曲率概念● 基于微分定义在2维曲线和3维曲面上● 与坐标系的选取（旋转平移）无关● 是衡量曲线曲面局部弯曲程度的特征量

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基于积分不变量的多尺度曲率估计. Multi-scale Curvature Estimation Based on ... 曲线曲面上一点p 的积分不变量(Integral Invariant). 定义为：该点局部邻域内的函数 ...
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问题背景(1)——曲率概念● 基于微分定义在2维曲线和3维曲面上● 与坐标系的选取（旋转平移）无关● 是衡量曲线曲面局部弯曲程度的特征量
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5问题背景(2)——曲率应用● 曲面光滑去噪● 曲面分片● 曲面重构● 曲面特征分析● …
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6问题背景(3)——曲率计算方法● 在数字几何处理中，曲面通常由网格离散表示，曲率没有显式解● 离散微分几何● 局部拟合二次曲面
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72. 积分不变量1.积分不变量的定义2.积分不变量的研究现状3.几种特殊的积分不变量4.积分不变量的性质
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8积分不变量(1)——定义● 曲线曲面上一点 p 的积分不变量 (Integral Invariant)定义为：该点局部邻域内的函数积分● 数学描述：● 局部邻域 D 通常借助圆(2维)和球(3维)来定义● 积分函数 f(x) 的选取与曲面有关(曲面示性函数、距离平方函数等)(p)(x) xrDIf d= ∫
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9积分不变量(2)——研究现状● Manay等[MHY04]● 提出了积分不变量的概念，研究其作用在2维平面曲线上的情形● Cazals等[CCL03]● 研究了一种特殊的积分不变量Connolly函数的性质● Pottmann等[PHYK05]● 将积分不变量的概念推广到3维，并进行系统地分析● Natasha等[GMGP05]● 利用积分不变量作为特征量进行全局注册，显示了积分不变量对噪声的鲁棒
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10积分不变量(3)——例子● 球体积不变量Br: 半径为r的球域: 曲面的示性函数，表征曲面的内部H: 平均曲率345(p)2(p)(x) x( )34rrDBHVdrr O rππχ==−+∫Dχ
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11积分不变量(3)——例子● 不同尺度下的球体积不变量
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12积分不变量(3)——例子● 球面面积不变量: 半径为r的球面域: 曲面的示性函数，表征曲面的内部H: 平均曲率Dχ234(p)(p)(x) x 2( )rrDBSAdrHr O rχππ∂==−+∫rB∂
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13积分不变量(3)——例子● 不同尺度下的球面面积不变量
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14积分不变量(4)——性质● 与微分量定义不同，由局部邻域积分定义● 局部领域积分弱化了噪声的影响，相比微分量更加鲁棒● 是定义在多尺度上的特征量
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153. 基于积分不变量的曲率估计● 基本思路● 渐进分析● 实现方法
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16曲率估计(1)——基本思路● 积分不变量和传统微分量存在联系——Taylor 展开式，如：球体积不变量和球面面积不变量和平均曲率H有关！345(p)2(p)(x) x( )34rrDBHVdrr O rππχ==−+∫234(p)(p)(x) x 2( )rrDBSAdrHr O rχππ∂==−+∫
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17曲率估计(1)——基本思路● 对球体积邻域和球面面积邻域进行主分量分析？● 特征值是否和主曲率存在关系？● 特征向量是否可以作为主曲率方向的估计？
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18曲率估计(1)——基本思路● 对空间点集合A进行主分量分析：● 求质心：● 建立协方差矩阵：s: ( x x)/ xAAdd= ∫∫（　）( ): (x s)(x s) xTAJ Ad=−−∫
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19曲率估计(1)——基本思路● 以球面面积邻域为例：
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20曲率估计(2)——渐进分析● 在p点利用抛物面　对曲面S进行二阶近似：● 借助　求球体积邻域和球面面积邻域的主分量分析Π22121:()2zxyκκΠ =+Π
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21曲率估计(2)——渐进分析● 球体积邻域：5671122(3)( )1548rbMrr O rππκ κ=−++5672122(3 )( )1548rbMrr O rππκκ=−++672112()( )24rrbbMMr O rπκ κ−=−+
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22曲率估计(2)——渐进分析● 在抛物面　上进行数值验证，固定，改变，尺度的变化Π11κ =2[ 5,5]κ ∈ −[0.05,1]r∈
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23曲率估计(2)——渐进分析● 球面面积邻域4562122(3 )( )38rsMrr O rππκκ=−++4561122(3)( )38rsMrr O rππκ κ=−++56s2s112()( )4rrMMr O rπκ κ−=−+
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24曲率估计(2)——渐进分析● 在抛物面　上进行数值验证，固定，改变，尺度的变化Π11κ =2[ 5,5]κ ∈ −[0.05,1]r∈
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25曲率估计(3)——实现方法● 用主分量分析结果忽略高阶项反解出　，● 球体积邻域PCA估计：● 球面面积邻域PCA估计1κ2κ121668:(3 )5rrrbbbMMrrκπ=−+212668:(3)5rrrbbbMMrrκπ=−+121514:(3 )3rrrsssMMrrκπ=−+212564:(3)3rrrsssMMrrκπ=−+
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264. 实验结果● 算法实现● 结果比较● 结论
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27实验结果(1)——算法实现● 计算曲面(网格)的示性函数● 将网格模型嵌入均匀栅格(uniform grid)● 用距离平方函数Sweeping算法或者扫描转换算法将示性函数离散化到栅格单元中Dχ
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28实验结果(1)——算法实现● 计算球体积邻域的主分量分析：● 定义在球域上的积分不变量可以看作是球域Br的示性函数和方程 f (x)的卷积，可借助于FFT● 对于球体积不变量Vr， f (x)为网格的示性函数● 对于主分量分析，可以通过对 f (x)的替换计算出协方差矩阵的各个分量，如，DχDx χ⋅2Dx χ⋅
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29实验结果(1)——算法实现● 计算球面面积邻域的主分量分析：● 将球面用均匀网格离散化● 以每个面片为单位计算离散积分
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30实验结果(2)——算法比较● 在pillow模型上测试鲁棒性：
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31实验结果(2)——算法比较● 不同尺度下的结果比较(小曲率方向)：球体积邻域球面面积邻域离散微分几何局部拟合
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32实验结果(2)——算法比较● 鲁棒性测试结论：● 球体积邻域和球面面积邻域对于噪声的鲁棒性强● 离散微分几何由于依靠网格面片的离散量来定义，易受噪声干扰● 由于pillow模型的几何形状并不复杂，局部拟合方法在大尺度拟合的情况下也能得到比较好的结果
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33实验结果(2)——算法比较● 在Dragon模型上测试稳定性 (大曲率Kmax)：局部拟合(左) 球体积邻域PCA (右)
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34实验结果(2)——算法比较● 在Dragon模型上测试稳定性 (小曲率Kmin)：局部拟合(左) 球体积邻域PCA (右)
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35实验结果(2)——算法比较● 在Bunny模型上测试稳定性 (平均曲率Kmean)局部拟合球面面积邻域PCA
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36实验结果(2)——算法比较● 稳定性测试结论：● 局部拟合虽然在大尺度下对模型曲率的估计有平滑的效果，但是拟合得到的曲率却在很多地方不连续。● 估计曲率是在拟合曲面的一点进行微分，容易受到扰动的影响而不连续● 基于球体积和球面面积PCA的曲率估计稳定性和光滑性好
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37实验结果(3)——结论● 基于球体积邻域和球面面积邻域PCA估计的曲率(曲率方向)具有：● 鲁棒性● 稳定性● 尺度特性
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385. 主要应用● 多尺度特征提取● 多尺度的曲率线提取● 四边形(为主的)网格重构
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39主要应用(1)——特征提取● 对于给定的尺度r，设定特征(曲率) 阈值thc，满足条件> thc的区域为特征区域12max( , )rrκκ
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40主要应用(1)——特征提取● 持久性特征 (Persistent Feature)● 在多个尺度上均为特征区域
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41主要应用(2)——曲率线提取● 曲率线● 主曲率方向在曲面上的积分曲线● 大尺度下的曲率线更多的反应模型的整体特征
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42主要应用(2)——曲率线提取● 可展曲面的曲率线● 曲率线为一簇直线
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43主要应用(3)——四边网格重构● 基于曲率线的正交网状结构，可以对三角网格进行四边网格重构原网格上的曲率线重采样后的四边网格
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44参考文献●[MHY04] Manay S, Hong B W, Yezzi A J, et al. Integral invariant signatures.Proceedings of Proc. European Conf. Computer Vision, 2004. 87–99●[Con86] Connolly M. Measurement of protein surface shape by solid angles. J. Mol.Graphics, 1986, 4●[CCL03] Cazals F, Chazal F, Lewiner T. Molecular shape analysis based upon themorse-smale complex and the Connolly function. Proceedings of Proc. Symp. Comp.Geometry, 2003. 351–360●[PHY05]Pottmann H, Huang Q X, Yang Y L, et al. Integral invariants for robustgeometry processing Geometry Preprint 146, TU Wien, 2005●[GMGP05] Gelfand N, Mitra N J, Guibas L J, et al. Robust Global Registration.Proceedings of SGP, 2005. 197–206
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45973项目几何造型研讨会基于反曲率映射的最优保角参数化Optimal Surface Parameterization Using Inverse Curvature Map清华大学图形学与几何计算实验室
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46主要内容● 问题描述● 研究背景● 研究内容● 实验结果
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47问题描述（1）● 参数化● 研究三维空间中的曲面（网格）和某个更简单的二维参数域之间的映射方法。● 常见的二维参数域：平面、球面
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48问题描述（2）● 平面参数化和球面参数化
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49问题描述（3）● 保度量映射（Isometric mapping），保角（共形）映射（Conformal mapping），保面积映射（Equiareal mapping）● 平面参数化会带来度量扭曲● 一般来说，曲面映射到平面上会产生度量扭曲。只有可展曲面（Developable surface）可以保度量（Isometrically）地映射到平面上。
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50问题描述（4）● 保角映射是研究的最多的一类平面参数化问题● 问题1：如何使参数化方法与模型的拓扑性质无关？● 问题2：如何最大限度地减少面积扭曲？
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51研究背景（1）● 参数化问题是计算机图形学中最基本的问题之一● 纹理映射● 网格重采样● 网格样条曲面拟合● …
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52研究背景（2）● 保角参数化的研究成果● 直接求解映射方法：[Levy02] [De*****run02]● 微分1-形式方法：[Gu03]● 基于角度的方法：[Sheffer05] [Kharevych06]
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53研究背景（3）● 基于度量的方法● 参数化的过程改变了原来网格的度量● 平面参数化的结果使模型上大部分点的高斯曲率为0● 可否通过指定高斯曲率求解映射后的度量？
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54研究内容（1）● 三角网格上的离散高斯曲率性质● 局部性质——网格顶点上的高斯曲率● 整体性质——离散Gauss-Bonnet定理
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55研究内容（2）● 原始网格的欧式度量：ER : eijlij● 用Circle Packing度量简化共形映射● 定义：网格M={V, E, F }上的Circle Packing度量为● M 代表网格的三角化●是在网格顶点上赋予圆半径的函数●代表每个网格边上所对的角度。( , , )M Γ Φ:V+Γ→ :[0, ]2EπΦ→
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56研究内容（3）● Circle Packing度量和网格欧式度量（网格边长）之间的关系满足余弦定理222cosijiji jijlγ γγ γφ=+ +
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57研究内容（4）● Circle Packing度量的性质 - 1● 如果同一个网格M上的两个Circle Packing度量和满足，则称这两个Circle Packing度量彼此共形。● 每个Circle Packing度量的共形等价类构成了一个空间，我们称之为共形离散度量空间，用U来表示。11( , , )M Γ Φ22( , , )M Γ Φ12Φ = Φ
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58研究内容（5）● Circle Packing度量的性质 – 2● 由于每条边上对应的角度保持不变，所以一个共形Circle Packing度量可以用一个向量来表示，其中u为网格顶点半径取对数。● 由于缩放不影响离散高斯曲率，我们对共形度量进行归一化，令，这是上的超平面，我们用来表示。12u ( , ,..., )nu uu=0iiu =∑nuΠ
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59研究内容（6）● 曲率映射● 曲率映射 K 将一个共形Circle Packing度量映射为网格上的一个确定的高斯曲率分布，像空间为凸集[Chow and Luo 2003]。1 2k ( , ,..., )nk kk=: ( )kuKΩ =Π
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60研究内容（7）● 反曲率映射● 曲率映射的切映射，满足如下的离散Poisson方程，其中，是中 u 点的切空间，是　中 k 点的切空间，是限制在上的正定矩阵。:(u)(k)ukdK TTΠ→ Ω(u)uTΠuΠ(k)kTΩkΩ(u)uTΠ(u)Δ
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61研究内容（8）● 于是曲率映射和反曲率映射可以描述为如下形式：● Laplace矩阵可表示为(u)Δ( )ijdΔ =
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62研究内容（9）● 基于反曲率映射的共形参数化算法
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63研究内容（10）● 面积扭曲最小的共形参数化● 定义度量面积扭曲的函数E● 从初始的共形参数化开始，优化E，同时保持Circle Packing度量共形等价● 优化E优化u 优化k 反曲率映射得到u
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64研究内容（11）● 最优共形参数化算法
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65实验结果（1）● 基于反曲率映射的共形参数化Bunny, 41118fKitten, 20438fGargoyle, 40803f
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66实验结果（2）● 最优共形参数化Woodfish
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67参考文献●[Levy02] B. Levy, S. Petitjean, N. Ray and J. Maillot: Least squares conformal maps forautomatic texture atlas generation, Proc. ACM SIGGRAPH, 2002, pp. 362—371.●[De*****run02] M. De*****run, M. Meyer and P. Alliez,: Intrinsic parameterizations ofsurface meshes. Computer Graphics Forum, vol. 21(3), 2002, pp. 209—218.●[Gu03] X. Gu and S. Yau.: Global conformal surface parameterization. In:Proceedings of the Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometryprocessing 2003, pp. 127—137.●[Sheffer05] A. Sheffer, B. Levy, M. Mogilnitsky, A. Bogomyakov: ABF++: fast androbust angle based flattening, ACM Transactions on Graphics, 24(2), 2005, pp. 311—330.●[Kharevych06] KHAREVYCH, L., SPRINGBORN, B., AND SCHRODER, P. 2006.Discrete conformal mappings via circle patterns. ACM Transactions on Graphics 25, 2,412–438.●[Chow and Luo2003]CHOW, B., AND LUO, F. 2003. Combinatorial ricci flows onsurfaces. Journal of Differential Geometry 63, 1, 97–129.