能量守恒

能量守恒

作用于反作用，保守场中心或质心最稳定，因为两边互相作用力最大，而且互相抵消，除非还有外场的力；
内部力在保守场边上，影响更大，粒子数目小，大数定律，不平衡多；反之，粒子数目大，影响互相抵消了

能量守恒
为清楚起见，我们从最简单的实例开始讨论，然后逐步推广到一般的情形。
能量守恒的一个简单例子是一个三维空间中的抛物体运动，物体仅受到垂直方向的重力作用。作抛物线运动的物体具有功能212mv(简写成T)，并且还具有势能mgh (简写成U)。这两种能量的总和是恒量：
21const.2mvmgh+= (1)
或
const.TU+= (2)
现在我们要证明这一表述是正确的。最直接的方法是从牛顿第二定律我们可以很容易说明物体如何运动，而且容易求出速度如何随时间而变化——速度的增加与时间成正比，高度随时间的平方而改变。所以，假若我们以物体静止的那个位置作为零点来测量高度，那么，高度等于速度的平方乘以一些常数就不足为奇了。我们稍微仔细地看一下这个问题。
我们将动能对时间求微商，然后直接从牛顿第二定律求出动能是如何变化的。在三维空间的动能是
21122Tmvmv==􀁋􀁋 (3)
把它对时间求微商，由于假设m是常数，故得：
21122ddmvmvvmvdtdtdt⎛⎞⎛⎞=⋅=⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠􀁋􀁋􀁋􀁋 (4)
这里用到
()ddbababdtdtdt⋅=⋅+⋅􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (5)
但(mdvdt􀁋正是作用在物体上的力F􀁋，于是 第 1 页，共 11 页
dTdrFvFdtdt=⋅=⋅􀁋􀁋􀁋􀁋 (6)
由于动能概念以及一般的能量概念很重要，所以在这些方程式中的一些重要项使用了各种名称。正如我们所知道的那样，212mv称为动能，F称为功率，作用于物体上的力乘以物体的速度(矢量点积)是力传递给物体的功率。这样，我们就有了一个奇妙的定理：一个物体动能的变化率等于作用于该物体的力所消耗的功率。 v⋅􀁋􀁋
然而，为了研究能量守恒，我们打算对它作进一步的分析。让我们估计一下在很短的时间dt内动能的变化。假若在式(6)二边都乘以，我们得到的动能的微小变化等于力“点乘”移动的距离元 dt
dTFdr=⋅􀁋􀁋 (7)
若对其积分，我们得到
21TFdΔ=⋅∫􀁋􀁋 (8)
它的意思是：如果一个物体在力的作用下在某条弯曲的路径上以任何方式运动，则当它沿着此曲线从一点移动到另—点时，动能的变化等于沿着曲线的分力乘以位移元dr的从该点积到另一点的积分。这个积分也有一个名称——叫做作用于物体的力所做的功，因此：一个物体动能的变化等于作用于该物体的力所做的功。我们立即可以看到：功率等于每秒钟所作的功。我们也可以看到：仅仅是力在运动力向的分量对功有贡献。在我们的简单例子中，只有垂直方向的力，且只有单一的分量，它等于。不管物体在这些情况下如何运动，例如沿抛物线下落，总可以把􀁋zFmg−Fdr⋅􀁋􀁋写成xyzFdxFdyFdz++，但除了之外其他都没有了，因为力的其他分量都是零。由此，在我们的简单情况下有 zFdzmgdz=−
(9) (212211zzFdrmgdzmgzz⋅=−=−−∫∫􀁋􀁋
这就意味着方程(1)是成立的，也就是说，对于我们抛物体的特殊例子，动能与势能之和是一个常数，是一个守恒量。 第 2 页，共 11 页
物理上的功用来表示，称为“Fdr⋅∫􀁋􀁋F􀁋点乘dr􀁋的线积分”，它所指的意思是：如果在一个方向上有一个力作用于物体，使得物体在某一方向上发生位移，则只有在位移方向上的分力作了功。假若力是恒力，位移是有限的距离，则运动中恒力在整个距离上所作的功只是沿rΔ􀁋rΔ􀁋方向的分力乘以rΔ。规则是“力乘距离”，而真正的含义是：位移方向上的分力乘rΔ，也可以说成是作用力方向上的位移分量乘以。显然，与位移成直角的力什么功也不做。 F􀁋
一般来说，功这个线积分的数值是与我们沿什么路径积分有关的。但是，自然界中有些力，例如重力，具有非常引人注意的、我们称之为“保守”的性质。如果我们要计算一个力使物体沿曲径从一点运动到另一点时作了多少功，一般这个功依赖于曲径，但在特殊情况下，它与曲径无关。假若它不依赖曲径，那么我们说这个力是保守力。换句话说，在图1中，假若沿曲线Fdr⋅∫􀁋􀁋A计算从位置到位置的力乘距离的积分，再沿曲线计算这一积分，我们得到相同的焦耳数，如果这个结果对这二点之间的每一条曲线的积分都正确，并且无论我们取哪二点这个说法都成立，那么我们就称这个力为保守力。在这种情况下，从1到2的功的积分可以用简单方法计算出来，而且可以用一个式子来表示所得的结果。一般情况下这是不易做到的，因为我们还得指定一条曲线，但当功与曲线无关时，功当然就只取决于1和的位置了。 12B21AB图一
为了说明这个概念，现作如下考虑。我们在任意位置上取一个“标准”点P(见图1)，则我们所要计算的从1到的功的线积分，可看作从1到2P点所作的功再加上从P点到所作的功，因为这里的力是保守力，所作的功与曲线无关。现在，从2P点到空间一个特定点所作的功是那一点的空间位置的函数。当然，它
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实际上也取决于P，但在分析时，我们使任意点P一直固定不变。如果这样做，则从P点到点所作的功就是最终位置的某个函数。它取决于所在的位置；如果到达另外的某一点，我们得到的就是不同的答案。 222
我们称这个位置函数为(),,Uxyz−，并且当我们要提到坐标为(222,,xyz的某个特定点2时就把()222,,Uxyz简写成()2U。从点1到P所作的功也可以写成沿着相反的途经把全部dr􀁋反过来的积分。也就是说，从1到P所作之功是从P到1所作之功的负值：
(10) 111PPPFdrFdrFdr⋅=−⋅=−⋅∫∫∫􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋
这样，从P到1所作的功是()1U−，从P到所作的功是2()2U−。因此，从到的积分等于12()2U−加上()1U−的负值，即()(12UU+−：
()()()()12211, 212PUFdrUFdrFdrUU=−⋅=−⋅⋅=−∫∫∫􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (11)
我们把U称为势能。我们说，当物体处于位置时，它具有势能2()2U，在位置1时，具有势能()1U。如果物体处于位置P，它的势能为零。假如我们用另外一点Q来代替P，结果表明，势能将只会改变一个常量。(这留给读者自己去证明)。由于能量守恒只与“能量的变化”有关，所以，如果我们在势能上再加上一个常量是没有关系的。可见P点可以任意选取。
现在我们有了如下两个命题：(1) 力所作的功等于质点动能的改变。(2) 在数学上，保守力所作的功等于势能函数U的变化的负值。作为这二者的推论，我们得到一个定理：如果只受保守力的作用，则动能T加势能U是一个恒量
constTU+= (12)
根据前面的讨论，粒子在空间任何一点的势能就是从标准点P到该位置力所
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作功的负值
()rPUrFdr=−⋅∫􀁋􀁋􀁋􀁋 (10)
当然这实际上就是这一点与P点的势能差值，如果空间这一点就在P点附近，那么势能差就是
dUFdr=−⋅􀁋􀁋 (10)
这意味着我们可以用势能将力表示出来
UFr∂=−=−∇∂􀁋􀁋 (14)
根据第一章有关梯度算子的讨论，现在我们说一个力如果满足下面任何一个条件，那么它就是保守的：功与路径无关；F􀁋是无旋的，即0F∇×=􀁋；可以表示成某个位置的标量函数的梯度，即(14)式；FdF􀁋r⋅􀁋􀁋可以写成某个仅仅是位置的标量函数的全微分，即FdrdU⋅=−􀁋􀁋。
现在我们来讨论某些场合下的势能公式。
如果有一个均匀的重力场，当我们不涉及可与地球半径相比的高度，那么力是一个沿垂直方向的恒力，所作的功就是力乘以垂直距离。于是
()Uzmgz= (17)
而相当于势能为零的P点刚巧是0z=的平面上的任意一点。如果有必要，我们还可以把势能写成，在分析中，除了在(mgzb−0z=处的势能应该是mgb−之外，其余的所有结果当然都是一样的，情况并不会有什么不同，因为我们要考虑的只是势能之差。对于一般的常数力（大小和方向都不变化），其势能都可以表示为
()UrFr=−⋅􀁋􀁋􀁋 (18)
如果两个相距为r的粒子之间的相互作用满足平方反比律，即(2ˆFrα=􀁋 [对于引力GMmα=−，而对于Coulomb力12kqqα=]，那么相互作用势能就是 第 5 页，共 11 页
()Urrα= (19)
各向同性谐振子的力与偏离平衡位置的位移r􀁋成正比，即Fk=−􀁋􀁋，势能：
()212Uxkr= (21)
在弹簧的平衡位置r处，势能为零。我们也可以加上一个所需要的常数。 0
我们继续讨论势能的特征。我们考虑两个分子成两个原子的相互作用，例如两个氧原子的相互作用。当它们离得很远时，相互之间的作用力是一种引力，此引力与原子间距离的七次方成反比。而当两个原子非常接近时，则具有很大的斥力。假如对距离的七次方的倒数进行积分求所作的功，我们就得出势能U，它是两个氧原子之间径向距离的函数，在距离较大时，势能U按照距离的六次方的倒数而变化。
设我们画一个势能()Ur的曲线图，如图2所示。我们从很大的开始，按r61r来画，如果距离足够近，就到达势能最小点d，rd=处势能最小的意思是：如果从开始移动很小—段距离，所作的功，即移动这段距离时的势能变化，几乎为零，因为在曲线底部势能的变化非常小。这样，在这一点不存在作用力，所以它是一个平衡点。另一个看出它是平衡点的方法是：无论从哪一个方向上离开都要作功。当两个氧原子稳定下来，以致从它们之间的束缚力中不再有能量释放出来时，它们就处于最低能量状态，彼此之间隔开这个距离d。氧分子处于“冷”态时就是这种样子。如果我们对它加热，原子就要发生振动，并且彼此之间更加分开，事实上，我们能够使它们分开，但这样做需要消耗一定数量的功或能量，drd=d
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这些功或能量等于与rd=r=∞之间的势能差。当我们试图使两个原子靠得非常近时，由于它们彼此排斥，其势能增加得非常快。
我们引出势能曲线的原因，是由于力的概念对量子力学来说不太合适，在那里，能量的概念是最自然的。当我们进一步考虑核物质之间以及分子之间等等的更高级的作用力时，我们发现虽然力和速度都“溶化”和消失了，但是能量概念继续存在。因此，在有关量子力学的书中我们看到有势能曲线，但是很少看到两个分子之间作用力的曲线，因为在那时人们是用能量，而不是用力来分析问题。
现在我们接着考虑如果有许多物体时将会产生怎样的更一般的问题。假设我们有一个许多物体的复杂问题，物体用1, 2, 3, a=􀀢来标记，它们彼此互相作用，并且每一粒子还可能受到外部其它物体所施加的力的作用。根据我们前面的结论，所有粒子动能之和（体系的总动能212aaTm=Σ􀁋􀀅）的变化就该等于作用于每一个粒子的每一个所做功的总和，因此
ext,aaabaabdTFdrfdr=⋅+⋅ΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋 (22)
利用Newton第三定律，作用与反作用大小相等而方向相反，即abbaff=−􀁋􀁋，我们可以将上式重新表示为
()ext,1 with 2aaababababaabdTFdrfdrrrr=⋅+⋅=−ΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (23)
在上一节，我们看到，由于Newton第三定律，内部相互作用并不会影响物体整体的运动，但是，在你处理动能变化或者说功的时候，则要非常小心，因为此时，不仅外力要做功，内力也会做功，而且一般来说，所有内力做功的总和并不为零。换言之，仅仅内部的相互作用也会使得体系的总动能发生改变。只有在一些非常特殊的场合，譬如刚体，内力做功的总和才会为零。这是因为，刚体中任何两个粒子的距离是保持不变的，即
const.abababrrrr==−=􀁋􀁋􀁋 (24)
如果矢量其长度在运动过程中保持不变，那么它所能改变的就只有其方向了，abr􀁋
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也就是说，只能转动。而一个矢量转过一个无限的角度时其变化与这个矢量本身是垂直的[你一定还记得第一章的无限小转动公式dGabr􀁋dG=Φ×􀁋􀁋􀁋]。在我们的情形就是说，与是垂直的，当然你也可以由 abdr􀁋abr􀁋
()20abababababdrdrdrrrdtdtdt==⋅=⋅􀁋􀁋􀁋􀁋 (25)
看出这一点。而我们从Newton第三定律又知道abf􀁋沿着两个粒子连线的方向，也就是的方向，因此abr􀁋abf􀁋与abdr􀁋也是垂直的，当然这就说明二者的标量积等于零，换言之，对于刚体，内力是不做功的！而对于一般的力学体系，由于在运动中既有方向的变化，又有长度的变化，因此abr􀁋abdr􀁋与abr􀁋（从而与abf􀁋）一般来说就并不垂直，当然内力作的功也就不会为零。
继续我们前面的讨论。现在如果所有的力都是保守力，也就是说，作用在粒子上的每一个力从一点到另一点作的功都与路径无关，换句话说，每一个力都可以表示为某一个标量函数的梯度，譬如作用在粒子a上的外力
extaaaUFr∂=−∂􀁋􀁋 (26)
再如粒子a和粒子b之间相互作用
, abababbaabUUffrr∂∂=−=−∂∂􀁋􀁋􀁋􀁋 (27)
但是为了满足Newton第三定律，abbaff=−􀁋􀁋，相互作用势能只能是两个粒子间相对位矢abUabr􀁋的函数，即：
()abababUUrr=−􀁋􀁋 (28)
这样，作用与反作用自动大小相等、方向相反
ababbaabUffr∂=−=−∂􀁋􀁋􀁋 (29)
并且作用沿着两粒子的连线 第 8 页，共 11 页
()abababUrrfr∂=−∂􀁋􀁋􀁋 (30)
这里f是某个标量函数。
当我们将方程(23)或(22)中的力用这些势能函数表示时，就变成了
,,1212aaaaaabaaabaabUUdTdrdrrrdUdUdU∂∂=−⋅+−⋅∂∂=−−=−ΣΣΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋 (31)
其中U就是体系总的势能
,12aaabUUU=+ΣΣ (32)
值得指出的是，在势能求和中，有关内力贡献的势能部分有一个因子12，这是因为在求和中对和进行了重复计算，它们表示的含义都是相互作用着的两个粒子的共同的势能，或者说势能是属于粒子对的，而不是属于其中单单某一个粒子（当然，对于，在求和式中应当令abUbaUab=0abU=）。有时为了强调这一点，总的势能我们也经常将其写为
(33) ()pairs aabaaijaaUUUUU 而粒子a受到的力则可以表示为
aabaaUUUFrr∂∂∂=−=−−∂∂∂Σ􀁋􀁋􀁋 (34)
因此，对于内部相互作用和来自外界其他物体的力都是保守力的体系，其总能量——总的动能与总的势能之和——在运动过程是不变的，是一个守恒量，即
()2pairs 1const.2aaabaaijETUmrUU=+=++=ΣΣΣ􀁋􀀅 (35)
我们花了相当多的时间讨论保守力，关于非保守力又是怎样呢？我们对这个问题将采取比通常深入的看法，并将说明不存在非保守力！实际上，自然界所有的基本力都是保守力。这不是牛顿定律所得出的结果。事实上，按照牛顿自己的
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看法，力可以是非保守的，如摩擦力显然就是非保守力。但当我们说到摩擦力显然是非保守力时，我们采用的是现代的观点，即认为粒子之间的最基本的力都是保守力。
例如，如果我们分析一个很大的球状星团，我们从一张这种星团的照片上可以看到有几千个星球彼此相互作用。那么，总势能的式子只不过是一项加另一项等等，对所有各对星球求和，而动能是所有各个星球动能之和。但星团作为一个整体也在空间漂移，假若我们离开它足够远，不能详细观察它，可以把它想象为一个单一的物体。假若对它施加作用力，其中有一部分力最终驱使它作为整体向前运动，我们就看到物体的中心在运动。另一方面，有些力可以说是“消耗”在增加内部“粒子”的动能或势能上。例如，我们假定这些力的作用使整个星团扩张，并且使其中的质点运动得更快。整个体系的总能量实际上是守恒的，但由于我们距离星团实在太远以致不能看出里面运动的混乱情况，并且把整个物体运动的动能看作单一物体的动能，能量就似乎是不守恒了。但这是由于我们对看到的东西缺乏了解。结果实际的情形却是：当我们足够仔细地观察时，世界上的总能量(动能加势能)是一个恒量。
当我们非常仔细地研究原子范围的物质时，物体的总能量并不一定能够方便地分成动能与势能两部分的，而且这种区分也不一定必要。但要这样做几乎总是可能的，所以我们说这种区分总是可能的，并且世界上动能加势能是一个恒量。这样，在整个世界内总的动能加势能是一个恒量，如果“世界”是一块孤立物质，若无外力作用，其能量也是一个恒量。但正如我们已经看到的那样，同样东西的动能和势能中有些可以在其内部，例如内部的分子运动，这是从我们还没有注意到它这个意义上说的。我们知道，在一杯水中一切都在晃动着，所有各部分一直在运动着，所以一杯水内部有一定的动能，通常我们可能不会去注意它。我们不注意原子的运动，这种运动产生热，所以我们不称它为动能，而热原来也是动能。内部的势能同样可以具有一定的形式，例如化学能的形式：当我们燃烧汽油时，由于新的原子排列比旧的原子排列所具有的势能低，所以有能量释放出来。把热纯粹当作动能并非严格，因为其中包含—些势能，反之化学能也不能单纯说成是势能，也包含少量的动能。把上面所说的话并在一起就是说：一个物体内部的总的动能和势能一部分是热，一部分是化学能，……等等。总之，所有这些不同形
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式的内能在上述意义中常常看作是“损失掉”的能量；当我们研究热力学的时候将会对之更加清楚。
作为另一个例子，当有摩擦存在时动能并非真正损失掉，即使一个滑动着的物体停了下来，看上去动能似乎损失掉了，其实，动能并没有损失掉，因为内部原子以比以前更大的动能晃动着，虽然我们不能看到这些，但可用测定温度的办法来量度它。当然，如果我们不考虑热能，那么，能量守恒定律就显得不正确了。
另一种情况是，当我们只研究系统的某一部分时，能量守恒也似乎不正确。当然，如果某个物体与外面的某个物体相互作用，而我们忽略了把这种作用计算进去，此时能量守恒定理就会显得不正确了。
在经典物理学中，势能只包括引力能和电能，现在我们则还有核能和其他能量。例如，光能在经典理论中必须作为一种新的能量形式，但是如果我们愿意的话，也可以把光能想象为光子的动能，这样，式(35)仍旧是正确的。 第 11 页，共 11 页