粒子在势场v(x)中运动并处于束缚定态psi(x)中.证明粒子所受势场作用力平均值为零.

来源: marketreflections 于 2010-04-23 09:28:34 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (6964 bytes)

证明粒子所受势场作用力平均值为零(zz)
来自“繁星客栈吧”。

紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!

粒子在势场v(x)中运动并处于束缚定态psi(x)中.证明粒子所受势场作用力平均值为零.
希望近几天内有人能解答一下
我的思路好像有问题
我想证
==0
然后用公式做了几步,就做不下去了...


作者： lbhphnx 2008-1-11 23:24 　 回复此发言

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2 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
不知道你有没有给出全部信息，我这里给出启示性的回答：
此题要充分利用“束缚定态”这个条件，即波函数的模的平方随距离增加，按照某个规律趋于零。根据求导公式，有：
=
=(d/dx)()-(d)
-(/dx)
注意到，内积对应一个积分，上式右边第一项，求导与积分“抵消”，得到被积函数在正负无穷大的x值上取值，假如这个束缚势v(x)跟距离成反比，则根据束缚态条件，第一项为零。
另一方面，注意到共轭转置（在任何具体表示中是这样），假如它们一个含有因子exp(-ikx)，则另一个含有因子
exp(ikx),对x求导之后析出因子-ik和ik,于是上式右边第二项和第三项在完成求导运算之后，成为两个相差一个负号的相同内积，结果抵消。
最后，上式右边等于零，结果为零。


作者： 星空好妙 2008-1-12 12:13 　 回复此发言

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3 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
题目什么意思？
x表示什么？空间坐标还是时间？
如果是空间坐标，dv(x)/dx 是什么东西？速度梯度？可题目说的是势场作用力啊？

我觉得，仿照经典力学，粒子受力等于动量的时间导数，那么题目就相当于说动量的平均值的时间变化率为零；由于动量不显含时间，这也就相当于要求动量和哈密顿量的对易子的平均值为零。而对于束缚定态这是显然的。

dfj


作者： 159.226.71.* 2008-1-12 17:38 　 回复此发言

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4 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
不好意思，我把 v 理解成了速度，其实是势场。
不过后面的好像没说错。

dfj


作者： 159.226.71.* 2008-1-12 17:41 　 回复此发言

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5 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
呵呵,太感谢了,刚才那道题是中科院考研题,给出了全部信息我还以为要等好几天呢.我是一个量子力学自学者,一个为真理奋斗的大学生.周围没人可以帮忙,我们大学连个正规物理系都没有.遇到不会的一般就卡死了.
真是救命于水火之中呀^^


作者： lbhphnx 2008-1-12 23:07 　 回复此发言

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6 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
自学可以同时多参考几本不同人写的不同风格的教材，相互对照起来学习，效果会更好。


作者： 星空好妙 2008-1-12 23:41 　 回复此发言

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7 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
我又下去算了算,就算在定态下,动量和哈密顿量也不一定对易哦.
因为v(x)一般不和p对易.看来问题还没解决T.T
ps:题目是中科院2007年的题,真的没有其他条件


作者： lbhphnx 2008-1-13 00:02 　 回复此发言

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8 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
我看费曼物理讲义+曾谨言的量子力学教程+周汝铿的书,学了一个月吧.
以前都是看科普,现在终于走进真正的科学啦,感觉很棒,尤其是希尔伯特空间的概念,把函数看作点,开始太让我震撼了,就像第一次看到哥德尔定理一样


作者： lbhphnx 2008-1-13 00:07 　 回复此发言

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9 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
这个题给的条件很少，只给出形式上的东西，这可能意味着证明只能用最一般的数学形式配合基本物理概念的定义进行。因此恐怕不能利用动量和哈密顿量之间的对易关系来进行证明。当然本题是证明平均作用力为零，因此为零的也是动量和哈密顿量之间的对易子的平均值为零，而不是对易子直接为零，虽然它包含对易子直接为零这一特例。

这种题，物理专业本科高年级学生或刚通过考研的学生最擅长。看其他网友是否有更好的解答。

这里的人以后都到繁星客栈那里去了，因此你最好能够在那里注册。国内张永德的量子力学书也不错。


作者： 星空好妙 2008-1-13 02:11 　 回复此发言

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10 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
我再试图给出一个解答提示：

这道题可能属于广义Virial定理（或超Virial定理）。该定理是说：在厄米算子H的的分立谱本征态φ_n (n=0,1,2...)下，c=[H,P]的平均值为零。其中P是任意的算符，但要求Pφ_n能保证H的厄米性。

对于本题而言，H取为哈密顿算符，P取为动量。对于束缚定态psi(x)，它应该对应哈密顿算符的分立谱本征态φ_n (n=0,1,2...)，于是根据超Virial定理可证。但是证明中最好把超Virial定理的证明过程重复一遍。

另一方面，把H写成动能T与势能v(x)之和：H=T+v(x)
对于动量算符P，我们有[P,F]=-ih(dF/dx),h代表普朗克常数除以2Pi
因此力dv(x)/dx=(i/h)[P,H]
而上面根据超Virial定理，[P,H]的平均值为零，因此平均力dv(x)/dx为零。


作者： 星空好妙 2008-1-13 13:25 　 回复此发言

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11 回复：紧急求助一个量子力学问题,希望有时间的人帮忙看看!
星空兄，如果对易子的对任意束缚态平均值为0，这个确实叫做广义virial定理么？我怎么觉得这个跟virial没啥关系呢？虽然用Heisenberg运动方程证明virial定理的时候会用到这个东西。

= - = En-En = 0

现在新的繁星客栈已经开张了么？

我有一个建议，李淼老师的blog还有那个格致，都可以输入tex公式，新的客栈能否建立在这种能够提供tex的地方？

作者： 122.167.201.*
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星空浩淼 超级版主



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2# 大 中 小 发表于 2008-7-4 00:11 只看该作者 记得新客栈刚刚举办不久时，这些帖子已经转过来了
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blackhole 超级版主



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3# 大 中 小 发表于 2008-7-4 00:16 只看该作者 啊？？？

查了一下，果真有。但现在剩的这三个还没转过吧？

[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-7-4 00:26 编辑 ]
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4# 大 中 小 发表于 2008-7-4 16:17 只看该作者 艾伦费斯特定理。。

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