李淼 第十四章 全息原理的实现

第十四章 全息原理的实现


第一节


李淼


贝肯斯坦关于黑洞熵的研究直到今天还是量子引力中最为重要的工作。他
和霍金获得的黑洞熵公式不依赖于具体的量子引力理论，却是任何量子引
力理论必须满足的。我们前面谈到的在弦论中理解这个公式的进展就是对
弦论的一个极大支持，正因为如此，霍金本人才由对弦论的置疑态度改变
为支持弦论。去年注意新闻的人知道霍金在中国大谈M理论和膜世界，甚
至使得不了解内情的人以为M理论就是霍金本人的理论。当然我们不能责
怪霍金的态度变来变去，相反，我们应该欣赏这种态度，一种对新进展采
取开放观点的态度。霍金的影响之大，大概超过任何一个活着的物理学家。
去年正当国际数学家大会，我打的，司机问我相信不相信膜世界，并说，
这是霍金的理论。高兴的同时，我不免苦笑。

自由度是一个基本理论的重要性质。在场论中，给定一个空间体积，原则
上没有对自由度的任何限制。场论中的紫外发散的来源就是因为任意高能
或者任意小的空间都有自由度。当引力介入，自然的想法是普朗克长度带
来距离上的限制，理论有一个紫外截断。紫外截断的引入使得一定空间体
积中的自由度成为有限，很类似将连续的空间变成格子，所以自由度的个
数与体积成正比。普通热力学也支持这种看法，因为一般地说能量是一个
空间上的延展量，也就是说能量与体积成正比。给定一个体积和一个紫外
截断，最大的能量的载体是一个达到普朗克能标的量子。将最小能量的量
子到最大能量的量子加起来，熵也与体积成正比，从而也是一个空间上的
延展量。

贝肯斯坦曾经考虑一个问题：给定一个系统的尺度（假定三个空间方向上
的尺度一样大）以及一个能量，该系统最大可能的熵是多少？如果没有引
力介入，或者引力的作用是微弱的，他的结论是，熵的上限是体统的尺度
乘以体统的能量。这看起来似乎与前面说的熵是空间上的延展量矛盾，因
为假如能量与体积成正比，贝肯斯坦熵的上限就与尺度的四次方成正比。
其实这里没有矛盾，因为我们还没有计及引力的作用。当引力存在时，贝
肯斯坦上限依然有效，但能量不再是空间上的延展量。

这就是黑洞的作用。能量足够大，引力使得整个系统成为不稳定系统，系
统塌缩形成黑洞。我们知道，黑洞的能量，也就是质量，与视界半径成正
比。将这个结果带入贝肯斯坦公式，我们发现，熵的上限与系统尺度的平
方成正比，也就是和黑洞的视界面积成正比，这就是贝肯斯坦－霍金熵公
式。

这是很奇怪的结论，黑洞的作用使得我们通常的微观直觉失效，从而熵不
再是空间延展量。由于黑洞本身是宏观的，所以这个结论与空间的最小截
断无关。我们看到，黑洞的存在揭示量子引力的一个反直觉的性质，微观
与宏观不是独立的，体系的基本自由度与宏观体积有关。

由于贝肯斯坦－霍金熵公式中出现普朗克长度，直观上黑洞视界似乎是一
个网，每个网格的大小是普朗克长度。如果我们相信量子力学在黑洞物理
中依然有效，那么黑洞内部的所有可能为外部观察者看到的自由度（通过
霍金蒸发等过程）完全反应在视界上。特霍夫特在1993年猜测，这是一个
全息效应，不但黑洞本身，任何一个系统在量子力学中都可以由其边界上
的理论完全描述，1994年沙氏金将这个猜测提升为一个原理，任何含有引
力的量子系统都满足全息原理。沙氏金还提供了一些支持这个原理的直观
论证。

虽然特霍夫特本人有一段时间致力于构造类似元胞自动机模型(cellular
automaton)试图实现全息原理，在很长的一段时间内很少有人将这个原理
当真。直到1997年底和1998年初，情况才彻底改变。

促成改变的原始文章是马德西纳的著名文章，出现于97年十一月份。在98
年二月份之前，人们对这篇文章的普遍看法是，想法很大胆，但肯定是错
的。时至今日，马德西纳的文章已成为弦论中引用率最高的文章。

马德西纳的工作部分起源于矩阵理论。在验证矩阵理论的看法是否在高维膜
上成立时，马德西纳计算过膜之间的相互作用，以及在什么情况下仅仅计及
最低能的开弦的计算是正确的。这个极限就是他在十一月份的文章中采取的
极限，他将这个极限看成是猜想的重要证据。今天看来，这个极限虽然在当
时启发他想到这个猜想时起到一定的作用，物理上不见得是站得住脚的。

马德西纳猜想经常被叫作反德西特/共形场论对偶，因为他的猜想说，一定的
反德西特空间上的量子引力，准确地说，弦论或者M理论，对偶于比反德西特
空间维度更低的共形场论。举例来说，五维反德西特空间上的弦论对偶于四
维N等于四超对称规范理论。

为了理解这个猜想，我们还是以五维反德西特空间为例。先解释一下什么是
反德西特空间。人们在研究宇宙学时，应用爱因斯坦的宇宙学原理总是假定
空间有极大对称性，例如三维欧几里德空间就是一个极大对称空间，有平移
对称性和转动对称性。球面也是一个极大对称空间，对称群与欧几里德空间
的对称群不同，球面的对称群其实就是比球面高一维的欧氏空间中的转动对
称群，因为我们可以想象将球面嵌入欧氏空间。除了欧氏空间和球面外，还
有一类空间也是极大空间，这就是罗巴切夫斯基空间，空间具有负曲率。罗
巴切夫斯基空间不能被嵌入比其高一维的欧氏空间中，却能被嵌入比其高一
维的闵可夫斯基空间中，所以对称群不是转动群，是高一维闵氏空间中的洛
仑兹群。

在宇宙学中，有一类更加特别的时空，不但空间有极大对称性，整个时空也
有极大对称性。闵氏空间就是一个具有极大对称的时空，对称群是洛仑兹群
加上时空平移群。闵氏空间是欧氏空间的直接推广，球面的推广叫做德西特
空间，对称群是比其高一维的闵氏空间中的洛仑兹群，因为德西特空间也可
以被嵌入闵氏空间，但嵌入的方法与前面的罗巴切夫斯基空嵌入的方法相反，
所以前者不但有时间，时空的曲率也是正的。那么，具有负曲率的极大对称
时空是什么？这就是反德西特空间。反德西特空间有时间，曲率是负的，所
以不能被嵌入高一维的闵氏空间中，但可以被嵌入比其高一维的具有两个时
间方向的时空中。

反德西特空间只有一个时间方向，由于曲率是负的，如果要成为爱因斯坦场
方程的解，必须有一个负的宇宙学常数作为负曲率的源，而通常的暴涨宇宙
很类似德西特空间，对应于一个正宇宙学常数；我们现在的时空，根据天文
观测，也有一个正的宇宙学常数，所以也接近德西特空间，而不是反德西特
空间。尽管反德西特空间与闵氏空间同样不是我们世界的时空，研究它是弦
论中的一个重要方向，虽然理由与粒子物理中研究闵氏时空的理由不同。

现在，我们看看反德西特空间如何出现在弦论中。回到五维反德西特空间这
个例子。许多年前，史瓦兹在构造IIB型十维超引力时，就注意到存在反德
西特解，在IIB超引力中，有一个四阶反对称张量场，这个张量场的场强是
自对偶的，是一个五阶张量场。当这个场强不为零且有极大对称时，时空不
再是十维闵氏空间。最简单的情形是，时空分离为两部分，一部分是五维球
面，有正曲率，另一部分是五维反德西特空间，具有负曲率。

IIB超引力中的反德西特空间解在当时不过是十一维超引力中的四维和七维
反德西特解的推广。十一维超引力中存在一个三阶反对称场，场强是四阶张
量，根据不同情况，反德西特空间可以是四维的，也可以是七维的。在四维
的情形，另一部分是七维球面，而当反德西特空间是七维时，另一部分是四
维球面。在当时，这个“机制”被用来做自发紧化，遗憾的是，如果我们要
求球面也就是内部空间的半径足够小，那么反德西特空间的“半径”也很小，
从而曲率太大了。

IIB理论中的四阶反对称张量场对应的荷是D3膜。D3膜存在时，张量场自然
不为零，但如果有一个球面，似乎不要求存在D3膜作为反对称张量场的源，
因为球面是一个常曲率的球面，不会缩小为一个点，所以反对称张量场的通
量不起源于一个点。但这仅仅是假象。