两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值 ,或者说，它们不能有共同本征函数

即，两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值 ,或者说，它们不能有共同本征函数。

有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和 对易的其它力学量 。如果 的共同的本征函数仍然有简并，则必定还存在独立于 而又和 对易的其它力学量 ， 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：
一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。请大家将一维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对照一下。（注意：完全集中力学量的数目一般 体系的自由度）


2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同的本征函数。

2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符 和 有一个共同的本征函数 ，则必有 及 ，即在 态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么


力学量算符之间的对易关系
讨论微观态 中某一力学量 时，总是以 的本征质谱作为力学量 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同力学量 ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有：
一个关系：力学量算符之间的对易关系
三个定理
1 算符之间的对易关系
1.1 算符的基本运算关系
（1）算符之和：算符 与 之和 定义为
（1）
为任意函数。一般 ，例如粒子的哈密顿算符 是动能算符 与势能算符 之和。
（2）算符之积：算符 与 之积定义为
（2）
显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即 常记为
（3）
个相同算符 的积定义为算符 的 次幂

例如 ，则 ， 。
为了运算上的方便，引入量子括号
（5）
若 （6）
称算符 与 是不对易的（不能交换位置），即 。
若 （7）
称算符 与 是对易的，即 。
下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。

1.2 坐标算符与动量算符的对易关系
坐标算符是乘数因子，相互对易
（12）
动量算符是微分算符，因为 ，则
（13）
坐标算符与动量算符：设 为任意函数

比较后可得 ，即
（14a）
但是 （14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为
(14c)
其中
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。
1.3 角动量算符的对易关系


(15)
只证明其中一个，请注意证明方法

记忆方法：从左至右以 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
（16）
另外有 （17）
（18）
1.4 几个重要的推论（请大家自行导出）

（19）
（20）
（3）球坐标下 是 的函数，若有径向函数算符 ，则
（21）
（22）
2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符 和 有一个共同的本征函数 ，则必有 及 ，即在 态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么

这似乎提醒我们有 ，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ），如果 和 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
（23）
有 则
（24）
这时才说 和 是对易的。这个结论可以推广到多个算符，即
如果一组算符有共同的本征函数完备系 ，则这组算符对易
例如， ， ，即 在 态中同时有确定值 及 ，所以 是 的共同的本征函数，并且是完备的，所以 。
2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同的本征函数。
这里仅就非简并本征函数系加以证明。
若算符 和 相互对易，对于 的本征函数 ，有
（25）
而 （26）
可见 也是算符 的属于本征值 的本征函数。已经假定 非简并，所以对应 的两个本征函数 和 最多只能相差一个常数，所
（27）
可见， 同时也是 的属于本征值 的本征函数。同理，对 的其它本征函数也有此结论。所以， 和 有组成完备系的共同的本征函数。
例如，角动量算符 ，所以它们有组成完备系的共同的本征函数 ，在 态中，力学量 同时有确定值 及 。
氢原子哈密顿算符
（28）
所以， 对易，它们有组成完备系的共同的本征函数 ，在该台中三者同时有确定值： 。
请问： 有组成完备系的共同的本征函数吗？ 与 及 呢？
2.3 力学量完全集
有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和 对易的其它力学量 。如果 的共同的本征函数仍然有简并，则必定还存在独立于 而又和 对易的其它力学量 ， 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：
一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。请大家将一维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对照一下。（注意：完全集中力学量的数目一般 体系的自由度）
例题一 任意态 ，求 态中 的可能值、概率及 。
解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成，列表对应求解：





















解法二 由 得 由 正交归一性得


例题二 在对某一状态进行测量时，同时得到能量 ，能唯一确定这一状态吗？
解：能。因为三个力学量对易， 故共同本征态为

例题三 求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均值 。
解：首先应注意， 是 的共同本征函数，而 不对易，故 不是 的本征函数。利用对易关系 ，则


同理
由于坐标 与 的对称性，可得 ，故

3 不确定关系
若算符 和 不对易时，常记为
（29）
是一个力学量算符或普通的数。首先定义
（30）
所以 （31）
注意， 仍为厄米算符，若巧妙设计积分
（32）
利用 的厄米性，可推出
（33）
最后得出不确定关系
（34）
这一关系有时也表为
（35）
即，两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值 ,或者说，它们不能有共同本征函数。
对不确定关系，应着重掌握其物理意义，例如 ，所以
或 （36）
可见，若动量确定， ；则 ，即位置 完全不确定。试想，动量为 的自由粒子以波长 的状态（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？反之，根据 函数的性质，坐标本征函数可写为
（37）
即位于 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的不确定范围可参见教材。
例题4 一维运动的粒子处在

求
解：归一化后可得 利用 有


所以



所以
最后得 满足不确定关系
4 运动恒量（守恒量）
4.1 力学量平均值随时间的变化
波函数 描写的状态随时间的变化满足 方程
（38）
而这个状态中力学量的平均值随时加的变化为

利用（38）式及其共轭式，考虑到 的厄米性，可得
（39）
这就是力学量平均值随时间的变化规律。
4.2运动恒量（守恒量）
（39）式中，若算符 不显含时间，则 ，并且有 ，则有
（40）
平均值不随时间变化的力学量，称为运动恒量。或：满足 的不显含时间 的力学量 为体系的运动恒量。请回答：对哈密顿算符 ，下面哪些力学量是运动恒量（守恒量）： 对于 （ 为常数）呢？
4.3守恒量的特点
守恒量具有如下特点，即体系在任何状态下：
（1）其平均值不随时间而变化；（2）其概率分布不随时间而变化。
证明特点（2）：
因为 ，故 具有共同本征函数系 ，任何状态都可表为
（41）
式中 即为守恒量 在 态中的概率，且概率分布函数
（42）
所以 （43）
故有 （44）
其中 为 时力学量的概率分布函，所以
（45）
即守恒量 的测量概率与时间无关，即概率分布不随时间而变化。
根据以上两点，你能判断 时，守恒量 具有确定值 ，以后任意时刻体系处于什么状态？
4.4 宇称守恒
4.4.1 宇称算符
（46）
即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 ，它是厄米算符，它的本征值只有 ，即 。
4.4.2 态函数的宇称
因为
4.4.3 宇称守恒
若体系哈密顿量具有空间反演不变性 则 即 ，亦即 是一个守恒量，或者说 描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。