一维波动方程 (图)

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5dd914e90100dqq5.html 一维波动方程 一维波动方程(2009-06-23 22:30:33) 转载标签：波动方程简谐波波函数胡克it 分类：学习相关 1. 一维波动方程 我们得到波动方程的一般形式为 , 对于纵波和横波，式中的波速分别为 和. (1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。 (2)波动方程等号两边分别是未知量y对变量t和对变量x的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。 (3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。如果y1和y2都是波动方程的解，即以下两式成立 , . 将以上两式相加，得 , 这表示，也是波动方程的解。是什么？就是两列波的叠加。所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。 (4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。 (5)在得到波动方程之后，将平面简谐波波函数代入其中，得到了与公式(6-50)和(6-51)相同的波速表达式，这表明平面简谐波波函数是波动方程的解。 但在波动方程的推导过程中，只讲明了两点，一是平面波，二是纵波还是横波，但未涉及波的频率的高低和振幅的大小。既然平面简谐波波函数是波动方程的解，由于波动方程是线性方程，所以不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合也一定是波动方程的解。那么不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合是什么波呢？根据傅利叶理论，这种线性组合是任意的周期性波(有限项组合)或任意的非周期性波(无限项组合)。 于是，我们可以说，任意平面横波和任意平面纵波都是上述波动方程的解，并且只要它们在传播过程中不改变波型，同一种介质传播的波都有相同的波速。