平面电磁场只依赖于矢势A的横向分量,还剩下一些规范变换自由度

还剩下一些规范变换自由度, risk factors!

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第五章
电磁波的辐射






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电磁波是由运动电荷辐射出来的。本章研究高频交变电流辐射电磁波的规律。例如：无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射出来的。






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严格来说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过；来作用到天线电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上也是一个边值问题。






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天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面，需要应用天线表面上的边界条件，同时确定空间中的电磁波的形式和天线上的电流分布。


这种问题的求解一般比较复杂。仅局限于讨论：给定天线上电流分布,计算辐射电磁波






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主要内容


把势的概念并推广到一般变化电磁场


通过势求解电磁辐射


高频交变电流辐射电磁波的规律






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§5.1 电磁场的矢势和标势






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考虑真空中的电磁场，麦克斯韦方程组


其中


1. 势的引入






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由B的无源性引入矢势A


一般情况下，仍然保持无源性，所以上式是普遍成立的。


A的物理意义：在任意时刻，A沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量。


恒定场：






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一般的情况下，电场E既受到电荷的激发，也受到变化磁场的激发，而变化磁场激发的是有旋的电场。


因此，一般情况电场是有源和有旋的，不可能用一个单独的标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，则电场的表示式必然包含矢势A在内。






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上式表明矢量E+A/t是无旋场，因此可以用标势描述，


一般情况下电场的表示式为






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此两式把电磁场用矢势和标势表示出来。注意现在的电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势失去作为电场中的势能的意义。因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。在变化场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。






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2. 规范变换和规范不变性


用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的，即给定的E和B并不对应于唯一的A和。


对矢势A可以加上一个任意函数的梯度，结果不影响B，而这加在A上的梯度部分又可以从中除去，结果也不影响B。设为任意时空函数，做变换






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有


描述同一电磁场


一种规范


势的规范变换






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在经典电动力学中，由于表示电磁场客观属性的可测量的物理量为E和B，而不同规范又对应着同一的E和B，因此如果用势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。


规范不变性:当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变的一种不变性。






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在量子力学中，E和B不能完全描述电磁场的所有物理效应。例如在A-B效应中，在非单连通区域内绕闭合路径一周的电子波函数相位差，就由回路积分描述，它不能用B的局域作用来描述。






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但是，此回路积分仍然是规范不变的。因为对A做规范变换后


表明在量子力学中，所有可测量的物理量仍然保持规范不变性。






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在经典电动力学中，势A和的引入是作为描述电磁场的一种方法，规范不变性是对这种描述方法所加的要求。


在近代物理中，规范变换是由量子力学的基本原理引入的，规范不变性是一条重要的物理原理。






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在量子力学中A和的地位也比在经典电动力学中重要得多。因此要熟悉用势描述电磁场的方法。






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现在已经清楚，不仅在电磁相互作用中，而且在其他基本相互作用，包括弱相互作用和强相互作用中，规范不变性是决定相互作用形式的一条基本原理。


传递这些相互作用的场称为规范场


电磁场是最熟知的一种规范场






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从数学上来说，规范变换自由度的存在是由于在势的定义式中，只给出A的旋度，而没有给出A的散度。


因此，还不足以确定这矢量场。为了确定它还必须给定它的散度。






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电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。因此，作为确定势的辅助条件，我们可以取A为任意的值。






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每一种选择对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。从计算方便考虑，在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广泛的是以下两种规范条件。


(1) 库仑规范


(2) 洛伦兹规范






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(1) 库仑规范


辅助条件


A为无源场


无源场(横场)--感应电场


无旋场(纵场)--库仑场






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这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中是特别方便的


(2) 洛伦兹规范


辅助条件


采用这种规范时,势的基本方程化为特别简单的对称形式,对其物理意义也特别明显。






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3. 达朗贝尔(d’Alembert)方程


由麦克斯韦方程组推导A和所满足的基本方程






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应用


这是适用一般规范的方程组。






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(1) 采用库仑规范


这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同，其解是库仑势。解出后代入第一式可解出A，因而可以确定辐射电磁场。






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(2) 采用洛伦兹规范


达朗贝尔方程


非齐次的波动方程


电荷产生标势波动


电流产生矢势波动






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离开电荷电流分布区域以后，矢势和标势都以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场E和B也以波动形式在空间中传播。当然E和B的波动性质是和规范无关的。






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在洛伦兹规范下，方程连同辅助条件（洛伦兹条件式）是用势表述的电动力学基本方程组。求得势的基本解后，电磁场E和B由势定义给出。






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例 求平面电磁波的势


从下例可以看出这两种规范各自的优点。


平面电磁波在没有电荷电流分布的空间中传播，因而势的方程变为波动方程，其平面波解为


解






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对A和加上洛伦兹条件得






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因此，只要给定矢量A0，就可以确定平面电磁波。场强E和B为


和第四章§1结果一致。






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注意：平面电磁场只依赖于矢势A的横向分量，对A加上任意纵向部分 k（同时对加上0，为任意常数）都不影响 电磁场值。这说明在平面波情形，即使加上洛伦兹条件后，A和仍然不是唯一确定的，还剩下一些规范变换自由度。最简单的选择是取A只有横向部分，k·A=0则=0。用这规范时有






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如果我们采用库仑规范，势的方程在自由空间中变为


平面波解为


当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势=0






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库仑条件保证A只有横向分量






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(1)库仑规范的优点: 它的标势描述库仑作用，可直接由电荷分布求出;它的矢势只有横向分量，刚好足够描述电磁波的两种独立偏振。






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(2)洛伦兹规范的最大优点是它使矢势和标势的方程具有对称性，在相对论中显示出协变性，因而对于理论探讨和实际计算都提供很大的方便，本书后面都采用洛伦兹规范，尽管在采用洛伦兹规范时，A的纵向部分和标势的选择还可以有任意性。