经典力学主要有三种不同表述,#3Hamilton正则形式，其基本概念是正则坐标、正则动量和Hamilton函数

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经典力学主要有三种不同表述。最初表述为Newton三定律，其基本概念是力、质量和加速度，基本动力学方程是牛顿第二定律；后来发现可以表述成Lagrange形式，其基本概念是广义坐标、广义速度和Lagrange函数，动力学方程是Euler-Lagrange方程；也还可以表述为Hamilton正则形式，其基本概念是正则坐标、正则动量和Hamilton函数，动力学方程是Hamilton正则方程，或等效的Hamilton-Jacobi方程。这些表述虽然互相等效，但因为基本概念和动力学方程不同，用于不同问题的方便程度也就不同；而在需要对理论进行推广时，它们并不等效，只有其中某个才能成为恰当的基础与出发点。

量子力学的情形与此完全类似；在初创时，Born、Heisenberg、Jordan小组和Dirac仿照Hamilton正则方程，创立了量子力学；Schrödinger则仿照Hamilton-Jacobi方程，创立了波动力学；这两种形式是等效的，实质上都属于量子力学的正则形式，其出发点都是系统的Hamilton量。后来在Dirac的量子力学作用量的基础上，Feynman提出了量子力学的路径积分形式，成为量子力学的第三种表述形式，其出发点是系统的Lagrange函数。

对于观测量的量子特征，特别是场的粒子性，主要观测量是有关厄米算符的本征值，采用量子力学的算符形式更合适。而对于散射过程，主要观测量的测量的统计概率，与过程的波函数直接有关，量子力学的波动形式就成为最合适的选择。量子力学的路径积分形式，实质上是计算波函数的一种直观而便捷的途径，自然就成为用来代替Schrödinger方程的一种选择。而在规范场的情形，由于规范任意性带来多余的非物理自由度，需要给正则变量加上一定的约束条件。对于处理这种约束条件来说，路径积分形式与传统的正则形式相比具有突出的优势。规范场是量子场论的核心，所以路径积分也就成了量子场论的主要表述形式。