麦克斯韦的电解理论,实际上隐含一种对称性,先称之为梯度变换对称

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Yang - Mills 理论、维度正规化及其它
X
张端明　　　黄明涛
(华中科技大学, 　武汉, 　430070)
　　摘　要　首先介绍了1999 年度诺贝尔物理学奖得主,胡夫特和维尔特曼的维度正规化方案. 然后简要阐
述Yang - Mills 理论的基本思想、发展概况,尤其是其中的重整化问题和真空对称性自发破缺机制,评述了作
为20 世纪量子论发展的最高阶段———量子化的Yang - Mills 理论,对于整个物理学,尤其是基本粒子的基本
相互作用理论的巨大贡献. 最后展望了21 世纪物理学发展的趋向.
关键词　Yang - Mills 理论; 　维度正规化; 　重整化; 　弱电相互作用的标准统一模型; 　量子色动力
学; 　大统一理论; 　超理论; 　非阿贝尔局域规范理论
中图分类号: 　O413 　　文献标识码: 　A 　　文章编号: 　1005 - 7188 (2001) 01 - 0253 - 06
20 世纪的未叶,1999 年10 月12 日瑞典皇家科学院庄严宣布,该年度的诺贝尔物理学奖授予荷兰乌
特勤支(Utrecht) 大学的特·胡夫特(Gerardus’t Hooft) 教授与美国密立根(Michigan) 大学退休教授维尔特曼
(Martinus J . G. Veltman) . 两个人均为荷兰人. 授奖的理由是两位获奖者“给粒子物理理论提供了坚实的数
学基础. 尤其是,他们证明,该理论可以用于物理量的精确计算. 最近欧洲和美国的加速器实验器的实验证
实了许多理论计算结果. ”
皇家科学院还着重赞扬了他们的工作对于“阐明在物理学中弱电( Electroweak) 相互作用的量子结构”
的巨大功绩. 他们获奖的工作都发表在欧洲核物理(Nuclear Physics) 上,即文献[1 ]～[4 ] .
这一宣布,引起巨大轰动. 他们的贡献具体地说,就是解决了当前量子论发展的最高阶段———量子化
的Yang - Mills 场的重整化问题. 这一奖项的颁布,实际上也可以看作是对于诞生于20 世纪伊始的“量子
论”的辉煌成功的回应. 同时这一项似乎是纯理论的工作,却不断得到实验证实和支持的成果,获此殊荣,
也是科学界对新世纪理论工作航向的一次执着的认定,以及量子论更为深刻、更为迅猛发展的期盼和信
念. 回忆20 世纪在极端条件,或超冷温,或超高压,或人工晶体反色散介质中,许多奇异量子现象粉翩而
至:激光沾胶、光学喷泉、B - E 凝聚、原子激光、量子信息隐形传递[5 ] 、量子霍尔效应、量子分数霍尔效应等
等,使人目不暇给. 这一切预示,新世纪21 世纪中,量子论会走向更深刻、更精致、更奇妙的新的发展阶段,
会达到新的高峰.
1 　Yang - Mills 理论及非阿贝尔规范对称性
早在20 世纪初叶,人们认识到麦克斯韦的电解理论,实际上隐含一种对称性,先称之为梯度变换对称
性,后来多半称U(1) 规范对称不变性. 就是说,四维位势在变换下
Aμ( x) A′μ( x) = exp ( iqμQ( x) ) Aμ( x) 　　(μ = 1 ,2 ,3 ,4) (1)
方程形式保持不变. 也称麦克斯韦方程具有规范不变性. 在(1) 式中, qu 一般来说是依赖于对称性的常数,
Q ( x) 则为依赖于时空点的函数. 容易看出,变换(1) 实际上是个相位因子变换. 如果Q ( x) 是常数,则变换
上表示,所有位势在全空间转动相同相位, 此时称为整体(Globar) 规范对称性. 分析表明, 这一对称性直
接导致电荷守恒定律.
在一般情况下,变换(1) 中Q = Q( x) ,与时空点有关系. 亦即此时位势的相位变换,在空间各点是不
相同的. 在这样变换下,如果方程仍然具有对称性,显然是更广泛的对称性,称为局域(local) 规范对称性.
费曼(Richard Feynman) 证明,局域规范对称性,加上洛仑兹变换,可以导出麦克斯韦方程组.
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X 收稿日期:2000 - 08 - 27
作者简介:张端明, (1941～) ,湖北武汉人,教授,博士导师. 主要研究方向:量子场论及相关应用;凝聚态理论;非线性光学材料理论.
第10 卷第1 期
2001 年1 月
云南民族学院学报(自然科学版)
Journal of Yunnan University of the Nationalities (Natural Sciences Edition)
Vol. 10 　No. 1
Jan. 2001
杨振宁早就想将局域规范对称性纳入到强相互作用理论,未能成功. 1953 年,他由芝加哥大学进入普
林斯顿高级研究院,而后又到了布鲁洛文国家实验室. 在此他与其同事米尔斯(Robert Mills) 在1954 年首
先提出非阿贝尔规范对称性的概念. 简单地说,就是在变换(1) 中,若qμ不是一般常数,而是矩阵. 换言之
此时变换(1) ,不仅随时随地变化不一样,而且一般说来,任意两个相位因子不可对易. 即
　　　　　　　　qμqν ≠ qνqμ (2)
这就是非阿贝尔性. 杨振宁与米尔斯引时的对称性是SU(2) 群. 文章发表之际, 杨振宁、米尔斯尽管他们
构造一个现实的强相互作用的物理模型未能成功,但是他们发现一种新型规范对称性,足可发表[6 ] .
通常可以交换次序的操作,称为阿贝尔变换. 图1 表示平面上铅笔的旋转, 就是阿贝尔变换的一个例
子,请注意, a - b - c 与d - e - f 两种次序交换的旋转,结果(铅笔最终位置) 一致. 图2 表示的是三维空
间铅笔的旋转,就是典型的非阿贝尔变换的实例. 注意,对于三维旋转,次序不同的两个旋转,最后的结果,
即铅笔笔尖指向完全不同. 杨振宁—米尔斯的理论的发表,使人们研究的视野,由阿贝尔规范对称性转到
了非阿贝尔规范对称性了. 这是量子论发展史上的里程碑.
将铅笔放在桌上　首先转动900 　　再继续转动1800 　　重新来一次　　　首先旋转1800 　　　再继续旋转900
但操作顺序相反.
将铅笔放在桌上( a) 图的原处.
图1. 在平面上铅笔的旋转
将铅笔水平放置, 　转动900 ,使铅笔　然后转动1800 , 　　将铅笔放置于　　转动1800 ,不改变　　再转动900 ,
笔尖朝右指向地面使笔尖朝上( a) 图原处笔尖指向,只是笔尖指向地面
铅笔本身转半圆
图2. 　三维空间转动
杨振宁与米尔斯当时为何未能构造成功强相互作用理论呢?困难何在?原来量子化的规范场论告诉我
们,规范粒子质量必须为零,其作用在于传递相互作用. 量子电动力学就是U(1) 规范理论,其中传递电磁
相互作用的粒子叫光子. 光子的静质量确实为0. 电磁作用是一种长程力,即力的强度大致以1/ r2 的规律
递减,随距离r 的增大变化较为缓慢. 而当时认为的强相互作用,核子之间相互作用的强度,则是随距离以
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云南民族学院学报(自然科学版) 第10 卷
指数规律减小,就是说在10- 15 m 以外就察觉不到了. 这是短程力.
如果用简单的测不准关系估算
　　　　　　　　△p ·△r ≈ ¶ (2)
可以认为( △p) 2 ≈ △E≈ mc2 ,则从(2) 可得规范粒子质量( Yukawa ,汤川说是这样估算π介子质量的) 为
　　　　　　　　m ≈ ¶2/ ( △r) 2 ·c2 ≠0
亦即要求规范粒子质量不为零,这就破坏规范原理了.
实际上,现在人们知道,核力并不是强相互作用的本身,正象分子力—范德瓦尔斯力不是核外电子与
核的电磁作用本身一样. 核力是夸克与夸克之间的强相互作用力的“剩余力”,亦如范氏力是原子内电磁相
互作用的剩余力一样. 强相互作用的现代基本理论是量子色动力学(Q. C.D) ,传递强相互作用的规范粒子
是色胶子, 其静止质量确实为0.Q. C.D 当然是现代Yang - Mills 理论的重要组成部分[7 ] . 其对称性是
SU(3) 群,不是Yang - Mills 猜测的SU(2) 群.
最有趣的是,日本物理学家南部阳一郎(Y.Nambu) 在60 年代初,将超导理论研究中用到的对称性自
发破缺机制(Spontaneous symmetry breaking) 介绍到Yang - Mills 理论的研究领域. 现在人们也将此机制称
黑格斯(Peter Higgs) 机制[8 ] . 简单说,此时对称性并未真正破坏,但是隐藏起来,而规范粒子都靠“吃掉”黑
格斯粒子获得质量. 在Q. C. D 中,不需要这种机制,而在后来的弱电统一理论中,这种理论却大放异彩.
Yang - Mills 理论应用的真正障碍,在于其重整化,实际上在量子电动力学的发展过程中,这个问题就
曾严重困扰过人们. 不过由于Yang - Mills 理论的高度非线性,使得问题变得更复杂、更严重了.
2 　Yang - Mills 理论的重整化与维度正规化方案
具有讽剌意味的是,促成量子论诞生的基本动机,避免在黑体辐射中,经典理论在短波部分(如瑞利
—金斯公式) 出现“发散”,即紫外灾难. 就是说,出现物理上无意义的无穷大. 这个问题,在量子论中甚至
变得更严重,更令人头疼. 量子论在20 世纪30 年代,发展到量子电动力学阶段,以二次量子化为特征的量
子场论自此逐渐发展起来. 人们很快发现,利用Q ·E ·D 精确计算物理量,如自能、质量和电荷时,在微计
算时,二次项出现发散,即无限大,从而使得计算具有不确定性.
人们很快弄清楚出现发散的原因. 在普通量子力学,一个电子的单粒子系统,在二次量子化后,其周围
出现不断产生、湮灭的虚粒子对云,如图三所示. 由于我们都是在一定距离观察,因此无法直接观察裸电
子,而是被虚粒子云所“屏蔽”的电子. 即使“裸电子”的物理量是发散的,但是“物理”电子———穿衣的电
子的物理量却是有限值,它们也是通常物理测试的观察值.
1945 —1947 年间,日本
物理学家朝永振一郎(Sin -
Itiro Tomonaga) ,美国物理学
家许温格(J ulian Schwinger)
和费曼(R. Feynman) 各自
独立发展一套教学方案, 即
重整化(Renor - malization)
方案[9 ] . 该方案以一种确定
的程序,可从物理量的计算
值(发散量) ,扣除由于无法
观察的背景效应(由于虚粒
子云所产生) ,一般说也是发
散的,剩下的就是经过辐射
修正(即虚粒子云造成的可观察效应
部分) 的物理量, 如电荷、质量与自
能,等等.
令人惊异的是,重整化理论尽管
其数学的合法性(无限大减去无即
大! ?) ,但是其结果却是以极高精度
被实验证实. 当时就如氢原子的超精
细结构— 兰姆(W. lamb) 能级移
动[10 ] 、电子的反常磁矩[11 ] 和电磁作
用精细结构常数等实验而言,重整化
的理论计算结果与实验值的吻合竟
达到4 位到8 位有效数字. 20 世纪90
年代末叶,美国著名实验物理学家德
迈尔特(Hans Dehmelt ,1989 年诺贝尔物理学奖得主) 成功地利用离子阱技术测量电子的迥旋磁因子,精度
达到12 位有效数字,与重整化计算结果的头10 位有效数字完全吻合[15 ] . 从来的物理理论,也没有达到如
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第1 期张端明等: 　Yang - Mills 理论、维度正规化及其它
此精确的地步. 重整化理论获得巨大成功. 人们从此相信,量子电动力学是一个可以用于物理量的精确计
算的可靠理论.
Yang - Mills 的量子规范场理论问世伊始,人们自然要问:这个理论出现的发散可以重整吗?否则就毫
无意义. 但是,线性理论—Q. E. D 的重整化就异常复杂. 须知,在1948 年美国宾夕法尼会议上,许温格报
告其关于重整化的数百页繁复、冗长的计算结果,几乎令与会的科学家目瞪口呆. 玻尔(Niels Bohr) 和奥本
海默(Robext Oppenheimer) 这样物理大师深深为其工作的浩繁、思想的卓越和方法的巧妙而心驰神醉. 如
今Yang - Mills理论比起Q. E.D要复杂得多,是一个高度非线性的方程组,其重整化的难度就不言而喻了.
20世纪60年代,许多知名物理学家为此耗尽心血,问题依然无法解决. 甚至于Yang - Mills理论到底可否重
整都不得而知,何况重整化的具体路线呢?
但是,这个难题在1971 年被荷兰的年轻博士(时年24 岁) 特·胡夫特及其导师维尔特曼解决了,震动
了整个物理学界. 他们重整化的方案之奥妙,竟然连世界著名的理论物理学家温伯格(S.Weinberg) 开始时
阅读其论文也莫明其妙. 因为他们提出的重整化方案,现在称为维度正规化,与传统的重整化方案迥然不
同. 传统的方法是,将积分限“截断”(Pauli - Villars)
∫∞
0
⋯ = lim
A →∞∫A
0
⋯ (3)
正规化;或将被积函数中减去上函数,以减少发散性. 如玻色子传播的四动量积分
∫d4 p · 1
p2 - m2 ∞2 (二次发散) (4)
若减去1/ p2 - M2 ,即
∫d4 p lim
M →∞
[
1
p2 - m2 -
1
p2 - M2 ] = lim
M →∞∫d4 p
m2 - M2
( p2 - m2) ( p2 - M2)
(5)
(5) 式的积分已经不发散了.
特·胡夫特等的维度正常化的核心是,将4 动量积分,变成4 - ε积分,从而消去发散. 简单表示就是
∫d4 p ⋯ lim
ε=4- n →0∫d np ⋯, (6)
这个积分对足够小的时空维数或复维数是收敛的. 特·胡夫特还证明Yang - Mills 场,为弱电统一模型
SU(2) á U(1) 、σ模型等都是可以用维度正规化方案重整的. 维特尔曼在60 年代用流代数,证明Yang -
Mills 理论在某些特定条件下是可以重整的,并且编制一套计算程序“Schodship Computer Program”,可以利
用符号,将复杂的量子场论的表达式,表达成简单的代数形式,实际上用于检验计算和推演,极为有效.
在1966 - 1967 年,巴基斯坦科学家萨拉姆(A. Salam) 与温尔格已经成功地构造将弱相互作用与电磁
相互作用统一起来的Yang - Mill s 理论,即所谓SU (2) á U (1) 的弱电统一标准模型[12 ] ,该模型利用黑格
斯机制,预言除了光子而外,还存在三种质量极大的规范粒子———中间玻色子W±、Z0 . 特·胡夫特的重整
化方案使得弱电统一理论可以用于物理量的精确计算, 人们对此兴趣突然大增, 随着1973 年该理论所预
言的所谓中性流(Neutral Currents) 的发现[13 ] ,1983 年中间玻色子W±、Z0 的发现[14 ] . 弱电统一理论得到人
们普遍承认. 这是继麦克斯韦理论成功将电与磁作用统一起来后,第二个成功的统一场论. 这是量子论的
又一辉煌的里程碑. 追本溯源,正是特胡夫特的重整化方案使得弱电模型,原来这只不起眼的青蛙,一下子
变成举世瞩目的“王子”了.
3 　新世纪伊始的几点思考[15]
3. 1 　量子化的局域规范理论,即Yang - Mills理论是20世纪物理学发展的最宝贵结晶,是当前量子论发展
的巅峰.
　　我们从特·胡夫特的工作切入,对Yang - Mills 理论进行扫描. 目前人们发展的四种基本作用:电磁作
用、弱作用、强作用与万有引力,已有三种作用的基础理论是建立在Yang - Mills 理论基础上,它们是描写
强相互作用的量子色动力学(Q. C.D) 和描写弱作用与电磁相互作用的弱电统一模型,并且得到越来越多
的实验支持. 在高能物理中,以上两个模型的直接推广———标准模型SU (3) C
á SU(2) á U(1) ,与当前高
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云南民族学院学报(自然科学版) 第10 卷
能物理吻合甚好,得到人们信服. 一个现实的引力规范尚有待建立. 但是,从Yang - Mills 理论基础发展起
来的超局域规范理论(超引力) 、超弦(Superstring) 理论等, 受到许多理论家的青睐, 展未许多引人入胜的
魅力,尽管其实验基础极其薄弱,简直可视为尚属阙如.
无论如何,值此新世纪伊始,我们看到的是,在基本相互作用的研究与物质世界最深层次的探索中,竟
是Yang - Mills 理论一家之天下. 由此不难看出,杨振宁先生在1954 年提出的不可交换(非阿贝尔性) 的局
域规范对称性的思想,是何等的超凡绝俗!无怪乎接连几次有人提名他再次获得诺贝尔奖. 无怪乎有人提
出,他是20 世纪下半叶最伟大的物理学家. 当然,量子化的Yang - Mills 理论是量子论的继承与发展. 它的
成功,就是量子论的新凯歌.
当然,综观上述,我们也明白何以杨先生迄今尚未再次获得诺贝尔奖的“原因”, 或反对理由. 毕竟
Yang - Mills 理论中两点关键部分:重整化问题与自发破缺机制,不是杨先生解决的. 当然许多人对此是颇
不以为然的.
3. 2 　物理学中综合交融的趋势与学科分支细化,两种趋势日渐增强,反映物理学尽管涉及的领域日趋广
大和复杂,但是其内在的统一性,处处显露.
　　众所周知,自发破缺的概念本来来自凝聚态物理的越导研究,但是在Yang - Mills理论的发展中,起到
何种关键作用. 而自发破缺与Goldstone 定理、元激发这些在凝聚态物理中最重要的理论和概念联系在一
起.
重整化群在凝聚态物理的相变理论中,引起一场革命性变化,同时在研究量子色动力学的所谓跑动耦
合强度问题(如趋近自由等) 也功不可没.
重整化的概念,在量子场论中,至为重要, 我们已经叙及. 但是在凝聚态物理中, 电子与晶格振动(声
子) 的相互作用也导致“重整化”,不过此时重整化不引起发散,其结果叫有效质量而已.
物理学的分支与细化是物理世界多样性的必然结果,而其领域的融合涉透则是物理世界统一性的必
然反映. 实际上,几乎所有相互作用都能用Yang - Mills 理论得到有效而可靠的描述,这不正是物理世界内
在统一性最生动、最真确的证明么?
4 　结束语
归根结底,物理学是一门实验的科学. 其发展的最佳模式是理论与实验的同步协调发展. 理论可以适
度超前,但是绝不能脱离当前的物理实验条件. 否则就必然成为无源之水,无根之木.
量子论的发展生动证明这一论断. 黑体辐射出现紫外灾难,导致普朗克提出量子假说. 原子光谱的分
立性,导致玻尔的旧量子论问世. 德布罗意波假说的提出,薛定谔与海森堡建立量子力学,人们立刻用中子
衍射、量子隧道效应等经典实验证明其正确性. 重整化理论诞生前夕,兰姆能级移动、电子反常磁矩均已发
现. 夸克模型的诞生,解释了重子和介子的质量谱,而其预言:Ω- 超子,迅即发现, C 夸克( J / Ψ 介子) 的发
现,导致4 夸克理论建立. b、t 夸克的发现,证实标准6 夸克模型的合理性Q ·C ·D 预言的多喷注,弱电模
型预言的中性流现象, W±、Z0 粒子,标准模型预言的Q ·C ·D 中的弱电现象,都相继被实验证实,等等. 这
些事例都是理论与实验协调发展的极好范例.
但是,在物理学的发展史上,也有不好的范例. 例如在超导的研究中,80 余年来一直是理论远远落后
实验,实验工作缺乏必要的指导和依傍. 直至1957 年B ·C ·S 理论建立低温超导一直缺乏基本理论解释.
1986 年高温超导发现至今,一个被广泛接受的基础理论尚未建立起来. 尽管这并不是人们的自观选择,但
毕竟令人不快.
另外一种趋势,就是理论发展过于超前实验,也是值得注意. 目前在高能物理中盛行的所谓超引力、超
弦、M理论,等等,缺乏实验基础. 例如要验证在1013Gev 处统一的大统一理论,必需建造1 万亿公里长的加
速器,这当然远远脱离现实实验条件. 如果一个理论没有实验基础,同时在可预见的将来,无法用实验验证
其正确,长此以往,人们必然失掉兴趣,更难给予支持.
须知,人们可以构造许许多多逻辑自洽的理论模型. 但是现实的物理世界只有一个. SU(5) 大统一模
型十分精致、富于魅力,但是风行一时后不再为人们所关注,难道是其数学结构有问题吗?难道是其逻辑系
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统性发生问题吗?都不是!唯一的原因,实验结果(质子衰变未发现) 否定了它. 让我们记住这个教训.
时值量子论诞生100周年, Yang - Mills理论问世也近半个世纪,让我们在新世纪站在20世纪量子论发
展的巅峰,高瞻远瞩,更快地前进.
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Yang - Mills Theory Dimensional Regularization and Other’s
ZHANGDuanming
(Huazhong University of Science and Technology ,Wuhan ,430070)
Abtract 　This paper introduces the theory of dimen - sional regularization putted forward by’t Hooft and Velt2
man , awarded the 1999 Nobel Prize far Physics. Then it expounds the basic idear and develops of Yang - Mills gaug2
ing theory concisely , especially , relating renormalization and vacuum spontaneous symme try - breaking , and com2
ments great contribution to all physics , especially , to the theory of interactions beween the elementary particles offeried
by the quantum Yang - Mills theory , as the hightest developing step of the quantum theory in 20 era. Last it is
prospects developing tendency of the physics in 21 era.
Key words 　Yang - Mills theory ; 　Dimensional regu - larization ; 　Renormalization ; 　The unified stadard
model of electrowear interaction ; 　Quantum chromodynamics ; 　Grand unification ; 　Super theory ; 　Non abellian lo2
cal gauging theory
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