角动量守恒 对于保守力，势能函数对坐标的微商的负值就是力，而相应的，如果势能是与角度有关的，那么对角度微商的负值就等于力矩

力的大小：对势能（回归均值的保守场趋向）的抵抗的大小

breaking out, above or below trend line, measuring momementum

角动量守恒
http://staff.ustc.edu.cn/~phj/Classical_Mechanics/2_7.pdf

角动量守恒
现在我们来讨论物体的转动。有关转动的运动学我们在第一章已经了解得很清楚了，有趣的是，你发现在转动和线性运动之间几乎每一个量都是相互对应的。譬如，就象我们讨论位置和速度那样，在转动中可以讨论角位置和角速度。速度说明物体运动得多快，而角速度则反映了物体转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快，角度变化也越快。再继续下去，我们可以把角速度对时间微分，并称2ddtddtαω==Φ
􀁋􀁋􀁋为角加速度，它与通常的加速度相对应。
当然，转动只是一种形式稍微特殊一点的运动，其动力学方程也就无外乎Newton定律了。当然，由于这种运动只涉及转动，因此，我们也许可以找到一些更加适合描述转动的物理量以及相应的作为Newton第二定律推论的动力学方。为了将该转动动力学和构成物体的质点动力学规律联系起来，我们首先就应当求出，当角速度为某一值时，某一特定质点是如何运动的。这一点我们也是已经知道了的：假如粒子是以一个给定的角速度ω
􀁋转动，我们发现它的速度为
vω=×􀁋􀁋􀁋 (1)
接下来，为了继续研究转动动力学，就必须引进一个类似于力的新的概念。我们要考察一下是否能够找到某个量，它对转动的关系就象力对线性运动的关系那样，我们称它为转矩(转矩的英文名称torque这个字起源于拉丁文torquere，即扭转的意思)。力是线性运动变化所必须的，而要使某一物体的转动发生变化就需要有一个“旋转力”或“扭转力”，即转矩。定性地说，转矩就是“扭转’；但定量地说，转矩又应该是什么呢？因为定义力的一个最好的办法是看在力作用下通过某一给定的位移时，它做了多少功，所以通过研究转动一个物体时做了多少功就能定量地得出转矩的理论。为了保持线性运动和转动的各个量之间的对应关系，我们让在力作用下物体转过一个微小距离时所做的功等于转矩与物体转过的角度的乘积。换句话说，我们是这样来定义转矩，使得功的定理对两者完全相同：力乘位移是功，转矩乘角位移也是功。这就告诉了我们转矩是什么。如果粒子的位矢转过一个很小的角度，它做了多少功呢？这很容易。所做的功是 第 1 页，共 8 页
()()WFdrFdrrFd=⋅=⋅Φ×=×⋅Φ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋
d (2)
这就是说，所做的功的大小实际上等于物体转过的角位移乘上力和距离的某种组合（矢量积）。这个矢量积正是我们所说的转矩，即
, Wdrττ=⋅Φ≡×􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋d (3)
由于功定义为转矩乘角位移，所以我们就得出了用力表示的转矩公式。(显然，转矩并不是一个与牛顿力学完全无关的新的概念，转矩必须有一个明确的借助于力的定义。)
必须强调指出，转矩是相对于某一给定原点而言的。假如选取不同的原点，则r就改变了，转矩的值以及它的方向(一般说来)也要改变。 􀁋
根据矢量积的一般性质，转矩的方向由从r􀁋到F􀁋的右手螺旋确定，而转矩的大小你既可以用代数的方法由其三个分量iijkjkxFτε=的平方相加后再取开方得到，也可以利用几何的方法得到：它就是由r􀁋和F􀁋构成的平行四边形的面积，因此
sinrFrFτθ=×=􀁋􀁋 (4)
在物理上，对于最后一个公式可以给出两个解释。如果你把sinθ与组合在一起，那就是说，转矩也等于力的切向分量(垂直于位矢)和径向距离的乘积。根据转矩的一般概念就能了解，假如力完全是径向的，它就不能使物体“扭转”，而如果力完全是切向的，那么物体就只能转动，；很明显，扭转效应仅与不是把它从中心拉出来的那部分力有关，这部分力就是切向分量。 FF
如果你把式(4)右边的sinθ与组合在一起，这个量正是假如我们延长力的作用线，并画一条与力的作用线垂直的直线段OQ (即力臂)的长度，因此，转矩也可以写成力的大小乘力臂的长度，力臂越长，扭转的效应就越显著，当然，如果这个力正好作用在原点上，根本不会发生扭转。 rOθ F􀁋r􀁋 rF􀁋 tF􀁋 P Q θ 图1
第 2 页，共 8 页
转矩通常也叫力矩。在数学上“矩”(moment)的意思是用离开原点的距离多少来加以权重。值得指出的是，由公式(3)给出的功仅仅在物体只作转动或者说力只有切向分量的情况下才是正确的，如果力还有径向分量，那么在功的表达式中就应该把这部分力的贡献也包含进去。也就是说，在一般情况下，当物体移动一个小的位移dr时，力所做的功等于 􀁋
()(ˆˆˆˆˆ rFdrFdrrFrdrrFdrFrdrrFdrFdrdτ⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅Φ×=+⋅Φ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (5)
第二项正是是力的切向分量所做的功，而第一项则是力的径向分量所贡献的功。
值得指出的另一点是，对于保守力，势能函数对坐标的微商的负值就是力，而相应的，如果势能是与角度有关的，那么对角度微商的负值就等于力矩。举个简单的例子最容易明白。譬如重力势能
()Urmgr=−⋅􀁋􀁋􀁋 (6)
在迪卡尔坐标系下，它就是
()2Urmgx=+􀁋 (7)
因此
12130, UUFFxx∂∂=−==−=−∂∂ (8)
最后一个等式中的符号表示力与2x增加的方向（2ˆx）相反，即是竖直向下的。现在我们利用极坐标系将势能表示为
()sinUrmgrθ=+􀁋 (9)
那么
sinrUFmgrθ∂=−=−∂ (10)
正是径向方向上力的分量ˆrFF=⋅􀁋，符号表示它与坐标增加的方向（即径向）相反；而 rˆr
第 3 页，共 8 页
cossin2Umgrmgrπτθθθ∂⎛⎞=−=−=−+⎜∂⎝⎠ (11)
则是重力相对于原点的力矩，符号表示它与θ增加的方向相反（是指向纸面内侧的），即这个力矩的效果是使得θ么势能对该坐标的偏导数就具有力的含义；而如果坐标具有角度的量纲，势能对该坐标的偏导数就具有力矩的含义。在这里，我们再一次看到了线性运动与转动之间的对应关系。实际上，在分析力学中，无论角度坐标还是长度坐标，它们都统一被称为广义坐标，而力和力矩则被称为广义力，广义坐标和广义力是配对的，其法则就是广义力乘广义坐标的变化等于功！ 1x2xθOr􀁋mg􀁋 2πθ+
实际上，我们还可以证明一个非常值得注意的定理：就像力是粒子动量p
􀁋的变L􀁋考虑一个质量为m的质点和一个选定的原
OO面上运动，它可以象行星绕太阳一样沿一个椭圆运动，或者沿某个其他曲线运动。反正它在运动，而且有力作用在上面，并且按照通常的公式，即力等于质量乘加速度。但是我们再来看一下力矩是什么呢？力矩等于rF×􀁋􀁋，而力是动量的变化率： dprFrdtτ=×=×􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋
()rp×􀁋􀁋的微商： 第 4 页，共 8 页
()ddrrppdtdt×=×􀁋􀁋􀁋􀁋dpdprrdtdt+×=×􀁋􀁋􀁋􀁋
称其为角动量，并用L
􀁋来表示： Lr
, iijkjk=×􀁋􀁋
L􀁋此，我们发现对于动量也有一个转动的对应量，这就是角动量，它是用线动量的分量来表示的，就象力矩公式是用力的分量来表示的一样！与力矩一样，角动量与所要计算的原点的位置有关。因此就得到，角动量的变化率等于力矩： dL􀁋只要用动量的
分量和径向距离相乘就行了。换句话说，计算角动量并不是看它离开原点有多快，而是看它围绕原点转动有多快。假若只有径向的速度，角动量就为零，粒子将沿着某条直线行进；而如果只有切向的速度，粒子就将只能转动。为了更好的理解角动量对转动的描述，我们举一个简单的例子：考察某个粒子沿着某条直线的运动（速度可以变化）。如果把原点选在运动所在的直线上（如图2a中的O点），那么力矩就是零，因此，角动量将不随时间而变化，实际上它也始终等零，因此我们说相对于这个原点粒子是没有转动的。现在，我把原点选在运动直线外的某一点（如图2b中的O′点），这时候，只要粒子还在运动，角动量就不会为零。按照我们的看法，角动量不为零反映了粒子是相对于O′点在转动着的，但是我们又确实知道粒子是在做直线运动，这该如何理解呢？最直观的看法是，如果你站在O于′点观测粒子，那么你只有不停地转动头部能跟踪上粒Omp􀁋O′m p􀁋 p􀀦⊥
第 5 页，共 8 页
而如果你站在O点，就没必要这样辛苦了。具体来说，由于某一时刻粒子的角动量不为零，它就将有沿着以O′为圆心，以此时刻粒子到O′点的距离为半径的圆转动的趋势，转动的方向取决这一时刻粒子速度的方向或者由角动量方向所确定的右手螺旋的方向），在我们的情形，它有逆时针转动的趋势。但是，别忘了，速度或者说动量在径向上也分量，这个分量意味着粒子有沿着径向远离中心的趋势，而这两种趋势的总的效果是使得粒子沿着图中的那条直线运动。 象力矩有三个公式一样，角动量也有三个公式： 于（
Lrprpp=×==⋅􀁋􀁋动量
现
继续
间有各种各样的相互作用，同时它们还受到外力作用时，会发生什么情况？当然，我们已经知道，相对于任何一个固定原点，作用在第a个粒子上的力矩等于这个粒子的角动量的变化率，假设我们把所有粒子的力矩aτ􀁋相加，并把它们τ􀁋aL􀁋之和的变化率，aL􀁋L􀁋动量之和一样，总角动量是所有各部分的角动量之和。于是总角动量L
􀁋的变化率就是总力矩： aadLdLdtdtττ===ΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋可以看出，总力矩是一个复杂的因素。这里的所有内力和所有外力都必须考虑。
Newton第三定律再一次帮了我们的忙。在上式对力矩的求和中，rf×􀁋总是和rf×􀁋􀁋成对出现的，也就是说，有关内力的部分总可以表示为下面形式的一些量的和： aabb
aabbbaababrfrfrf×+×=×􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋而方向相反、而且沿着同
一直线（两个物体间的连线），也就是说，rab􀁋与abf是共线的，当然这就意味着
第 6 页，共 8 页
式(11)只能等于零。因此，内力矩都成对地抵消掉了。这样，我们得出一个值得注意的定理，相对于任何原点的总角动量的变化率等于相对于该点的外力矩！ adLτττ===Σ􀁋􀁋􀁋􀁋 (19)这十分有用的定理，它使我们
研究整体运动时不需要考虑其内部的详细机制。对于任何物体的集合，这个定理都是适用的。 上述定理的一个极其重要的情况是角动量守恒定律：
对于由很多粒子构成的复杂的体系，质心运动定理和角动量定理反映了在不
前者反映了体系是否在空间有整体的平移，而后者则反映了作为整体体系是否还在空间转动。刚体是一个很特殊的体系，对于刚体，由于构成它的粒子的相对位置是不会改变的，当然它也就不会有内部的运动，因此有关刚体的运动就由以下两个方程所确定： extCMFMR=
􀁋􀁋􀀅􀀅 (20) 确而
dLτ=􀁋 则一点在运动过程中始终保持不动，
那么它就只能绕着这个点转动，这时，仅仅由方程(21)就可以确定其运动了（所谓定点转动）。 第 7 页，共 8 页
由此我们可以
刚体上的所有的力对平动和转动而言都是平衡的，则不仅净力为零，而且总力矩也为零，因为假如一个刚体处于平衡，那么对于微小的位移外力不做功，这样对刚体来说，平衡就有两个条件：力的和是零，转矩的和也是零。 第 8 页，共 8 页