的表达式稍有不同（参见Heitler以及Evans），而是用下述完全屏蔽极限：
尽管差别很小，误差在总近似处理的不确定范围之内。
7.1.7 厚靶轫致辐射
略。
7.2 切伦科夫辐射
电介质的麦克斯韦方程：
电流一部分由介质极化组成：
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另一部分是“外”电流jx，如同粒子穿过介质。我们将极化电流合到tE项中，有
这里是介电常数，等于相对电容率。消去B：
这是等号右边带源项的波动方程。看待切伦科夫辐射的一个好办法是将快粒子电流看成是波矢k频率的平面波组成的振子耦合。因为是电介质，故波“振子”满足222ck。这是介质中波的折射系数的标准解：
波速是2/1ck，即波行速度慢于光速c。这使得粒子可以合理地耦合成振子。以前我们看到（振子强度计算），此处要求共振（2)(E就是给出的能量转移）。对于与形式)(exptixk的波共振的情形，我们要求均匀移动的粒子（即不具内在振荡频率的粒子）运动使得波在粒子处的相位是一常数。粒子位置为r = vt（+ 常数），因此共振为
即k•v = 。因此，如果我们取定频率，我们就需要同时满足
1. 2/1ck（波的色散关系）
2. k•v = （与粒子共振关系）
图像上看：对于运动速度快于波相速度（2/1cv）的粒子，解存在，因为2/1cv；否则，解不存在。切伦科夫辐射要求“超光速”速度。并且k与v之间夹角由下式给定：
如果  不依赖于 ，则该结果形成光学“激波波前”。所有电磁波前沿激波波前相干叠加，形成奇点。实际上，如果对所有频率都有22vc，则单位长度辐射的能量将是无限大。这是激波波前奇异性的反映。 随频率的变化对切伦科夫辐射的恰当处理非常关键。光学材料具有随频率变化的折射系数（譬如棱镜将白光分
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解成色谱）。介质原子的共振通常处于紫外波段。辐射可以出现在高到共振（不同于切伦科夫的共振）低到2/11cv位置的所有频率上。改变  ( ) 去掉奇点，即可给出谱的变化和有限的谱范围。
图7.5 满足共振和色散关系的k坐标系。
图7.6 所有沿入射粒子轨迹的波的相干叠加形成的激波波前。
7.2.1 耦合强度
我们感兴趣的是横波：
E垂直于k。如果取v沿x轴，则)sin,(coskk。
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图7.7 透明介质相对电容率的典型变化。
图7.8 切伦科夫辐射的偏振纯粹在辐射平面内。到E(z) 的耦合为零。
但到波的耦合取决于矢量txj。对于移动的点粒子，)(tqxvxvj只有x分量。因此
1. 它完全不耦合到Ez偏振。
2. 耦合到平面内偏振，)sin,(cosEE正比于EjjE，即sin。
最后要指出的是，驱动项是txj，因此由于jx的谱是平的（因为它是时间的函数），故驱动项的谱为)(i。所有这些都可以严格证明。于是单位路径长度能量辐射结果为
我们可以做恒等式
即耦合依赖于辐射角。平方是因为能量可视为电场的平方。
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这个方程还可以给出辐射功率（被积函数）的频谱，它仅在频率满足22vc或v大于相速度2/1c时不为零。单位长度辐射的能量可令221vc等于平均值来估计，于是有
这里2,1 分别是辐射谱的上、下端点。
这个单位长度能量的大概值可这样来估计：通常玻璃的光学共振响应（）在1002纳米附近有eV122，在共振022vc附近有
与其他过程的能量损失相比这很小。单位长度辐射的光子数更容易计算：
光子谱分布为：
7.2.2 能谱
正比于221vc的能谱具有下述特征：
1. 宽谱且平稳；
2. 在大 （小）的“蓝”端较大，因为
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a)  因子
b)  随 增长→221vc增长。
结果：蓝白光。玛丽•居里1910年观察到。切伦科夫于1935年进行了细致研究。弗兰克和塔姆于1937年给予了（经典）解释。1940年代中期开始应用到探测器上。