辛条件 “广义坐标的时间导数等于Hamiltonian对广义动量的偏导数”和“广义动量的时间导数等于负的Hamiltonian对

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沈惠川：关于《经典力学》正则变换中

“辛条件”与“Jacobian＝1条件”之间的等价性



拙著《经典力学》于2006年在中国科学技术大学出版社出版. 大约在2007年，科大教“理论力学”的同事朱界杰老师，有一次在遇到我时对我说：“正则变换的充分必要条件是‘辛条件’，而不是Jacobian＝1的条件；你书上证过来证过去是不对的.”

所谓“辛条件”，实际上是英文“symplectic condition”的汉译；在H. Goldstein《Classical Mechanics》的中译本《经典力学》（陈为恂译）一书中译为“耦对条件”.

我对所有的意见都极为重视. 朱界杰的不同意见我认真思考过，Goldstein书上说“‘耦对条件’依然是正则变换的必要而又充分的条件，即使该正则变换包含有时间也如此”我也早就看到过. 但是我认为，（1）正则变换的充分必要条件不仅仅在“正则变换”这一节中有，而且在“Poisson括号”的正则不变性和“Liouville定理”这两节中也有，从来没有人对这两节中的Jacobian＝1的充分必要条件提出过异议；（2）所有求证“正则变换”的习题都是利用Jacobian＝1来证明的，不仅仅是必要条件（若是“正则变换”则必有Jacobian＝1），有些习题也要利用充分条件（若Jacobian＝1则变换必然是“正则”的），如果有问题的话则这些习题的正确答案如何解释？ 因而，我自我感觉这不会构成什么严重的问题，“辛条件”和Jacobian＝1的条件二者之间必然存在深层次的联系，故直觉地、本能地未加理会.

前不久，我在卓越亚马逊网上看到有读者Albert在题为“总的来说很不错的，但也出现了原则性的错误，有点遗憾”（2010.01.08）的书评中评论《经典力学》一书时说：“整体来说，本书的内容之广和叙述深刻程度，是国内其它教材无法比拟的，从这一点来说，很适合想深入学习理论物理的人. 但是最近发现3.6节第五小节出现了整体性错误，即认为正则变换充要条件是雅可比行列式为1，其实这只是一个必要条件，在论证过程中作者并没有证明充分性（虽然“写”了，但不正确）. 用矩阵方法不难证明正确的充要条件应该是雅可比矩阵是个辛矩阵. 这一明显错误的出现不能不说是个缺憾，希望日后再版能有修.”这再一次引起了我的重视.

经典力学中的“正则变换”，满足所谓“辛条件”. 在Goldstein的书中，设Jacobian为M（是一个2n×2n矩阵），其转置矩阵用M上面带“一弯”表示（也是一个2n×2n矩阵）；再设“辛矩阵”为J（在梅凤翔等人所著的《Birkhoff系统动力学》一书中用希腊字母“欧米茄”表示），其对角线项为n×n的“零矩阵”，其非对角线项为n×n的“单位矩阵”和“负单位矩阵”. “辛条件”用公式表示出来就是：

M“一弯”×J×M=J

令Jacobian矩阵M的两个n×n对角线项矩阵为a和d，两个n×n非对角线项矩阵为b和c（Jacobian转置矩阵M“一弯”中的b和c交换位置），我们可以直接进行计算.

将它们代入“辛条件”公式，得到的结果是：2n×2n矩阵的对角线项矩阵皆为“零矩阵”，而2n×2n矩阵的非对角线项均为n×n的a×d－b×c＝1矩阵. 这实际上就是“Jacobian＝1的条件”. 因此，

“辛条件”与“Jacobian＝1的条件”是完全等价的！

于是，可以说明，朱界杰老师和Albert网友的批评完全不正确，而我的直觉是对的.

根据我的经验，有许多经常拿“辛变换”、“酉群”之类术语当作口号来说事的人，其实根本不懂“辛变换”、“酉群”是个什么东西，对于他们的批评还是要仔细地具体计算一下才能判定其是否有道理；有时候直觉为正确的东西不一定错.

经典力学中的“正则变换”，在数学著作中译为“典则变换”（例如齐民友翻译的《经典力学的数学方法》）.

顺便介绍一下：朱界杰老师是科大少年班毕业的高材生.

对于朱界杰老师和Albert网友的批评，我是十分欢迎和感谢的. 若不是他们的批评，我也不会去进行具体计算的，也将不会知道“辛条件”与“Jacobian＝1的条件”是完全等价的这一结果——这一结果对以后的讲课必然是有用的.



附注：在H. Goldstein的《经典力学》一书第9章的第12道习题中，实际上已经提到了“辛条件”与“Jacobian＝1的条件”是完全等价的这一结果.说明Goldstein那时就已明白.



另注：“辛条件”的提出是以通常的“正则方程”之间的对称性为基础的，亦即以“广义坐标的时间导数等于Hamiltonian对广义动量的偏导数”和“广义动量的时间导数等于负的Hamiltonian对广义坐标的偏导数”之间的对称性为基础的；这两组形式上对称的方程的来源并不相同，前者来自Legendre变换，而后者主要来自Lagrange方程.关于：“辛条件”的提出是以通常的“正则方程”之间的对称性为基础的这一点在在梅凤翔等人所著的《Birkhoff系统动力学》一书的公式中看得最清楚.仔细分析一下H. Goldstein的《经典力学》一书,也会有同样的结论.“辛条件”中已隐含着将两组形式上对称的方程一视同仁. "辛矩阵"变换实际上就是将这两组"正则方程"对称地放在一个更大的2n×2n矩阵的非对角线上,而让其对角线项为零. 然而,在分析力学中,尤其是从“广义经典力学”中可以发现，“正则方程”的两组方程并不总是通常的对称形式（主要由于广义动量的定义式有所变化），因此“辛条件”对“广义经典力学”来说并不是普遍的,充其量只是"形式主义".过分强调“辛条件”没有必要.