利用力学系统的拉格朗日函数，构造了一个称为作用量的函数，并证明在相同的时间、相同的始末位置和相同的约束条件下，在所有可能的运动中

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哈密顿原理

“自然界服从简单性原则”是众多物理学家宗教般的神圣信念。爱因斯坦指出，简单性原则就是要从尽可能少的假设出发，通过逻辑演绎，建立物理学的定律、方程和理论，概括和说明尽可能多的自然现象。

在简单性原则的追求中，物理学大师率先垂范，身体力行。牛顿用四个定律统一了从太空中星体到地球上苹果的力学运动,麦克斯韦用四个方程统一了互不相干的电、磁和光现象，爱因斯坦用狭义相对论和广义相对论统一了时间、空间、物质和运动。然而，体现简单性原则的最高典范，可能要数最小作用量原理了。普朗克认为“几个世纪以来，标志物理学成就的一般法则中，就形式和内容而言，最小作用量原理可能最接近于理论研究的终极目标。”

早在2000多年前，古希腊哲学家亚里士多德就提出了“自然不会做多余事情”的观点，这也许是物理学中最小作用量原理的萌芽。与哲学家不同的是，科学家不是仅停留在这些猜想性的观点上，而是要把这种观点与自然联系起来，从而去说明和解释自然。在最小作用量原理的发展历程中，铭刻着费马、莱布尼兹、莫培督、欧拉、拉格朗日、高斯、亥姆霍兹、赫兹等众多数学家和物理学家的名字。

1834年，29岁的爱尔兰数学家和物理学家威廉姆·哈密顿发表了《一种动力学的普遍方法》的历史性论文，哈密顿深入的思考了费马原理与莫培督原理之间的相似性，这使他认识到，可以用与光学定律非常类似的形式来表达力学定律。他利用力学系统的拉格朗日函数，构造了一个称为作用量的函数，并证明在相同的时间、相同的始末位置和相同的约束条件下，在所有可能的运动中，完整保守系统的真实运动使作用量取极小值，这就是哈密顿形式的最小作用量原理。哈密顿的论文，使最小作用量原理的发展历程达到了光辉的顶峰。还应该指出的是，哈密顿根据力学定律与光学定律之间的相似性，第一个预言了粒子的行为可以用波动力学来描述。过了大约一百年，这个天才的思想才被发展成了德布罗意波，开创了量子论的新纪元。

哈密顿之后，物理学家争相在物理学的各个领域中推广这一原理。经过众多物理学家的努力，已使得最小作用量原理成了物理学中最具普遍性的原理。通过选取合适的拉格朗日函数和构造合适的作用量函数，经典力学的牛顿方程、电动力学的麦克斯韦方程、统计力学的刘维方程、量子力学的薛定谔方程、相对论力学的爱因斯坦方程等等，都可以由最小作用量原理推导出来。

极有意思的是，在应用最小作用量原理统一物理学的过程中，波耳兹曼、克劳修斯、亥姆霍兹、普朗克等人，也试图从最小作用量原理推导出热力学第二定律。然而，除了一片混乱就是一地鸡毛，物理学大师们在热力学领域中遭遇了一场滑铁卢之战。直到今天，热力学第二定律，仍然像一个神秘而孤独的精灵，自由而高傲地翱翔在广袤的哈密顿天空之外。热力学第二定律，你是否是物理学心中永远的伤痛？


系统的正确演化对于任何微扰必须是稳定的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。
[编辑本段]作用量形式
　　在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
作用量 (泛函)
　　最常见的作用量是一个泛函 ，输入值是时间与空间的函数，输出值是一个标量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点 ， 之间广义坐标 的演变。 　　作用量 定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量 随时间的积分： 　　。 根据哈密顿原理，正确的演化 要求平稳的作用量 （最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程。
简略作用量 (泛函)
　　简略作用量也是一个泛涵，通常标记为 。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀引力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都不相依于粒子的移动的速度。简略作用量 定义为广义动量 延著路径的积分： 　　； 其中， 是广义坐标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量 是平稳的。
哈密顿主函数
　　主条目：哈密顿主函数。 哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学地另一种表述。哈密顿主函数 与泛涵 有密切的关系。固定住初始时间 和其对应的坐标点 ；而准许时间上限 和其对应的坐标点 的改变。取 和 为函数 的参数。换句话说，作用量函数 是拉格朗日量随时间的不定积分： 　　。 更加地，我们可以证明 是某常数矢量 。所以， 　　。
哈密顿特征函数
　　主条目：哈密顿特征函数。 假若，哈密顿量 是守恒的； 　　； 其中， 是常数。 　　设定哈密顿特征函数 为 　　。 则哈密顿特征函数 是一个作用量。 　　更加地， 　　。 随时间积分： 　　。 这正是简略作用量的方程。
哈密顿-雅可比方程解答
　　主条目：哈密顿-雅可比方程。 哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；则哈密顿主函数 分出的每一个项目 也称为"作用量"。
作用量-角度坐标
　　主条目：作用量-角度坐标。 思考一个作用量-角度坐标的广义动量变量 ，定义为在相空间内，关于转动运动或振荡运动，广义动量的闭路径积分： 　　。 这变量 称为广义坐标 的作用量；相应的正则坐标是角度 。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分矢量；这里，只有一个标量变量 被用来积分。作用量 等于， 随着 沿着闭路径， 的改变。应用于几个有趣的物理系统， 或者是常数，或者改变非常地慢。因此， 时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。
] 哈密顿流作用量
　　参阅 重言1形式。
[编辑本段]数学导引
　　哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点 、 的运动是正确运动，则作用量泛函 的一次变分 为零。用数学方程表示，定义作用量为 　　。 其中， 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 是时间的函数。 　　假若， 乃系统的正确运动，则 。 　　从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程．假设 是系统的正确运动，让 成为一个微扰 ；微扰在轨道两个端点的值是零： 　　。 取至 的一阶微扰，作用量泛函的一次变分为 　　。 这里，我们将拉格朗日量 展开至 的一阶微扰。 　　应用分部积分法于最右边项目， 　　。 边界条件 使第一个项目归零。所以， 　　。 要求作用量泛函 平稳。这意味着，对于正确运动的任意微扰 ，一次变分 必须等于零： 　　。 请注意，我们还没有对广义坐标 做任何要求。现在，我们要求所有的广义坐标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程： 　　。 在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。 　　对应于广义坐标 的广义动量 ，又称为正则动量，或称为共轭动量，定义为 　　。 当 不显性地相依于广义坐标 时， 　　， 则广义动量 是常数。在此种状况，坐标 称为循环坐标。举例而言，如果我们用极坐标系 来描述一个粒子的平面运动，而 与 无关，则广义动量是守恒的角动量。