确定状态或者状态函数的变化的动力学定律为Lagrange方程，或者你也可以认为是Hamilton原理，它们只是同一原理的两种不同

http://staff.ustc.edu.cn/~phj/Classical_Mechanics/3_6.pdf

Lagrange函数
广义坐标确定了体系在任一给定时刻的位置，广义坐标和广义速度一起又确定了体系在给定时刻的状态，而状态的变化则是由动力学定律确定的。在Newton力学中，动力学定律说加速度等于力除以质量，从而告诉了我们下一时刻的速度，进而又可以确定出新的位置，由此我们可以一步一步的推断出体系在各个时刻的状态，或者说推断出体系的运动。Lagrange函数中只包含和，而不包含更高阶的导数这一点也正说明了一旦给定了坐标和速度，体系的力学状态也就完全确定了。正因为此，也有人把Lagrange函数称为体系的状态函数。在Lagrange力学中，确定状态或者状态函数的变化的动力学定律为Lagrange方程，或者你也可以认为是Hamilton原理，它们只是同一原理的两种不同表述：后者是积分的、整体的原理，而前者则是后者的微分表述。 qq􀀅,,etc.qq􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅
前面我们介绍了Lagrange函数的一些性质，例如可加性以及不确定性。下面我将讨论Lagrange函数的一般形式。
在没有势能情况下，单粒子的Lagrange函数是最简单的，它就是
212Lm= (1)
例如，在笛卡尔坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中，Lagrange函数分别为
()()()222222222222212121sin2LmxyzLmrrzLmrrrθθϕθ=++=++=++􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (2)
这些是应该牢记在心的。
对于没有相互作用的粒子组成的体系，由于Lagrange函数的可加性，我们有
212aaLm= (3)
第 1 页，共 6 页
下面考虑不与外界任何物体作用，而只是由相互作用的粒子组成的体系（所谓封闭体系）。它的Lagrange函数由没有相互作用的粒子组的Lagrange函数（总的动能）减去相互作用项（势能）所给出，即
()(2121,,,,2aanLmvUrrrLrr=−=􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀢 (4)
势能函数值依赖于给定时刻粒子的位置这一点说明：任何一个粒子位置的改变都会马上对其他所有粒子产生影响，也就是说相互作用是瞬时传播的。经典力学中相互作用具有这种形式是和其基本假定——时间的绝对性以及Galileo惯性原理密切联系的。如果相互作用不是瞬时传播，而是以有限的速度传播，由于时间绝对性必然意味着矢量组合的通常的定律适用于所有的现象（速度、加速度等），因此，在相对运动的两个不同参考系中，传播速度将是不同的，那么，相互作用物体的运动定律在不同的惯性系中也将不同，而这与相对性原理是矛盾的。依赖于速度的相互作用在Newton力学中是不可能的，而我们确实知道这样的作用在自然界时真实存在的（例如电磁场对带电粒子的作用，即所谓Lorentz力），这说明了Newton定律的局限性。根据刚才的分析，为了描述这样的相互作用同时又不违反相对性原理（我们有足够的理由相信没有绝对的静止），我们需要一个新的原理来代替绝对时间的假设，从而使得速度不再像普通矢量那样相加，实际上我们已经知道这个新的原理就是Einstein的光速不变原理。
接下来考虑这样一个体系A，它不是封闭的，而是与另一个按照给定方式运动的体系有相互作用。在这种情况下，我们说体系BA在（由体系）给定的外场中运动。由于运动方程是通过独立地变化每一个坐标从最小作用原理得到的，也就是说的运动方程就好像其它的坐标都是给定的（数学上这就是偏导数的含义所在），因此，我们可以在整个体系BiqAB+的Lagrange函数中把用给定的时间函数代替而得到体系LBqA的Lagrange函数AL。
假设AB+是封闭的，我们有
()()(),,AAABBBABLTqqTqqUqq=+−􀀅􀀅 (5)
前两项分别是体系A和的动能，最后一项是描述它们之间的相互作用以及每B
第 2 页，共 6 页
个体系内部相互作用的势能。把用给定的时间函数Bq()Bqt代替，由于()()(),BBBTqtqt􀀅只依赖于时间，因此它可以作为某个时间函数的全微商略去，我们得到
()()()(),,AAAABLTqqUqqtLrrt=−=􀁋􀁋􀀅􀀅 (6)
因此，体系在外场中的运动由通常的具有动能减去势能形式的Lagrange函数描述，唯一不同的是这里的势能可能明显地依赖于时间[对于不稳定的，即随时间变化的外场]。对于均匀的外场（不必是稳定的），即如果粒子在任一点处受到的外界作用力都是相同的，此时势能就是 F􀁋
UF=−⋅􀁋􀁋 (7)
最后特别讲一下动能的一般形式。在笛卡尔坐标系中，动能是速度的二次齐次函数
212aaTm=􀁋􀀅 (8)
如果我们不用笛卡尔坐标，而是采用任意广义坐标描述体系的运动，需要用到下面的变换
()(=,, ,,aaaaaiairrrrqtrqrqqtqt∂∂=+=∂∂􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (9)
计算速度的平方
22aaaaaaijijaaaaaijiijirrrrvrrqqqtqtrrrrrrqqqqqqttt⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂=⋅=+⋅+⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅􀀅􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (10)
这里不对指标a求和。动能用广义坐标和广义速度表示就变为了
21122aaaaaaijaiaijirrrrrTmqqmqmqqqtt∂∂∂∂∂⎛⎞=⋅+⋅+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (11)
因此，动能一般可以表示为下面的形式 第 3 页，共 6 页
2112ijijiiTaqqbqcTT=++=+􀀅􀀅􀀅 (12)
其中系数
21, , 2aaaaaijaiaaijirrrrrambmcmqqqtt∂∂∂∂∂⎛⎞=⋅=⋅=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (13)
都只是坐标和时间的函数，并且ijjiaa=。实际上由动能的正定性你也不难得出矩阵()ijAa=实际上是一个正定矩阵[即A的所有本征值都是大于零的，见附录]。
特别的，如果变换方程不显含时间（例如对于稳定约束），由于
0 0 and 0airbt∂=⇒==∂􀁋 (14)
因此，在这种情况下，动能是广义速度的二次齐次函数
12ijijTaq=􀀅􀀅 (15)
上式对微分 kq􀀅
11112222ijikjijjkikjjikikTaqaqaqaqqδδ∂=+=+∂􀀅􀀅􀀅􀀅 (16)
把方程两边都乘以并对求和，得到 kq􀀅k
1122kkjkjikkTqaqqaq∂=+∂􀀅􀀅􀀅􀀅 (17)
右边两项实际上是相等的，都等于总的动能，因此便有
2kikikkTqaqqq∂==∂􀀅􀀅􀀅􀀅 (18)
这个重要的结论实际上是Euler定理的一个特例：如果()12,,fxx􀀢是kx的次齐次函数，即nf是类似这样的项的线性组合（其中），那么 1212nnxx􀀢12nn++=􀀢
第 4 页，共 6 页
kkfxnfx∂=∂ (19)
当然，由于动能一般并不能写成(15)的形式，因此关系(18)一般来说也就不再成立。不过注意到动能总可以分解为三部分、和之和的形式，它们分别是广义速度的2次、1次和0次其次函数，因此，利用Euler定理就得到了 2T1T0T
02121210kkkkkkkkTTTTqqqqTTqqqq∂∂∂∂=++=⋅+⋅+∂∂∂∂􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (20)
即
22kikikiikTqaqqbqTq∂=+=∂􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (21)
第 5 页，共 6 页
附录：关于矩阵()ijAa=正定性的证明
显然对于任意的，动能始终是非负的 iq􀀅
102ijijiiTaqqbqc=++􀀅􀀅􀀅 (A1)
将动能对求偏导数，得到 kq􀀅
11221122ijikjijijkiikkkjjikiiikkjjkTaqaqbqaqaqbaqbδδδδ∂=++∂=++=+􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (A2)
最后一个等号用到了。由于物理上动能总可以达到它的极小值——零，因此方程 ijjiaa=
0kjjiikaqbδ+=􀀅 (A3)
总是有解的，也就是说矩阵()ijAa=是非奇异的。
如果A不是正定的，那就意味着至少存在一组广义速度，使得 0iq􀀅
00102ijijaqq 现在我们令0iqλ′=􀀅，其中λ是任意非零常数，显然
201122ijijijijaqqaqqλ′′=􀀅􀀅 (A5)
也是小于零的，而动能
20001122ijijiiijijiiTaqqbqcaqqbqcλλ′′′=++=+􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (A6)
Lagrange函数
广义坐标确定了体系在任一给定时刻的位置，广义坐标和广义速度一起又确定了体系在给定时刻的状态，而状态的变化则是由动力学定律确定的。在Newton力学中，动力学定律说加速度等于力除以质量，从而告诉了我们下一时刻的速度，进而又可以确定出新的位置，由此我们可以一步一步的推断出体系在各个时刻的状态，或者说推断出体系的运动。Lagrange函数中只包含和，而不包含更高阶的导数这一点也正说明了一旦给定了坐标和速度，体系的力学状态也就完全确定了。正因为此，也有人把Lagrange函数称为体系的状态函数。在Lagrange力学中，确定状态或者状态函数的变化的动力学定律为Lagrange方程，或者你也可以认为是Hamilton原理，它们只是同一原理的两种不同表述：后者是积分的、整体的原理，而前者则是后者的微分表述。 qq􀀅,,etc.qq􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅
前面我们介绍了Lagrange函数的一些性质，例如可加性以及不确定性。下面我将讨论Lagrange函数的一般形式。
在没有势能情况下，单粒子的Lagrange函数是最简单的，它就是
212Lm= (1)
例如，在笛卡尔坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中，Lagrange函数分别为
()()()222222222222212121sin2LmxyzLmrrzLmrrrθθϕθ=++=++=++􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (2)
这些是应该牢记在心的。
对于没有相互作用的粒子组成的体系，由于Lagrange函数的可加性，我们有
212aaLm= (3)
第 1 页，共 6 页
下面考虑不与外界任何物体作用，而只是由相互作用的粒子组成的体系（所谓封闭体系）。它的Lagrange函数由没有相互作用的粒子组的Lagrange函数（总的动能）减去相互作用项（势能）所给出，即
()(2121,,,,2aanLmvUrrrLrr=−=􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀢 (4)
势能函数值依赖于给定时刻粒子的位置这一点说明：任何一个粒子位置的改变都会马上对其他所有粒子产生影响，也就是说相互作用是瞬时传播的。经典力学中相互作用具有这种形式是和其基本假定——时间的绝对性以及Galileo惯性原理密切联系的。如果相互作用不是瞬时传播，而是以有限的速度传播，由于时间绝对性必然意味着矢量组合的通常的定律适用于所有的现象（速度、加速度等），因此，在相对运动的两个不同参考系中，传播速度将是不同的，那么，相互作用物体的运动定律在不同的惯性系中也将不同，而这与相对性原理是矛盾的。依赖于速度的相互作用在Newton力学中是不可能的，而我们确实知道这样的作用在自然界时真实存在的（例如电磁场对带电粒子的作用，即所谓Lorentz力），这说明了Newton定律的局限性。根据刚才的分析，为了描述这样的相互作用同时又不违反相对性原理（我们有足够的理由相信没有绝对的静止），我们需要一个新的原理来代替绝对时间的假设，从而使得速度不再像普通矢量那样相加，实际上我们已经知道这个新的原理就是Einstein的光速不变原理。
接下来考虑这样一个体系A，它不是封闭的，而是与另一个按照给定方式运动的体系有相互作用。在这种情况下，我们说体系BA在（由体系）给定的外场中运动。由于运动方程是通过独立地变化每一个坐标从最小作用原理得到的，也就是说的运动方程就好像其它的坐标都是给定的（数学上这就是偏导数的含义所在），因此，我们可以在整个体系BiqAB+的Lagrange函数中把用给定的时间函数代替而得到体系LBqA的Lagrange函数AL。
假设AB+是封闭的，我们有
()()(),,AAABBBABLTqqTqqUqq=+−􀀅􀀅 (5)
前两项分别是体系A和的动能，最后一项是描述它们之间的相互作用以及每B
第 2 页，共 6 页
个体系内部相互作用的势能。把用给定的时间函数Bq()Bqt代替，由于()()(),BBBTqtqt􀀅只依赖于时间，因此它可以作为某个时间函数的全微商略去，我们得到
()()()(),,AAAABLTqqUqqtLrrt=−=􀁋􀁋􀀅􀀅 (6)
因此，体系在外场中的运动由通常的具有动能减去势能形式的Lagrange函数描述，唯一不同的是这里的势能可能明显地依赖于时间[对于不稳定的，即随时间变化的外场]。对于均匀的外场（不必是稳定的），即如果粒子在任一点处受到的外界作用力都是相同的，此时势能就是 F􀁋
UF=−⋅􀁋􀁋 (7)
最后特别讲一下动能的一般形式。在笛卡尔坐标系中，动能是速度的二次齐次函数
212aaTm=􀁋􀀅 (8)
如果我们不用笛卡尔坐标，而是采用任意广义坐标描述体系的运动，需要用到下面的变换
()(=,, ,,aaaaaiairrrrqtrqrqqtqt∂∂=+=∂∂􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (9)
计算速度的平方
22aaaaaaijijaaaaaijiijirrrrvrrqqqtqtrrrrrrqqqqqqttt⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂=⋅=+⋅+⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅􀀅􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (10)
这里不对指标a求和。动能用广义坐标和广义速度表示就变为了
21122aaaaaaijaiaijirrrrrTmqqmqmqqqtt∂∂∂∂∂⎛⎞=⋅+⋅+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (11)
因此，动能一般可以表示为下面的形式 第 3 页，共 6 页
2112ijijiiTaqqbqcTT=++=+􀀅􀀅􀀅 (12)
其中系数
21, , 2aaaaaijaiaaijirrrrrambmcmqqqtt∂∂∂∂∂⎛⎞=⋅=⋅=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (13)
都只是坐标和时间的函数，并且ijjiaa=。实际上由动能的正定性你也不难得出矩阵()ijAa=实际上是一个正定矩阵[即A的所有本征值都是大于零的，见附录]。
特别的，如果变换方程不显含时间（例如对于稳定约束），由于
0 0 and 0airbt∂=⇒==∂􀁋 (14)
因此，在这种情况下，动能是广义速度的二次齐次函数
12ijijTaq=􀀅􀀅 (15)
上式对微分 kq􀀅
11112222ijikjijjkikjjikikTaqaqaqaqqδδ∂=+=+∂􀀅􀀅􀀅􀀅 (16)
把方程两边都乘以并对求和，得到 kq􀀅k
1122kkjkjikkTqaqqaq∂=+∂􀀅􀀅􀀅􀀅 (17)
右边两项实际上是相等的，都等于总的动能，因此便有
2kikikkTqaqqq∂==∂􀀅􀀅􀀅􀀅 (18)
这个重要的结论实际上是Euler定理的一个特例：如果()12,,fxx􀀢是kx的次齐次函数，即nf是类似这样的项的线性组合（其中），那么 1212nnxx􀀢12nn++=􀀢
第 4 页，共 6 页
kkfxnfx∂=∂ (19)
当然，由于动能一般并不能写成(15)的形式，因此关系(18)一般来说也就不再成立。不过注意到动能总可以分解为三部分、和之和的形式，它们分别是广义速度的2次、1次和0次其次函数，因此，利用Euler定理就得到了 2T1T0T
02121210kkkkkkkkTTTTqqqqTTqqqq∂∂∂∂=++=⋅+⋅+∂∂∂∂􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (20)
即
22kikikiikTqaqqbqTq∂=+=∂􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (21)
第 5 页，共 6 页
附录：关于矩阵()ijAa=正定性的证明
显然对于任意的，动能始终是非负的 iq􀀅
102ijijiiTaqqbqc=++􀀅􀀅􀀅 (A1)
将动能对求偏导数，得到 kq􀀅
11221122ijikjijijkiikkkjjikiiikkjjkTaqaqbqaqaqbaqbδδδδ∂=++∂=++=+􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (A2)
最后一个等号用到了。由于物理上动能总可以达到它的极小值——零，因此方程 ijjiaa=
0kjjiikaqbδ+=􀀅 (A3)
总是有解的，也就是说矩阵()ijAa=是非奇异的。
如果A不是正定的，那就意味着至少存在一组广义速度，使得 0iq􀀅
00102ijijaqq 现在我们令0iqλ′=􀀅，其中λ是任意非零常数，显然
201122ijijijijaqqaqqλ′′=􀀅􀀅 (A5)
也是小于零的，而动能
20001122ijijiiijijiiTaqqbqcaqqbqcλλ′′′=++=+􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (A6)
由于当λ→∞时，第一项以方式2λ趋于−∞，第二项则至多以方式λ趋于，因此当+∞λ足够大时，整个表达式终将会小于零。而这就跟动能的正定性矛盾了。
因此，矩阵A不仅是非奇异的，而且是正定的。 第 6 页，共 6 页由于当λ→∞时，第一项以方式2λ趋于−∞，第二项则至多以方式λ趋于，因此当+∞λ足够大时，整个表达式终将会小于零。而这就跟动能的正定性矛盾了。
因此，矩阵A不仅是非奇异的，而且是正定的。 第 6 页，共 6 页