希尔伯特空间 拿赫空间(Banach space)的特例 泛函分析 尔伯特空间中的任何一维子空间(subspace)都视为矢量，

希尔伯特空间
希尔伯特空间(Hilbert space)由大卫‧希尔伯特(David Hilbert)提出，是一个完备的内积空间。希尔伯特空间将傅立叶展开及诸如傅立叶转换之类的线性转换概念加以厘清并广义化。它是有限维欧几里得空间向无穷维的推广，也是巴拿赫空间(Banach space)的特例。其并出现在泛函分析之研究范畴。

一个量子系统的状态ψ，可将其张开在一线性空间，量子力学就是在这个空间里开展活动的。集合{ψ}不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件并定义了内积、由复函数构成的线性空间。在数学上再符合一些严格定义，如此的线性空间即为希尔伯特空间。希尔伯特空间中的任何一维子空间(subspace)都视为矢量，内积采取的方式为矢量与另一矢量之共轭矢量进行各基底(basis)分量的点乘(dot product)，