位力定理: 势能平均的负值等于动能平均的两倍

来源: marketreflections 于 2010-04-20 09:14:13 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (4502 bytes)

回答: •拉格朗日表述不固定于任何坐标系统。拉格朗日表述用的是广义坐标。它所涉及的物理量是动能与势能；这些物理量的值不会随广由 marketreflections 于 2010-04-19 10:34:27

位力定理

http://staff.ustc.edu.cn/~phj/Classical_Mechanics/2_8.pdf

保守场：两头大（势能，运动，梯度），中间小, normal distribution, volatility at the tails

就是沿半径方向的运动。
和半径方向垂直方向的运动叫切向运动。

位力定理
由上一节我们知道，力矩反映了力的切向分量对物体运动的影响，而角动量反映了物体在切向上的运动，这个直观的图像其结论就是角动量定理。实际上，关于力的径向分量也有一个有趣的结果，这就是virial（位力）定理，它涉及的是各种力学量的时间平均值之间的关系。
考虑一个受力作用、位矢为F􀁋r􀁋的粒子，它的切向运动（转动）我们已经知道是用角动量来描述的，为了描述其径向运动，我们引入下面的符号（没什么特别的名称来命名它，不过它是某个类似于转动惯量的量2Imrmrr==⋅􀁋􀁋对时间的微商）：
Grp=⋅􀁋􀁋 (1)
这个量对时间的变化率不难得到
dGrprpdt=⋅+⋅􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅 (2)
第二项中p
􀁋􀀅就是力；而由于F􀁋pmr=􀁋􀁋􀀅，第一项两倍于粒子的动能，因此有
2dGTrFdt=+⋅􀁋􀁋 (3)
如果对方程两边的项从时刻到时刻积分并除以1t2t2tttΔ=−，我们就得到了在时间间隔内的平均值 tΔ
2112ttdGdGdtTrFdttdt==+Δ∫􀁋􀁋 (4)
或者把它重新写为
()()212TrFGtGtt+⋅=−⎡⎤⎣⎦Δ􀁋􀁋 (5)
对于周期性的运动，如果我们使时间间隔tΔ恰巧等于运动的周期，上式右边的项将等于零。即便对于非周期性的运动，如果粒子的运动总是在空间中的一个有
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限区域中进行的（有界运动），也就是说，粒子的坐标始终是有限的数值，那么任何时刻G都不会取无限大，它必然有一个上限，这样当我们把式中的选的足够大，即时，方程(5)右边的项仍然是等于零的（在这里，很多书上除了假设粒子的坐标有限之外，还附加了另一个条件，即要求动量大小也是有限的。数学上做这样的要求当然是可以理解的，但是，我们不应忘了，上面所做的一切都不过是来自Newton定律tΔtΔ→∞Fma=􀁋􀁋，而Newton定律只有在粒子速度远远小于光速的情况下才是可以信赖的，这样的话，粒子的速度、从而其动量的数值理所当然应该是有限的。）因此，在这两种情形，我们都得到
12Tr=−⋅􀁋􀁋 (6)
对于有界运动，平均值是在无限长的时间上取得的，而对于周期性运动，这个平均也可以在一个周期上取得。这个关系就称为virial定理。所谓virial指的是就是方程(6)右端的那一项，这个词来源于拉丁文virias，它有力的含义。显然，这个术语并不能反映出它所代表的物理意义；倒是这个词的中文音译“位力”似乎更贴切一些，它字面上既包含位置，又包含了力。当然，其确切含义则是位置乘力（标量积）对时间的平均再乘上一个因子12−。
对于多粒子体系，方程(6)中的T变为了总的动能，而右边也应该对所有粒子的位力（内部相互作用和来自外部的力都会有贡献）进行求和。
Virial这个名称完全是由于历史的原因，它最初是Clausius在1870年在一篇文章中首先提出的（因此后来也称其为Clausius Virial），这篇文章的题目叫做“The mean vis viva of the system is equal to its virial”，在19世纪，人们习惯于用拉丁文命名一些新的事物，譬如这里的“vis viva”指的就是动能，因此这个题目翻译过来就是“体系的动能等于其位力”。
如果力是保守力，特别是对于平方反比力2Fα=􀁋，例如引力，此时位力定理表示为
211ˆ22Trrrrαα=−⋅=−􀁋 (7)
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而你知道rα正是粒子的势能U，因此对于像在引力、Coulomb力作用下粒子做有界运动（当然也就包含了周期运动）的情形，我们就得到了一个很有兴趣的结论：势能平均的负值等于动能平均的两倍，即
2T=− (8)
位力定理可以推广到量子力学，并已广泛应用。当势能为位矢长度的幂次函数时，它将平均动能和势能联系了起来（对于物体受到形如()ˆnFrα=􀁋的力作用的情形，我建议你自己找出对时间平均的动能和势能之间的关系）。由于这个定理所涉及的是总动能，而不是单个粒子的动能，从而为我们研究复杂体系提供了有价值的信息。事实上，位力定理与统计力学中的配分定理有着密切的联系，而在天体物理中，它将星体的内部温度、质量以及半径联系起来并用以讨论星体的稳定性。对于一些很不直观的结果——例如星体由于辐射能量而收缩时，它的温度将升高而不是下降——利用位力定理也可以非常容易的得到。
另举一例。在空间中，一群粒子往往会塌缩形成引力束缚体系。如果体系大致上处于平衡态，以致对时间平均的动能和势能接近于它们现在的数值，位力定理就意味着2T。这是一件了不起的事，因为它可以让你了解束缚体系的质量！事实上，正由于此，我们认为暗物质是存在的。具体一点，假设你测量了一群可见物体的速度，并推断出其动能。那么位力定理会告诉你，如果你发现这个势阱比起所有你能看到的质量所贡献的总和来的要深，你就可以断定存在暗物质。因为要产生更深的势阱（势能的负值更大）就需要有更多的质量。人们对各种星系及星系团进行了观测，在每一情形都得到了暗物质存在的有力证据。 U更深的势阱意味着更多的质量第 3 页，共 3 页