找出系统拉氏量(先找自由系统) 拉氏量(拉格朗日量) :描述一个物理系统演化过程中本质性质的函数.它可以认为是 物理演化的"基因

量子化纲领_百度文库
2010年1月10日 ... 而对于场系统,其广义坐标就是场本身(标量场) (旋量场) A (矢量场) , , 等,而广义速度就是场对时间的偏微分: , , A . 这里要注意到一点: 场可以被视为 ...
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量子化纲领: 1,找出系统拉氏量(先找自由系统) 拉氏量(拉格朗日量) :描述一个物理系统演化过程中本质性质的函数.它可以认为是 物理演化的"基因". 自由系统,就是只含运动项与质量项的系统,不含相互作用. 1 2 mxa 2 1 2 2 3 而标量场的拉氏量则可以为: L m dx 2 比如,点粒子系统的拉氏量为 L 由于场一般是弥散的, 所以场论中的拉氏量肯定是对一个空间区域的积分, 因而场论中 更基本的是拉氏量密度: L 1 m2 2 . 2 通过拉氏量可以构造系统的作用量: S Ldt .作用量是物理系统的最重要不变量. 无论是在态演化 (系统演化) 过程中还是在对称变换操作下, 物理系统的作用量都是不变的. 由 演 化 不 变可 得 运 动方 程 , 又名 欧 拉 -拉 格 朗 日方 程 , 或拉 格 朗 日方 程 : L L L d L 0. 0 ,或对场论而言: qa dt qa 由对称操作不变可得 Noether 流. 2,找出广义坐标与广义速度对于粒子系统, 其广义坐标与广义速度就是我们熟知的 x 与 x 等, 可以统一记为 qa t 与 qa .而对于场系统,其广义坐标就是场本身 (标量场) (旋量场) A (矢量场) , , 等,而广义速度就是场对时间的偏微分: , , A . 这里要注意到一点: 场可以被视为由无数个粒子构成的系宗, 因而每个时空点上都有许 多个粒子,场的变化就是这些粒子的运动所导致的. 这里要注意:当一个系统的拉氏量给定以后,其广义坐标与广义速度是可以变的.比如 在经典点粒子物理学中我们可以选择直角坐标作为广义坐标, 也可以选球坐标作为广义坐标, 甚至可以选择它们的函数作为广义坐标,这里依然存在一定的任意性. 3,利用拉氏量来构造与广义坐标共轭的广义动量 对于经典点粒子系统, 广义动量就是 pa 里的 是广义的场,而不仅局限为标量场) . L L . 而对于场系统, 广义动量为 (这 qa 在任何(正则量子化的)量子力学体系中,广义动量和广义坐标都是最重要的,因为量 子力学体系中最基本的对易关系就是利用广义坐标与广义动量给出的. 4,给出系统的 Poisson 括号与哈密顿量,并用广义坐标与广义 动量将各力学量都表达出. 点粒子系统的哈密顿量为: H qa pa L ,其中对 a 进行求和. 而场系统的哈密顿量为: H L d x , 我 们 更 常 用 的 是 哈 密 顿 密 度 : 3 H L . 在经典物理(包括点粒子物理与场物理)中,哈密顿量都是很重要的量.它不仅给出了 (保守)系统的能量,还可以通过它构造出哈密顿正则方程来描述系统的演化.在量子力学 中,后者就体现为运动方程 i H ; i O H , O ,从而可以给出传播子. t t 所以,得到系统的哈密顿量是非常重要的,这点在经典物理和量子物理中都是. 而 Poisson 括号是量子化的基本依据. 量子化在操作意义上的最基本过程就是将 Poisson 括号替换为对易子(乘 i)而保持结 果不变,这个过程将基本物理量转化为了基本物理算符.因而,找出 Poisson 括号,就能找 出量子化(在操作意义上)的基础. 经典 Poisson 括号为: f , g f g g f qa pa qa pa 在场论中就是: f , g g g f x x x x f 对于广义坐标与广义动量,上述 Poisson 括号结果为: qa , pb ab ,对应的场论中 的情况就是: x , y x y . i 5, 进行量子化的第一步: Poisson 括号替换为对易子 将 (乘 ) , 并保持结果不变. 这里最关键的还是广义坐标与广义动量的 Poisson 括号: x , y x y , 将其进行算符化: i x , y x y . 通过这个步骤以后,作为数(或者张量)的场就被转化为了相应的算符.这一步为"算 符化" .要注意的是,这一步只是操作上如此,其物理意义并不明朗. 现在, 我们有了算符, 但光有算符还不行, 我们还需要算符作用的对象: 态空间 (Hilbert 空间) . 6,构造完备态空间构造态空间与完备基的方法有很多,我们可以利用运动方程(欧拉-拉格朗日方程)来 构造所需的态空间. 对于点粒子系统,运动方程为: L d L 0 qa dt qa 对于场论就是: L L 0 在自由场的情况中,平面波是运动方程的解,而任何函数都可以用平面波作展开,所以 自由场的平面波解就构成了自由场情况下的态完备空间. 另一方面, 场可以看作大量粒子的系宗, 而场的平面波解就对应到速度矢量为平面波波 矢的粒子, 从而一个波矢的平面波就对应具有一个相应动量的粒子, 从而平面波系就构成了 一个粒子态系,从而就可以构成一个态完备空间. 从而,我们可以利用自由场的平面波来构造算符所需的 Hilbert 空间. 7,利用上述态空间将广义坐标算符与广义动量算符都展开现在, 某个场算符作用在真空态上就会产生一个相应的波函数, 而这个波函数可以分解 为一系列平面波的叠加, 从而就在场算符与这组平面波之间建立了联系. 我们也将场算符用 平面波展开, 那么场算符展开后的系数就是算符, 而且这些算符作用在真空态上就能产生一 个对应平面波态. 这样, 场算符就可以用平面波展开为一系列系数算符的叠加, 这些系数算符就是升降算 符. 需要注意的是, 这里构造态空间与算符化的方法并不唯一, 而上述所选的方法就是"正 则量子化". 这里做展开的时候, 依然要满足广义坐标与广义动量的对易关系, 以此为条件可得到升 降算符的对易或者反对易关系. 8,用作为广义坐标与广义动量的场算符和升降算符来构造(重 写)物理力学量,使其成为算符这一步就将所有物理量都完成了量子化,从经典力学过度到了量子力学. 对于"二次量子化"的说明: 在上述八个步骤下, 事实上我们可以实现对任意经典物理系统的量子化改造. 不单单是 对于粒子的,也可以是对于场论的.因而,经典场论(比如电动力学与广义相对论)的量子 化得到量子场论 (比如完善的 QED 与还不明朗的量子引力) 和我们得到薛定谔等的量子力学 其实在本质上是一致的,都是相同的量子化操作,只不过操作的对象不同. 而历史上由于认知原因而产生的"二次量子化" ,事实上是一种误读: 我们从经典力学得到了量子力学, 物理量变成了算符, 而真实对象从粒子变成了波函数 ——一种复标量场. 而在考虑狭义相对论时空观以后, 我们发现相对论性量子力学不再是点 粒子的物理学, 而变成了场的物理学, 我们将波函数也量子化成了算符, 因而我们称其为 "二 次量子化" . 因而,在这个框架下,物理量量子化为"一次量子化" ,得到波函数;而波函数量子化 自然就是"二次量子化" ,是基于"一次量子化"的. 但需要看清的是, 这里事实上是由于我们最开始的时候对物理对象的不明了所导致的一 种误判:事实上就是对粒子场的量子化就能得到量子场论, "一次"与"二次"是人为强行 区分开的. 当然,这里依然是有很大的不明了内涵蕴藏其中的.尤其是,粒子为何能与场联系在一 起而被量子化,这点尚不明朗. 在路径积分的视角中, 这点事实上牵扯到这么一个问题: 为什么粒子是沿着所有可能路 径演化,而不是如经典物理一样沿着某确定路线演化呢? 这个问题有待进一步的理解与研究,现在尚无定论. 下面来看几个量子化的例子. 一,点粒子系统 1,二维空间中点粒子系统的拉氏量为 L 1 m x 2 y 2 V x, y ,自由系统就是 2 1 L m x2 y 2 . 2 2,系统广义坐标取为 x, y ,广义速度取为 x, y . 3,由拉氏量与广义速度可得广义动量: px 4,Poisson 括号可以写为: f , g L mx, p y my . x f g f g f g f g ,哈密 x p y p p x p y x y x y 顿量为: H xpx yp y L ,由于 px mx, p y my ,所以有: H py px 1 px py px2 py2 21 px2 py2 m m 2m m 同样的,可以构造出其它的动力学量,如: J m r r xp y ypx 5,进行算符化,引入位置与动量算符: x, y, px , p y ,并且他们满足如下对易关系: i x, px 1, i y, p y 1, x, p y y, px 0 , x 如果取 x, y 的本征态, 则有:i x, px i xpx px x ipx x , 所以 px i 即: x x, px i , x px px py py 方程来构造. yy p y i y 当然,这只是一种算符化的方法,我们也可以在动量本征态中进行算符化操作: xi y i px p y 6,构造态空间.方法有很多,可以用上面的坐标表象,也可以用别的,或者利用运动 对于点粒子系统,自由场拉氏量可得运动方程: L 1 m x2 y 2 2 L d 0 mx 0 dt x 0 x L d y0 0 my 0 dt y L d x dt L d L 0 qa dt qa L d y dt 可见,这里运动方程给出的就是动量为常数值的态构成的态空间,也就是动量表象. 当然,我们也可以选择 Fock 态,这是非常自由的. 7,在上述态空间(动量表象,以及动量本征态构成的态空间)中,广义动量算符就是 px px , p y p y ,而广义坐标算符就是 x i ,y i . px p y 8,将各力学量用广义坐标算符与广义动量算符来表示,也即写成算符形式,比如哈密 顿量算符现在为(在坐标表象中) : 1 px2 p y2 2m 2 2 2 H 2 2m x 2 y H 或者在动量表象中为 H 1 px2 py2 . 2m 同样的,角动量算符为(坐标表象) : J xp y ypx J i x y x y 或者在动量表象中为: J i p y px . px p y 这样,就完成了点粒子物理系统的量子化,从经典点粒子物理转化为了量子力学. 二,上面的过程我们也可以换一组广义坐标与广义速度来完成: 1,拉氏量依然 L 1 m x2 y 2 . 2 y x 2 y 2 , arctan , 广 义 速 度 取 为 x 2 , 系 统 广 义 坐 标 取 为 r r xx yy xy yx 1 2 2 2 , .从而拉氏量可以改写为: L m r r ,现在运动方程 2 r r 2 为 r 2 r 0;2r r 0 . r 3, 由拉氏量与广义速度可得广义动量:pr mr , p mr 2 , 从而: 4,Poisson 括号可以写为: f , g p pr , 2 . m mr f g f g f g f g ,哈密 r pr p pr r p 1 2 p2 顿量为: H pr 2 ,角动量为: 2m r J m r r m r cos r sin r cos r sin r cos r sin 2 mr p 5,进行算符化,引入位置与动量算符: r , pr , p ,并且他们满足如下对易关系: i r, pr 1, i , p 1, r , p , pr 0 取 r , 的本征态: r r , , pr i r 6,略 p i 7,略 8,将各力学量用广义坐标算符与广义动量算符来表示,也即写成算符形式,比如哈密 顿量算符现在为(在坐标表象中) : H 2 2 1 2 p2 2 pr 2 H 2 2 2m r 2m r 2 r 三,标量场的量子化 1 , 实 标量 场 的拉 氏量 密 度为 L 1 1 m2 2 , 复 标 量 场的 拉 氏密 度 为 2 2 L * m2 * . 2,系统广义坐标取为场量 (复标量场的场量有两个: 与 * ) ,广义速度取为 (对 复场还有 * ) . 3,由拉氏量密度与广义速度可得广义动量: L ,对复场为: 4,实场 Poisson 括号为: L L * * * f , g 复场 Poisson 括号为: f g f g f , g 哈密顿量密度分别为: f g f g f g f g * * * * 1 1 1 2 H r L 2 m2 2 2 2 2 * * * H c L * m2 * 5,将场量算符化(仅以实标量场为例) :场算符 ,动量算符 ,对易子满足 Poisson 括号关系: , i , , , 0 满足这种关系的算符对有很多, 比如将场算符看作乘法算符, 而将动量算符看作对场算 符的泛函微分算符.或者,用平面波展开后的升降算符来构造场算符与动量算符.因而这里 存在一定的任意性. 6,构造态空间.和上一节一样,这里存在很大的任意性,只要保证与上述算符化的方 法适配即可. 在量子场论中, 我们利用经典运动方程来构造波函数解, 并且利用这些波函数来构造态 空间——关于这种做法的完备性,事实上有待数学上的证明. 比如,就现在所选的自由(实)标量场,其运动方程为 m2 0 ,从而有平 面波解: e ip x ,其中波矢 p 满足以下两个条件: p0 E p 0; p p m2 该平面波的确可以构造出完备态空间. 7,在上述态空间下,算符可以用 Fourier 展开写为: 1 ip x p ip x a p e a e 2E p p Ep ip x a eip x p i 2 a p e p 由场算符与动量算符的对易关系我们可得升降算符的对易关系: a, a 1 8,现在,哈密顿密度可以写为: 2 E 1 1 1 1 p p p H 2 m2 2 p a p a a a p E p a a p 2 2 2 2 2 p p