位力定理：平均动能等于位力。

质心系
前面我们回顾了Newton定律以及由它导出的一些重要的推论，主要有
动量定理：外力总和等于总动量之变化。
角动量定理：总的外力矩等于总角动量之变化。
动能定理：体系总动能的变化等于所有力（包含外力以及内力）做功的总和。
位力定理：平均动能等于位力。
由于Newton定律只在惯性系中才是成立的，因此作为其推论，这些定理的成立的前提当然也要求所涉及的量都是相对于某个惯性系测量或计算出的。但是，存在一个可能是非惯性系的特殊参考系，这些推论在其中也都是成立的，其中一些，譬如动量定理，其形式来的还要更加简单。这个特殊的参考系就是质心系，也就是以质心为原点并随质心一起平动的参考系。
如果我们用表示粒子在某个惯性系中的位矢，而ar􀁋aar′􀁋则表示它在质心系中的位矢，它们之间有如下关系：
CMarRr′=+􀁋􀁋􀁋 (1)
在质心系中质心当然始终是位于原点的，因此
0aaamr′=Σ􀁋 (2)
另一方面，体系的总动量就是质心的动量，因此，体系在质心系中的总动量就该为零。当然，上式两边对时间求微商也就得到了同样的结论。，
0aaaaaadpmrmrdt′′==ΣΣ􀁋􀁋􀀅 (3)
这个方程其地位就相当于在一般惯性系中的质心运动定理。
利用这些关系，你会发现描述体系状态的那些量——如角动量以及动能——都可以表示为两部分之和：一部分描述质心的运动，另一部分则描述体系相对于质心的运动。如角动量 第 1 页，共 4 页
()()CMCMCMCMCMaaaaaaaaaaaaaaaaaLLrpRrmRrRmRrmrRmr′′==×=+×+⎛⎞′′=×+×⎜⎟⎝⎠′+×ΣΣΣΣΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀁋􀁋􀀅aaamr′+Σ􀁋CMR⎛⎞×⎜⎟⎜⎟⎝⎠􀁋􀀅 (4)
其中第一项正是质心的角动量，而最后一项则是体系相对于质心的角动量：
CMCMCM, aaaLRPLrm′′=×=×Σ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅 (5)
而中间两项则显然是等于零的，因此
CMLL′=+􀁋􀁋􀁋 (6)
角动量变化的原因，即力矩，也可以作类似的分解，一部分对质心的运动负责，另一部分则负责相对于质心的运动：
()CMCMCMCMCM with and aaaaaaaaaaaaaaaarFRrFRFrFRFrFττττττ′==×=+×′=×+×′′=+=×=×ΣΣΣΣΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (7)
由于总的外力，第一项正是质心角动量的变化率，而我们又知道CMFMP=􀁋􀁋􀀅Lτ=􀁋􀁋􀀅，由此
Lτ′′=􀁋􀁋􀀅 (8)
即不管质心系是否是惯性参考系（也就是说，不管体系是否受到外力的作用），在质心系中角动量定理依然成立。
特别是，对于刚体，描述其运动的动力学定律除质心运动定理外，另一个方程就可以用质心系中的角动量定理代替，而CMCMLτ=􀁋􀁋􀀅则仅仅是质心运动定理的一个推论，并不是什么新的方程。这样刚体的运动就分成了两部分，一部分是质心的运动，另一部分则是相对于质心的转动（对于一般的复杂体系，如果你不
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考虑内部运动的细节，而只关心它作为整体是否在空间平移和旋转，这个结论显然也是成立的）。当然，如果刚体是作定点转动的，其运动就仅由方程(14)来确定了，因此，也就没有必要对运动做这样的分解了。但是，如果你想要这样做，即便是定点转动，也可以将它看作是这两个运动的合成。
你看到，刚体的运动方程本身并不难从Newton定律的组合得到，而且对于刚体来说，我们还可以将上一节中有关线性运动与转动之间的对应更进一步，譬如（线）动量等于质量乘速度，而刚体角动量则是某个称为惯量张量的量与角速度的乘积。差别在于，我们知道质量是惯性的量度，也就是说，它反映了物体速度改变的难易程度，当我们把动力学定律写成iFmx=􀀅􀀅的形式时，实际上就暗含了这样的含义：在空间的不同方向改变同一物体速度的难易程度（或者说需要的力的大小）是一样的，换言之，惯性在无论哪个方向上都是一样的；而对于刚体，有些出乎意料的是，当你想要将其角速度在1ˆx方向或者2ˆx方向上改变相同的数值所需要的力矩一般来说是不同的，也就是说，沿着不同轴转动的惯性是不一样的，因此，描述转动惯性的量也就不再像描述线运动惯性的质量那样是一个简单的数（标量），而是一个张量，一个2阶张量。因此，前面我们讲角动量等于惯量张量与角速度的乘积，这个乘积不是简单的数与矢量的乘法，而是一个2阶张量与一个1阶张量（矢量）的张量积的缩并。理解刚体运动的主要困难基本上就来源于此。尽管这方面的研究在我们有了第一章中关于转动以及张量的基本了解之后并不是特别困难，但是为了使我们目前的讨论仅仅限于对Newton力学以及其一般推论的回顾上，关于刚体这个具体的问题我将放在后面作为Lagrange力学的一个应用来介绍。[顺便提一句，如果你愿意，本来也可以将中的质量理解为一个线性映射，它把角速度这个矢量映射为另一个称为力的矢量，按照我们第一章的说法，这就是一个2阶张量（线性性是显然的了），这个2阶张量的分量就是Fma=􀁋􀁋ijmδ。]
继续我们前面的讨论。体系动能也可以像角动量那样表示为质心动能和质心系中体系的动能两部分之和： 第 3 页，共 4 页
CM2CMCM1211 with and 22aaaaaaaaTmrrTTTMVTmr′=⋅==+′′′==ΣΣ􀁋􀁋􀀅􀀅􀀢􀁋􀁋􀀅􀀅 (9)
而动能变化，也就是功，则不难表示成下面的形式
()()()()()()CMCMCMCMaaaaaaaaaaaaaaaaaaadTdTdTFfdrFfdRdrFfdRFfdrFdRFfdr′=+′=+⋅=+⋅+′=+⋅++⋅′=⋅++⋅ΣΣΣΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (10)
由于
CMCMCMCM12FdRdMRRdT⎛⎞⋅=⋅=⎜⎟⎝⎠􀁋􀁋􀁋􀁋 (11)
因此，动能在质心系中仍然成立
()aaadTFfdr′=+⋅Σ􀁋􀁋􀁋 (12)
有关质心系中的位力定理我建议你自己做一下。
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