在经典力学中，为了确定系统的状态，所需的力学量的数目等于系统自由度的两倍

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可对易性。不可对易性是量子力学中的力学量（算符）区别与经典力学中的力学量（普通的 .... 原则上只有可观测量才可以进入物理学，不可观测量在物理学中是没有意 ...
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浅谈量子力学与经典物理的差别
朱宏生
（华中师范大学物理学院06基地班，武汉，430079）
摘要：简要谈谈量子力学与经典物理在物理量的描述方法、态的叠加原理以及在概率的概念方面的差别。
关键词：量子力学 经典物理学 态的叠加原理 波粒二象性 波函数（概率幅） 概率 薛定谔的猫
对于刚学量子力学的初学者来说，很容易进入一些误区，把经典的思想带入量子力学的学习中，这些将给我们带来一些问题，这就些都是由于我们不能去分量子的与经典的的区别产生的！量子力学的全部基本都不是经典力学原理的推广或者改良；因为两者是在截然不同的两种概念基础上建立起来的。在这个意义上，量子力学是完全独立与古老的经典物理的、崭新的一门动力学理论。这也就意味着量子力学与经典物理学有着本质的差异，就下来就从几个方面浅谈一下其中的差别。
1．描述物理量的方法的差别
微观粒子的力学量一般说来不具有确定值，两个力学量一般说来不能同时又确定值，这是量子力学与经典力学相区别的特点，是微观粒子波粒二象性的体现，即力学量的算符的不可对易性。不可对易性是量子力学中的力学量（算符）区别与经典力学中的力学量（普通的数）的根本性质。如果一组力学量的算符时相互对易的，即对于一个给定的系统，能同时测量这一组独立力学量的值可以用来标志系统的状态，那么称这一组能完全标志系统状态的独立力学量的完全组，而且完全组中力学量的数目等于系统的自由度数。然而在经典力学中，为了确定系统的状态，所需的力学量的数目等于系统自由度的两倍。例如,为确定一个自由运动粒子的状态需给定初始时刻的(),1,2,iixpi= 3。其原因是，经典力学运动方程对时间时二阶微分方程，而量子力学运动方程对时间时一阶的，见下式： 22drFmamt==rurr 222itmψ U ψψ∂=−∇+∂hh （1）
2．有态的叠加原理引起的差别
量子力学中态的叠加原理的实质是说：在量子力学中使用作为概率幅的波函数描述一个物理系统的状态，即量子力学的第一个基本假设。这就是说态的叠加原理（第二个基本假设）与第一个基本假设是自洽的。
态的叠加原理一开始就揭示了量子力学的理论框架与经典物理的不同。即是说，量子力学中满足基本运动方程（薛定谔方程）的不是像在经典物理学中那样的各种物理量，而是本身并非物理量的概率幅（波函数）。而且经典物理学与量子力学的基本运动方程在形式上也稍有差别。例如，在经典物理学中，有源电磁场的方程是非齐次的，只有自由传播的电磁场才满足齐次微分方程（麦克斯韦方程组），见下式。 00BDEHtDB∂∂∇×=−∇×=∂∇=∇=urururuururur􀀀􀀀
∂t （2）
然而，在常规的量子力学中，作为概率幅的波函数所满足的基本运动方程（薛定谔方程见（2）式）总是齐次的线性微分方程。态的叠加原理表述在某种意义上可以说是“薛定谔方程是线性方程”这句话的物理诠释和直接结论。
费曼认为，量子力学里最基本概念就是用波函数描述的概率幅，最基本的规律就是概率幅的叠加，正是这一规则造成量子力学同经典物理学的原则性区别。他说过：“没有人能够给出比我说过的更深一步的解释。”费曼还认为：电子等微观对象的行为“不像你从前看过的任何东西”。一定要找一些过去已经熟悉的东西来做类比，才能够理解新的自然规律。这种意愿实际不过是一种“心理上的障碍”。费曼就这样从根本上否定了这样那样的、特别是用经典物理学概念对量子力学原理做出“解释”和“说明”的必要性。量子力学建立之初，在它的创造人们手里熟练掌握的，只有经典物理学的理论，他们免不了要使用经典的概念去解释量子力学。在那个时候提出的所谓“波粒二象性”，就是企图用经典物理学的波动和微粒的概念去描写电子等微观对象的一种观念。可是，电子毕竟不是经典物理学的波动，也不是经典物理学的微粒。
所以在学习量子力学的时候要完全的抛开经典的理论，去接受和理解量子力学。
3．从“薛定谔的猫”看概率概念在量子力学与经典物理学中的区别
经典物理学是决定论的，服从因果律的，原则上不存在概率的问题。在经典力学中，当单个客体的初始条件和外界影响确定后，其状态的运动变化时唯一的。之所以有可能存在某种不确定性，例如掷骰子时出现的那种情况，被理解未初始条件和外部影响太复杂，存在某些随机因素，难以被完全确定所致。如果量子力学波函数的概率解释，其性质也与此相同，那就没有可以争论的了。爱因斯坦有一句常被他人应用的名言“我不相信上帝在掷骰子”，以此来说明爱因斯坦反对量子力学波函数的概率解释。
如果说爱因斯坦用“不相信上帝在掷骰子”批驳波函数的概率解释，不足说明经典的和量子的概率论的区别外，那么1935年薛定谔提出的后来被称为“薛定谔的猫”的理想实验就比较通俗的说明了两者之间的区别了。“薛定谔的猫”的理想实验大意如下。把一只猫关进铁箱子，里面在猫够不到的地方放一小瓶氰酸钾，小瓶盖好。向内还安装了如下的机关（如下图所示）。在盖革计数管内放入极少量的镭，其量掌握在一个小时仅有一个镭原子放一个α粒子的程度。当α粒子射出来的时候，将引起计数管放电，经过放大，使小锤动作而把氰酸钾的小瓶打碎，于是猫就死了。现在用1ψ描述猫活着的状态，用2ψ描述毛死亡的状态。假定镭放射出α粒子在的概率为，没有22cα粒子的概率为。如果按经典的回答：猫死亡的概率是，活着的概率为，则经典和量子没有分歧。但如果再进一步细问：在开启这个机关一个小时，而未打开箱子前，箱子内的猫究竟是活着，还是已死，或者半死半活？经典和量子的回答就不一样了。经典的回答时：猫的死活已经确定，其状态不是21c22c21c1ψ就是2ψ，两者必居其一，相互排斥，不可能再有第三种状态。量子力学的回答是：在箱子未打开前，猫的状态既非1ψ也非2ψ，而是又死又活的状态，其波函数为1122ccψψψ=+。量子力学并不回答量子客体的实在究竟如何，而只回答我们关于实在能做哪些陈述。由于现行的量子力学是完备的描述；既然箱子打开后猫活着还是已死的概率分别和。那么其波函数也只能是21c22c1122ccψψψ=+。量子力学是以假设为前提的，在“薛定谔的猫”的实验中，有三个
态、两次跃迁。在开关打开前，猫处于定态1ψ；在机关打开后，猫的状态从1ψ跃迁到1122ccψψψ=+；箱子打开后，猫的状态又发生一次跃迁，即可能有的概率跃迁到21c1ψ，也有可能有的概率跃迁到22c2ψ。这种定态跃迁是没有时空过程可言的。
从“薛定谔的猫”这个例子中可以看出，经典物理学中的概率和量子力学中的概率，在概念上是有所区别的。这种区别最突出之处有两点：
第一， 经典物理学是信奉因果律的，观测结果的概率性是有原因的，这种原因既可能来自人们还未认识到的客体自身的性质，也可能来自外界复杂的影响。如果原因完全确定了，那么结果是唯一的，不会出现概率性，所以经典物理学是从原因出发看结果的。之所以在某些场合要引进概率的概念，是因为太复杂，还未能完全弄清楚，不得已而为之退而求其次的辅助方法。量子力学则相反，它是从对客体观测的结果来看问题的。机关打开后，打开箱子看猫的死活，最终结果是死活的概率非别是和。因为要坚持波函数的概率解释，在箱子打开前，何用其他方法观测结果看概率问题的。原则上只有可观测量才可以进入物理学，不可观测量在物理学中是没有意义的，电子在原子中运动，它的位置，绕转频率都不是可观测量，只有电子所吸收和辐射的能量本征状态。旧量子论试图从原子中电子运动的牛顿力学图像来回答电子的位置、动量、角频率等来说明原子吸收和辐射能量的因果关系，已被证明是不可能的，所以量子力学的任务只是给出客观测量之间的关系，而不回答为什么是这样的问题。 21c22c
第二， 量子力学波函数的概率解释是和定态跃迁假设是自洽的。经典物理学服从因果律，
这一刻的结果就是下一刻的原因，因此，客体运动状态的变化原则上总是突然显现的。这就是波尔在1913年提出的氢原子理论定跃迁假设。两者相互呼应，互为依靠。
综上所述，波尔的定态跃迁假设，海森堡的不可观测思想。波恩的波函数的概率解释，三者结合起来，才使现行的量子力学有了比较完整坚实的物理基础。对量子力学波函数的概率解释，只有将它与波尔的定态跃迁假设和海森堡的不可观测思想联合起来，才能比较正确的区别量子力学的概率概念与经典物理中的概率概念之间的区别。
结论：量子力学与经典物理学的一些区别
量子力学
经典物理学
研究对象
微观现象
宏观现象
动力学方程
薛定谔方程：ˆitHψψ∂=∂h
牛顿方程：22drFmamdt==rrr
状态的描述
用波函数ψ
概率的（不确定的）
态的叠加原理
用r , prr
因果律（确定论的）
研究问题
只关心理论给出的预言能否与实验吻合
得出的结果的原因
由于有这些不同点，我们在学习量子力学的时候，就要放下经典的那一套理论去学习量子力学。
参考文献：
[1] 刘连寿 理论物理基础教程 高等教育出版社 2003
[2] 片山泰久 量子力学的世界 陈永华 刘宇钧 译 科学出版社 1983
[3] 关洪 谈量子力学里的动量算符 大学物理 1999年4月 18卷4期
[4] 关洪 对20世纪物理学理论两大变革的反思 2002年2月19卷1期
[5] 关洪 关于量子力学中态的叠加原理的讨论 大学物理 2007年26卷1期
[6] 金尚年 量子力学的物理基础和哲学背景 复旦大学出版社 2007
[7] 戴维·林德利 董红飚 译 董光壁 校 吉林大学出版社 1988
[8] 戴维斯和布朗合编 易心洁 译 洪定国 校 湖南科学技术出版社 1992