标量和赝标量 微分几何

多维空间中物质运动问题，有运动就有时空问题，动力学问题，物理定理有关的各种物理量刚表述，计算换算问题，联络等

请教一个微分几何问题
其实就是我们经常说的轴矢量和极矢量，标量和赝标量在几何上究竟对应着什么？

我总觉得这件事情和定向或者对偶形式有关系，比如叉乘，其实就是三维空间里作wedge product后求对偶，这样就把两个轴矢量变成了极矢量，而再比如说磁场，就是时空中的二形式场F_ab求对偶后再对任一个观者的四速求缩并，而电场是不求对偶直接求缩并。我问过我们上广义相对论的老师，他说这里面应该是有某种联系的，但他也没想过这个问题。到科学院问过梁灿彬先生，他说他曾经考虑过这个问题，但是现在已经想不起来了，文字材料也没留下来。

而且，对于时间反演空间反演，从微分几何的角度究竟该怎么理解？是理解成一个微分同胚映射还是什么？如果是这样，如何解释赝标量在时间反演下会反号？

谢谢！我是类空的。
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shanqin 高级会员



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2# 大 中 小 发表于 2008-3-16 19:43 只看该作者 点的时间反演和空间反演，以微分几何观点看，是时空流形中点的对称操作，如果是时空中整个世界线反演，那就是刚性运动，等距的特殊情形。

曲线（自然包括直接）的唯一性定理规定了曲率和挠率相同的曲线会在刚性运动下重合，而反演只是其中一个特例。

而曲面的唯一性规定了第一基本形式相同的曲面可以在等距变换后可以重合，如果是曲面的内蕴性质和外蕴性质完全相同，那么也可以直接通过刚体运动来重合，反演也只是其中的特殊情况。假如不曾一起逆着风
破着浪
我还不明了倔强
原来是一种力量


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季候风 超级版主



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3# 大 中 小 发表于 2008-3-16 20:11 只看该作者 四维电磁势 是所谓 主丛的一个联络，其外微分就是这个联络的曲率，



电场是时空上的 2-形式，



如果要看到其三维空间表示，可以直接将时间微元忘记，或者更形式地，先在时空做 Hodge 对偶，得到只有空间形式的时空2-形式，然后在三维空间做 Hodge 对偶，得到空间的 1-形式。

磁场是时空的 2-形式，但可以通过三维空间的 Hodge 对偶成为空间的向量场


赝标量是最高阶形式（在四维时空，是 4－形式）, 它通过 Hodge 对偶同标量对应，但跟标量不同的是，在时间反演和空间反射下都变号。

[ 本帖最后由 季候风 于 2008-3-16 20:12 编辑 ]
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hilbertan 新手上路



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4# 大 中 小 发表于 2008-3-16 21:25 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-16 20:11 发表
四维电磁势 A=A_mu dx^mu 是所谓 U(1) 主丛的一个联络，其外微分就是这个联络的曲率，第一次知道竟然有这样一件事...太有意思了！我是类空的。
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5# 大 中 小 发表于 2008-3-17 06:33 只看该作者 轴矢量和极矢量是什么意思？
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blackhole 超级版主



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6# 大 中 小 发表于 2008-3-17 08:19 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 06:33 发表
轴矢量和极矢量是什么意思？ 轴矢量就是赝矢量，极矢量就是真矢量。
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qiuryaq 新手上路



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7# 大 中 小 发表于 2008-3-17 09:02 只看该作者 请问两个膺矢量还可以有叉乘吗？
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8# 大 中 小 发表于 2008-3-17 10:30 只看该作者 引用:
原帖由 blackhole 于 2008-3-17 08:19 发表

轴矢量就是赝矢量，极矢量就是真矢量。 还是不明白
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9# 大 中 小 发表于 2008-3-17 12:06 只看该作者 引用:
原帖由 qiuryaq 于 2008-3-17 09:02 发表
请问两个膺矢量还可以有叉乘吗？ 当然可以，其结果还是赝矢量。但两个赝矢量的点积是真标量。
引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 10:30 发表
还是不明白 举些例子就明白了：
真矢量有力F、加速度a、电场E，矢势A，矢径r等
赝矢量有力矩M、角速度、磁场B等
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10# 大 中 小 发表于 2008-3-17 12:57 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 06:33 发表
轴矢量和极矢量是什么意思？ 定义一个角动量矢量时，采用右手螺线规则，四指弯曲的方向指向角动量所对应的圆周运动方向，而大拇指指向的方向，即是角动量矢量方向，这种定义下的矢量是轴矢量（可能面积元矢量也是轴矢量）；而通常从坐标原点指向另一点所定义的矢量，是极矢量。

二者关系：两个极矢量的叉积是一个轴矢量......

特点：在镜像反射下，平行于镜面的环形电流流动方向不变，因此按照右手螺线规则定义的轴矢量电流在在镜像反射下方向不变。由于一般极矢量在在镜像反射下要反向，因此把轴矢量称之为“赝矢量”。
同理可以定义包括赝标量在内的赝张量，在镜像反射下，它与张量变换规则不同。

也许上面有些地方我说反了。
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11# 大 中 小 发表于 2008-3-17 21:23 只看该作者 恩。翻译成三维空间微分形式的语言，真矢量就是 1-形式，, 赝矢量就是 2-形式，。 1－形式的叉积就是外积，2－形式的叉积要先通过 Hodge 对偶变成1－形式，然后再做外积。两个1－形式或者两个2－形式都可以定义点积，，这个点积总是一个标量。 而一个1－形式和一个2－形式的点积就直接是外积，它是一个 “赝标量”，也就是一个3－形式。
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12# 大 中 小 发表于 2008-3-17 21:39 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 21:23 发表
赝矢量就是 2-形式， 。 2－形式的叉积要先通过 Hodge 对偶变成1－形式，然后再做外积。是不是说“赝矢量是2－形式通过Hodge对偶得到的1－形式”更准确些。
另外，应该每Hodge对偶一次就增加一个我所谓的“赝因素”。这一点应该对四维时空也成立。因为是赝张量吗。
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13# 大 中 小 发表于 2008-3-17 22:44 只看该作者 在这种解释下，赝矢量必须是 2－形式。在空间旋转下，所谓赝矢量跟真矢量的变换规律相同，这使得赝矢量看上去像一个矢量。在一般仿射变换下，两个矢量的叉乘的变换规律就不是矢量的变换规律了。只不过在牛顿力学里，空间变换都是旋转和反射的合成，在旋转下它们的变换规律正好一样，而在反射下有所不同，所以只以反射性质来加以区分。而如果考虑空间的所有仿射变换，叉积的变换规律就是二阶反对称张量（即2－形式）的变换规律。我想 “赝” 这个字还是很恰当的，它不是矢量，只是在旋转变换下同矢量无法区分。
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hilbertan 新手上路



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14# 大 中 小 发表于 2008-3-17 22:53 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 22:44 发表
在这种解释下，赝矢量必须是 2－形式。在空间旋转下，所谓赝矢量跟真矢量的变换规律相同，这使得赝矢量看上去像一个矢量。在一般仿射变换下，两个矢量的叉乘的变换规律就不是矢量的变换规律了。只不过在牛顿力学里，空间变换都是 ... 你这么一说我总算终于明白了~~~

多谢！！

ps这里牛人好多啊......以后还要多多来请教~~我是类空的。
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15# 大 中 小 发表于 2008-3-17 23:13 只看该作者 也许不应该有 “赝张量” 这个说法。“赝矢量” 和 “赝标量” 都是在旋转变化下跟矢量和标量保持相同变换规律的张量，或者说它们的 Hodge 对偶。在三维空间，所有反对称张量必须是 标量，矢量，赝矢量，赝标量 的一种。 在四维时空，情况又有所不同。时间坐标比较特殊，我没有细算，不知道在 Lorentz 变换下各张量和其 Hodge 对偶的变换规律是否一致。我猜不一致，从而没有 “赝矢量” 这种东西。“赝标量” 是有的，4－形式在保持时空定向的 Lorentz 变换下不变。

总而言之，“赝” 和 “真” 这种说法应该被视为历史名词。张量分析已经出现快 150 年了，不仅简明清晰，而且物理意义明显，早就应该成为描述物理基础课程的语言了。
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16# 大 中 小 发表于 2008-3-18 00:40 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 23:13 发表
也许不应该有 “赝张量” 这个说法。“赝矢量” 和 “赝标量” 都是在旋转变化下跟矢量和标量保持相同变换规律的张量，或者说它们的 Hodge 对偶。在三维空间，所有反对称张量必须是 标量，矢量，赝矢量，赝标量 的一种。 在四 ... 我记得张量密度是赝张量。此外，Levi-Civita符号是一个反对称赝张量。四维时空中，任何一个n≤4阶的反对称张量，对应一个(4-n)阶赝张量。
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17# 大 中 小 发表于 2008-3-18 05:02 只看该作者 回复 16# 的帖子
什么叫赝张量？
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18# 大 中 小 发表于 2008-3-18 09:04 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-18 05:02 发表
什么叫赝张量？ 在有些坐标变换下，赝张量的变换规律跟一般张量之间相差一个负号。比如奇数个赝矢量的张量积构成的？
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dfj 新手上路



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19# 大 中 小 发表于 2008-3-18 11:32 只看该作者 赝张量就是张量密度?
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20# 大 中 小 发表于 2008-3-18 16:59 只看该作者 引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 22:44 发表
在这种解释下，赝矢量必须是 2－形式。那么三维空间中的反对称张量对应什么？我觉得这个才是2－形式。当然，反对称张量与赝矢量是一一对应的。
引用:
原帖由 季候风 于 2008-3-17 23:13 发表
在三维空间，所有反对称张量必须是 标量，矢量，赝矢量，赝标量 的一种。这句话让我想起了矩阵的性质：由矩阵可以构成16个线性无关的矩阵，它们是（一个），（四个），（六个），或（四个），或（一个）。
引用:
原帖由 星空浩淼 于 2008-3-18 00:40 发表
我记得张量密度是赝张量。此外，Levi-Civita符号是一个反对称赝张量。四维时空中，任何一个n≤4阶的反对称张量，对应一个(4-n)阶赝张量。 是的，我也记得如此。看来我们具有相同的背景。
引用:
原帖由 dfj 于 2008-3-18 11:32 发表
赝张量就是张量密度? 好像如此。手头没资料，有点忘了。可能应该说关系非常密切。下面是wiki的一句话：
张量场也可有一个"密度"。密度为的张量和普通张量一样坐标变换，但是它还要乘以雅戈比矩阵的行列式值的次幂。这个的最佳解释可能是使用向量丛: 其中，切丛的行列式丛是一个线丛，可以用来'扭转'其它丛次。
见：http://www.wiki.cn/wiki/%E5%BC%A0%E9%87%8F