瞄述场随空间的变化,对于标量场我们可以用场分别对 的偏导组成的矢量来瞄述空间中一点与周围点的关系，我们称之为梯度

瞄述场随空间的变化

[DOC] 数学预备知识
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对于三个矢量，三维空间中定义了复合乘法操作. 三重标积（混合积）. 三重矢积. 三重矢积没有乘法交换率. 4. 位置矢量，位移矢量，间距矢量，位置矢量. 位置矢量： ...
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数学预备知识
一、 矢量
1. 矢量定义：在三维欧几里德空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体用带箭头的字母表示 。
矢量和满足以下规则：
交换率：
结合律：
2. 矢量的分量形式
三维空间迪卡儿坐标系 中，选择一组正交标准化基 分别为 单位矢量。

3. 矢量乘法
在三维空间中定义了两个乘法操作。
点积：定义
叉积：定义
对于三个矢量，三维空间中定义了复合乘法操作
三重标积（混合积）

三重矢积
三重矢积没有乘法交换率
4. 位置矢量，位移矢量，间距矢量，位置矢量
位置矢量：
距离：
方向的单位矢量
无限小位移矢量：
间距矢量：
为场点（field point观察点）的位置矢量， 为源点（source point）的位置矢量。



二、
称为kronecker delta

性质：
称为Levi-civita symbol或Levi-civita tensor

性质：
1. 简单表示右手系中基矢量的矢积：
2. 任意两个下标互换，差异负号，如
3. 单重求和（对重复下标求和）

4. 两重求和

5. 三重求和

三、场的微分运算
所谓场，就是在空间不同点上会取不同志的一种物理量。例如，温度就是一种场——这种情况下是一种标量场。
标量场：指空间一点对应值为标量，写成
矢量场：指空间一点对应值为矢量，写成
矢量场可用一组箭头来表达，每支箭头的大小和方向为画出箭头那一点上的矢量场之值。
对于一个场，不管是矢量场还是标量场，我们如何来瞄述场随空间的变化呢？我们是否也能求场对 的偏导来反映空间中一点与周围点的关系呢？
对于标量场我们可以用场分别对 的偏导组成的矢量来瞄述空间中一点与周围点的关系，我们称之为梯度。

图表 1矢量图

图表 2标量图
它是一个矢量，梯度的几何意义是指向函数 的最大变化率方向，大小即为函数变化率。
可以简化为
我们把 简写成
称为Del，或矢量微分算符
对于矢量场我们比较关心闭合曲面的流量即散度，和绕行一闭合曲线的环流即旋度。
散度
旋度
例题
1.
2.
利用复合函数求导能简化求导过程
， ，
设

3.
4.
5.
6.

四、 矢量乘积的梯度，散度，旋度
首先，如何展开

事实上，我们不必这样用分量展开
算符在方向关系上是一个矢量，所以他的运算具有矢量的特点而 不同与普通矢量，它是微分算符，所以我们在其运算中考虑到微分运算的特点，不能把它与普通矢量任意对调位置。



Tips
1) 首先去除 的微分性质
2) 一定要放在要作用的函数之前（如 正确 错误）
二重算符的作用
梯度的散度
梯度的旋度
散度的梯度
旋度的散度
旋度的旋度
1）
称为laplacian算符，简写为
2）
3） 不常用
4）
5）
例 为任意矢量
1)
2)
3)

四、 并矢
两个矢量并写在一起，称为并矢。我们为何要引入并矢这个概念呢？这是因为许多物理与力学问题难以用矢量来表示。

先看一个例子：
要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑 对 的投影矢量用 表示

就被称为并矢。
两阶并矢的定义为
除交换率外，并矢服从初等代数的运算规律
结合律：

分配率：
但
单位并矢 ，任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中

并矢的散度与旋度

并矢的积分变换公式
高斯公式：
证： ，

也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式
斯托克斯公式：
证：