力学量算符化:算符是指对某一事物的任何一种操作,进行各种数学运算是一种操作,旋转、映射,力学量能量非定域性

回答: 力学量的算符化规则marketreflections2010-04-14 08:12:57

http://www.lyun.edu.cn/wulixi/jpkc/lzlx/documents/wangluoziyuan/82.pdf

第21卷第3期
2002年9月
‘新疆师范大学学报)(自然科学版)
Journal of Xinjiang Normal University
(Natura|Sciences Edition)
V01.21.No.3
Sub.2002
算符与量子力学中的力学量∞
王庆领 张 力
(新疆教育学院物理系,乌鲁木齐,830043)
摘 要 本文阐述了量子力学中的力学量与算符之间的关系。表示力学量的算符必须是线性厄米算符。算符对波函数的作用,其实质
就是对在波函数表示的状态下,对该算符所对应的力学量进行测量,所有可能的测量值,都仅是也只能是该算符的一系列本征值。并且,力学量
之问的关系也可通过算符之间的关系反映出来。
关键词 力学量算符状态函数本征方程本征值
中图分类号: E0189.343 文献标识码: A 文章编号: 1008—9659一(2002)一03—0007—05
量子力学研究的对象是微观粒子,而微观粒子的最重要的特性是具有波粒二象性,这是与宏观粒子根本
不同的特性。因此,对微观粒子的描述方式、研究方法及观察、总结出的规律都与经典力学有着很大的差别。
在量子力学中,微观粒子的状态是用一个波函数Ij,( ,t)来描述的。波恩对波函数的统计解释为:波函数
的模的平方l‘;I(r,t)l。给出了微观粒子在某处出现的几率密度。从而使用波函数来描述微观粒子兼顾了微
观粒子的波粒二象性。
在经典力学中,任何时候力学量都有确定的值,态可直接用力学量来表示。一切力学量均是状态的函数,
而且是一一对应的。而在量子力学中,态是由波函数来表示的,且在一般情况下,对于一个确定的态,力学量
并没有确定的值。因此,对微观粒子的力学量不能用经典的方法来描述,而引入了一种新的数学手段—— 力
学量用算符来表示,这实际上是量子力学的基本假设之一。
那么,什么是算符,如何用算符来表示力学量?为什么可以这样描述,用算符描述力学量的实质是什么?
这就是本文想要着重说明的问题。
在数学上,算符就是一种运算符号,如“+、一、× 、÷ ”,乘方、开方、微分、积分⋯ ⋯ ,如果以A表示某种
算符,则式Au— au称为算符的本征方程,u为A本征函数,a为A的本征值,它可能是连续的,也可能是不连
续的。在高等数学中给出了解算符的本征方程的解析方法,但算符和量子力学中的力学量如何相联系呢?
在物理学中,对算符的定义扩大为:算符是指对某一事物的任何一种操作,进行各种数学运算是一种操
作,旋转、映射⋯⋯ ,也是一种操作。
我们从对力学量求平均值的运算,把算符引入量子力学。
在经典力学中,若对某力学量A作N次测量,测得A— A 的次数为n 次,A— A:的次数为n:次,⋯ ⋯ ,
则A 的平均值为
A1n1+ A2n2+ ⋯ + Ain + ⋯
^ 一————————下i__—————一
一A1 111+ A
2雨
112 + Ai ni+ ⋯
① [收稿日期]2000.3.12
② [作者简介]王庆领(1944一),男,副教授,主要从事理论物理教学与研究l张力(1948一),男,副教授,主要从事理论物理教学
与研究。
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·20· 新疆师范大学学报(自然科学版)
= Ai
一ΣAiPi i一1,2, ⋯N
式中Pi: ni 39N tlttg,是At的几率

类比求力学量A 的平均值的运算,量子力学中求微观粒子位置 的平均值的运算应为
一I I ( ,t)I zd
式中I ( ,t)I 就是微观粒子处在 附近单位体积内的几率。由于 是连续变化的,故求和号变为积分
号。
那么,动量 的平均值是否也可以由p—I I (p,t)I d r得出呢?显然不行,因为I ( ,t)I 给出的是位
置的分布几率。但如果知道了动量的分布几率,则动量的平均值也就可以表示成上面的形式了,可是动量的
分布几率很不易求得。能否直接由波函数 ( ,t)求出任意力学量的平均值呢?量子力学给出了一种特殊的
方法来解决这个问题,这就是量子力学中的算符理论。
我们以求动量的平均值为例来引进动量算符。
观察物质波的晶体衍射实验。从波动的观点来看,它是各种波长不同的平面单色波的迭加;从粒子的角
度看,它是一束动量不同的粒子流。经晶体衍射后,不同波长的波向不同方向衍射,形成衍射波谱。其中第一
级极大的衍射角由公式
dsin0一
给出。
只要测出衍射波的衍射角0,就可以得出入射波的波长成分,或者说就知道了粒子流各种可能的动量
值,同时由衍射波谱的强弱还可以知道各种分波出现的几率。 入射波 观察屏
由波的迭加原理
( ,t)一Ic( ,t) ( ,t)d
即任一波动过程都可以视为各种平面单色波的迭加,式中
( ,t)一Ae百1‘ · 一 电子波衍射实验
是动量为 的平面单色波,c( ,t)为该平面波的振幅。显然,某个方向上衍射波谱的强弱与该波振幅的平方
lc( ,t)l 给出的是动量为 的粒子数出现的几率,它就是动量的分布函数,故动量的平均值可表示为
一I Ic( ,t)I zd P
J

( ,t)一A Ic( ,t)e吉( · 一 .d—r
及其傅里叶变换式
cG,t)一Al ( ,t)e一百1‘ ·d r
可以证明

P一 c( ,t)I d 一 ( ,t)(一ihV )~b(r,t)d r
上式即为由波函数 ( ,t)求动量 的平均值表达式。对照求位置 平均值的表达式可见,式中将动量
换成了一ithV ,令^p 一一ihV,称^p为动量算符,则动量的平均值公式可写成

P—I I;J ( ,t)^p I;J( ,t)d
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第3期 王庆领等 算符与量子力学中的力学量 ·21 ,
动量算符的意义为:动量算符对波函数的作用,就是对波函数进行微分运算,即
^p ( ,t)一一ihVq~( ,t)
将求位置 平均值的表达式
一I I ( ,t)I zd 一I 。( ,t) ( ,t)d
与求动量 平均值的表达式相比较,可见 也可以当作算符’ ,不过} 对 ( ,t)的作用为 乘以波函数
( ,t),显然,位置算符} 一 。
在经典力学中,任意一个力学量均是动量 与位置 的函数,如角动量的表达式为
c一 ×
能量的表达式为
E — Ek+ E 一2P _
m
L+ UG ,t)
在量子力学中,力学量算符也具有相似的形式,只不过其中相应的量要换成相应的算符,如角动量算符

fJ一} × 一;× ^p
能量算符为
A 一 + u( )一一面hzV2+u( )
在量子力学中,任意力学量F的平均值F均可由该力学量对应的算符F通过下式求得
F— I 。( ,t)F ( ,t)d
需要指出的是,在物理学中,只有其平均值为实数的算符才能表示量子力学中的力学量。
如果对任意函数 , ,算符A 满足
I 。A t—I(A ) r
则称算符A 为厄米算符。容易证明,厄米算符的平均值是实数,即
A—J 。A dt=j.(A )。 dt—j. (A )。dr
I( 。A )’dt— A。
因此,表示力学量的算符必须是厄米算符。
由于量子力学中的态满足迭加原理,所以表示力学量的算符还应当是线性的。
线性厄米算符作用在波函数上,其物理意义为:在波函数所描述的状态下,对微观粒子的某个力学量F
进行测量,在测量过程中可能会出现不同的结果,但对同一状态进行多次测量,力学量F的平均值将趋于一
个确定的值A。而每一次测量结果相对于平均值都有一个误差
△ F = F — F
在量子力学中,引入算符
△ F — F — F
来表示力学量的偏差,故力学量均方偏差的平均值为
丽z—I 。(p—F)z r
由力学量算符的厄米性,上式可写成
丽。一I[(F一 )-1 [(F—F)Cldr
— II(F—F) I。dt≥ 0
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·22· 新疆师范大学学报(自然科学版)
如果体系处在一种特殊的状态 ,在此态下,测量力学量F有完全确定的结果F ,则称这种状态 为
力学量算符F的本征态。在本征态下面 一0,显然有被积函数为零,即
p 一F
该式的物理意义十分明确,在算符F的本征态 下,对力学量F进行测量,测量值就是该本征态对应的
本征值F 。
对微观粒子的任意状态 ,由迭加原理其可表示为
一ΣC n=1,2,⋯ ”
此时系统有可能处于 态, z态,⋯ ⋯ ,对力学量F进行测量时,可能出现各种不同的结果F ,n一1,2,

,但所有可能的结果一定是F的本征值之一。
由此可见,在任意状态 下对力学量F进行测量,实际上就是求解力学量算符
的本征方程 一F
的解,从而获得力学量算符F的一系列本征函数 和其对应的本征值F ,它们就是一切可能的测量值。尽管
在每次测量前不可能预言测量的结果,但对每个测量值出现的几率都能给出明确的描述。这个几率可由下面
的讨论给出。
设状态
一ΣC
是归一化的,在此态下,力学量F的平均值为
F一 F~bdt—i(ΣC 二) (ΣC )dr
vo n n
一Σ Σc c dr
m “
一Σ Σc c F dr
m “
一Σ Σc c F 占
一ΣC2c F
一Σ l cn l F
可见,lC l 即为测量值,是F 的几率,显然有
l Cn l = 1
我们以讨论氢原子中电子的能量为例,进一步认识力学量算符。
设描述氢原子的状态的波函数为 ( ,t),求解氢原子的能量,可解能量算符的本征方程
日 = E
(式中n 一一 2m + u( )是能量算符),其实质就是在 ( ,t)态下,对氢原子的能量进行测量。
解方程得(解方程的过程较繁,省略)
.1' 一R .1(r)Y1 (0, )
一一
1
而 n= 1’2'⋯ ·
L= =而n。h。 l一0,1,⋯ ⋯ ,n一1
L z— m h m ::=0,± 1,± 2,⋯ ⋯
其中的量子数n,l,m 均是在解方程的过程中由波函数的标准化条件及边界条件的限制而自然得到的

其结果表明,氢原子只能处在由量子数n,l,In确定的一系列定态,在定态下有确定的能量E ,由于量子数是
分立的,因此氢原子的能量是不连续的。
对氢原子的能量进行实际的测量发现,它确实有一系列可能的值En,n一1,2,⋯ ⋯ ,而它们恰恰就是也
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第3期 王庆领等 算符与量子力学中的力学量 ·23·
仅是氢原子能量算符的一系列本征值,其次,由理论得到的氢原子的电离能为13.6eV,原子直径为1A 也与
测量值相吻合。这种理论结果与实践相吻合,着实让人惊叹不己。
另外,在对微观粒子的不同力学量同时进行测量时,一般是不可能使每个力学量都获得准确的值的,即
使是从理论上也是如此。这与所用实验仪器的精度或实验者的能力无关,而是微观粒子的二象性所带来的必
然结果,这就是量子力学中的不确定关系。不确定关系指出了用经典方法描述微观粒子所产生误差的极限,
以精炼的数学形式反映了微观粒子的二象性,是量子力学中的一个十分重要的原理。算符理论对此关系给出
了严格的证明,并以其独特的表达方式给出了不同力学量和其算符间的联系:
如果,[A,B]一0即两算符对易,则两算符有共同的本征态,在本征态下,A,B所代表的力学量可同时准
确确定。
如果,[A,B]一ik即两算符不对易,则两算符没有共同的本征态,在同一态下,A,B所代表的力学量不
能同时准确确定。同时测量所带来的误差一定满足
△ A .A B >/ 百k
通过上面的讨论,我们可以看到,无论是算符的引入,还是把算符与力学量联系起来,都是那么自然,那
么合理,即没有违背常理,也并非令人莫名其妙,它只不过是利用数学手段来研究物理问题的一种我们还不
太熟悉的新方法。所谓“力学量用算符表示”这一量子力学的假设,包含着如下物理意义:
1.力学量的平均值与算符的关系为:
F=Σ 。( ) ( )d
2.力学量的测量值与该力学量算符的本征值之间的关系:
实验中测得的力学量的值,就是该力学量所对应算符的一系列本征值。
3.力学量之间的关系也可通过算符之间的关系反映出来:
相互对易的算符,它们对应的力学量同时具有确定的测量值。
讨论至此,算符在我们眼里,早己不是单纯的运算符号,其丰富多彩的物理内容,完善的数学形式,使得
一 个枯燥无味的算符获得了无限的生机。
1 文先俊.量子力学.武汉出版社,l 997.3
2 蔡建华.量子力学.北京:人民教育出版社,l 980.4
3 蔡凤鑫,王海志.量子力学.开封:河南大学出版社,l 990.5
参考文献
Calculatus and the Mechanic Capacity in Quantum Mechanics
W ang Qingling Zhang Li
(Department of尸hysics,Xinjiang College of Education。Urumqi,830043)
Abstract The paper discusses the relations between mechanic capacity and calculatus in quantum
mechanics.The calculatus should be the linear Erme Calculatus.whose function for waveequation iS in
nature the measurement of mechanic capacity corresponiding to the calculatus in the state of expression of
wave equation.All the possible values from the measurement are nothing but a sets of self demonstrated
values of the calculatus.And the relations can be expressed by the relations between calculatuses.
Kkey W ords M echanic capacity Calculatus state equation Self-——demonstrated equation Self-——
dem onstrated va1ues
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