经典力学中，尽管两个全同粒子的固有性质完全相同，仍可区分;微观全同粒子不可区分：同一时刻它们可以处于同一位置。

因为是波，波的本质是不确定性，非保守力（场），否则就是牛顿的点，线了

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§7.6 全同粒子的特性
重点:全同性原理及其特性
难点:全同性原理及其特性
一、全同粒子及其特性
1.全同粒子：所有固有(内禀)性质（自旋、同位旋、静止质量、电荷、
寿命、内禀磁矩等）完全相同的微观粒子叫全同粒子。
例如：电子偶素(由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统)
中的电子、金属中的电子、氢原子中的电子和氦原子中的电子等，不
论它处于何种物质中，在什么地方，内禀性质都一样，故所有电子是
全同粒子；
而质子和中子，正负电子，内禀性质不完全相同，如带电状态不
同，它们不是全同粒子。
2.全同粒子体系：由两个或两个以上的全同粒子组成的体系，称为全
同粒子体系。如：金属中的电子；氦原子中的电子；核中的质子；中
子的集合。
3.全同粒子的不可区分性：
经典力学中，尽管两个全同粒子的固有性质完全相同，仍可区分
这两个粒子。因为都有自己确定的位置和轨道，即任一时刻它们都有
确定的坐标和速度，可判定哪个是第一粒子，哪个是第二个粒子。
例如选的完全一样的解放牌汽车，仍可区分。因为它们不能在同一
时刻处于同一位置，由初始状态和运行轨道的记录可以区分它们（建
立档案）。
微观全同粒子不可区分：同一时刻它们可以处于同一位置。两个
全同粒子可用两个波函数表示，在运动过程中，空间中发生重叠，此
３０２
区域无法区分。只有当波函数完全不重叠时，才可区分。
二、全同性原理
由全同粒子的不可区分性导致全同性原理的假设。
以氦原子为例：氦原子中有两个电子，假设一个处于基态，而另
一个处于第一激发态。
0
2
s
2
1 2a
Z e
E = − ，
2
0
2
s
2
2 2a 2
Z e
E = −
体系的能量为1 2 E = E + E 。若把两个电子的位置和自旋交换，能量E的
状态不变。于是得到量子力学中的全同性原理，即：
全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子，体系的物理状
态保持不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1.全同粒子体系的波函数与哈密顿
有一由N 个全同粒子组成的体系，以q (r ,S ) i i iz
r = 代表第i 个粒子的
坐标和自旋，波函数可写成
(q ,q ,...,q , t) 1 2 N Φ = Φ
体系的哈密顿可以表述为：
Σ Σ
= ≠
∇ + +
μ
= −
N
i1 ij
i i j
2
i
2
1 2 N W(q ,q )
2
U(q , t)] 1
2
[ ) t , q ,..., q , q ( Hˆ h
(1)
U(q , t) i 是第i 个粒子在外场中的势能，W(q ,q ) i j 是第i 个粒子与第j 粒
子之间的相互作用能。
2.全同粒子体系的特性（全同性原理的特性）
定义交换(置换)算符ij Pˆ ：
３０３
) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( ) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Pˆ
ij 1 i j N 1 j i N Φ ≡ Φ
) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Hˆ ) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Hˆ
Pˆ
ij 1 i j N 1 j i N ≡
(1)交换体系中的任一对全同粒子，体系的哈密顿不变。
证明： ) t , q ,..., q , q ( Hˆ
Pˆ
ij 1 2 N
W(q ,q )}
2
U(q , t)] 1
2
[ { Pˆ N
i1 ij
i i j
2
i
2
ijΣ Σ
= ≠
∇ + +
μ
= − h
Σ Σ
= ≠
∇ + +
μ
= −
N
j1 ji
j j i
2j
2
W(q ,q )
2
U(q , t)] 1
2
[ h
) t , q ,..., q , q ( Hˆ 1 2 N =
即) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Hˆ ) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Hˆ
1 i j N 1 j i N = 有交换对称性。
(2)交换体系中的任一对全同粒子，体系的波函数有确定的对称性，且
这种对称性不随时间改变。
证明：根据全同性原理， Φ ij Pˆ 与Φ 描写同一状态,它们之间至多差一个
常数因子,即:
) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( ) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Pˆ
ij 1 i j N 1 i j N Φ = λΦ (2)
则) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( ) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Pˆ
1 i j N
2
1 i j N
2
ij Φ = λ Φ
而) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( ) t , q ,..., q ,..., q ,..., q ( Pˆ
1 i j N 1 i j N
2
ij Φ = Φ
于是比较有： λ = ±1。
当λ = +1时，由(2)得： (...,q ,...,q ,...) (...,q ,...,q ,...) j i i j Φ = Φ ，则波
函数是交换对称的，用S Φ 表示；
当λ = −1 时，由(2)得： (...,q ,...,q ,...) (...,q ,...,q ,...) j i i j Φ = −Φ ，则
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波函数是交换反对称的，用A Φ 表示。
下面证明这种对称性不随时间改变：
由于Φ = Φ ij ij Pˆ
Hˆ
Hˆ
Pˆ
，所以有： 0 ] Hˆ , Pˆ [ ij = ，则
0 | Pˆ |
dt
d
dt
dP
ij
ij = =
即宇称算符的平均值不随时间变化, ij Pˆ 为一守恒量。
以交换对称波函数为例：当S t 0 | = Φ = Φ 时， ij S S t 0 | Pˆ = Φ = Φ ，其中
S t 0 | = Φ = Φ 属于ij Pˆ 的本征值为1 的本征态，则：
0 | Pˆ |
dt
d
dt
dP
S ij S
ij = =
即保持其对称性不变（可参考教材中的讲法）。
四、玻色子和费米子（Bosons 和Fermions）
因为全同粒子的波函数具有确定的对称性，对称的波函数保持交
换不变号；反对称的波函数保持交换变号。所以，微观全同粒子体系
的波函数可按置换对称分为两类(迄今为止，无发现例外)，即：(1)
交换对称；(2)交换反对称。
实验证明：
凡自旋是h / 2 或h / 2 奇数倍的粒子组成的全同粒子体系，波函数
具有反对称性，服从费米—狄拉克(Fermi—Dirac)统计，这类粒子因
而被称为费米子。如电子、质子、中子等。
凡自旋是零或h 的整数倍的粒子组成的全同粒子体系，波函数具
有对称性，服从玻色—爱因斯坦(Bose—Einstein)统计，这类粒子因
而被称为玻色子。如光子( s = 1)、处于基态的氦原子( s = 0)、α 粒子
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( s = 0)。