零散度表示流入与流出的矢量相同;当电流或者变换电场存在时，磁场的旋度不为零。然而，在自由空间，远离电流（比如闪电），磁场的旋度为

第一章 磁性物理学
（Lisa Tauxe著，刘青松译）

建议补充读物
关于基础知识，可以参考 Butler (1992)，1－4页；以及大学物理教科书中关于磁学基础的有关章节。
更多信息可参看：Jiles (1992) 和Cullity (1972) 的第一章。

本章中，我们将了解磁学的基本物理基础，我们主要使用基于“米－千克－秒”制的国际单位（SI）系统。在磁学中，还有另外一些单位系统也是很重要的，其中，最常用的基于cgs系统的电磁单位系统页也将在本章后面介绍。

1.1 什么是磁场？
和重力场一样，磁场既看不见也摸不着。对于地球重力场来说，我们可以通过引力直接感知其存在。而对于磁场，只有它作用于一些磁性物体时（例如某些被磁化的金属，天然磁石，或者通电的线圈），我们才能确定其存在。例如，如果我们把一个磁化的针头放在漂于水面的软木塞上，它会缓慢地指向其周围的磁场方向。再比如，通电的线圈会产生磁场，从而引起其附近的磁针转动。磁场的概念正是根据这些现象建立起来的。

电流能够产生磁场，因此我们可以借助于电场来定义由其产生的磁场。图1.1a展示了当导线通以电流i时，其四周铁屑分布的情形。根据右手法则，右手的大拇指指向电流方向（即正方向，与电子流动方向相反），其它成环状的四指则指示了相应的磁场方向（图1.1b）。

磁场H同时垂直于电流方向和径向单位矢量r（图1.1b），其强度与电流强度i成正比。如图1.1所示，磁场强度H可以由安培定律给出：

因此，磁场强度H的单位为Am-1。

安培定律的最普遍形式服从麦克斯韦电磁方程。在稳定电场情况下，  H = Jf, 其中Jf是电流密度。也就是说，磁场的旋度等效于电流场的密度。

1.2 磁矩
我们已知电流在其四周产生环绕的磁场。如果把通电导线圈成一个面积为πr2的圆环（图1.2a），其周围的铁屑则展示了其产生的磁场的形态。这个磁场等效于一个磁矩为m的磁铁产生的磁场（图1.2b）。由电流i产生的磁场，其强度和圆环的面积相关（圆环越大，磁矩就越大），即m = iπr2。由n个圆环产生的总磁矩是由这些单一圆环产生的磁矩的迭加，即：

因此，磁矩m的单位为Am2。
















图1.1: a) 在一个通有电流i的导线周围铁屑的分布情况。b)对于一根直导线，通过的电流与其产生的磁场的关系图 [图a 来自Jiles (1992)]












图1.2: a) 铁屑显示了由环状电流产生的磁场形态。b) 由一个电流强度为i，面积为πr2的圆环产生的磁场等效于一个磁矩为m的磁铁产生的磁场。c) 由多个圆环产生的总磁场等于所有单个圆环产生磁场的叠加。[有关铁屑分布的图件来自Jiles (1992)]


1.3 磁通量
磁场是一个矢量场，因为在任何一点它都由方向和强度共同定义。现在考虑一个由条形磁铁产生的磁场（图1.3），其方向如箭头所示，而其强度则由磁力线的密度确定。磁力线即为磁通量，其密度可用来衡量磁场的强度（即磁感应强度B）。

磁通量密度（即磁感应强度）可通过在磁场中运动的导体来量化。假设导体长度为l，相对于磁场的运动速度为v，那么在导体上产生的电势差为V = vlB（图1.3）。磁感应强度的单位为特斯拉（T）。一特斯拉的磁场可以使长度为1米，相对于磁场的运动速度为1米每秒的导体产生1伏特的电压，即1T = 1Vsm-2。

磁感应强度（B）等价于磁通量密度，也就是单位面积上的磁通量()。因此，磁通量增量d等于磁场B于面积增量dA的乘积。这里的“面积”等于导线长度l与时间dt内的位移ds的乘积，即时速率为dv = ds/dt，所以d = BdA。磁通量变化率为：



方程1.2被称为法拉第定律，其最普遍的形式是麦克斯韦方程组的第四个方程。 从这个公式可以看出磁通量的单位是韦伯（Wb）。一个通有一安培电流的单个线圈能够产生一伏特电压的磁通量定义为一韦伯。这个定义指示了一种测量磁感应强度的方法，也就是磁通门磁力仪的原理。














图1.3: 铁屑的分布展示了磁矩m产生的矢量磁场B。如果磁场的运动速度为v, 它在一个长度为l的导体中产生的电压为V。[有关铁屑的图件来自Jiles (1992)]


1.4 磁能
磁矩m具有其相应的静磁能（magnetostatic energy, Em）。这个能量可使磁矩为m的小磁针向磁场方向偏转（图1.4）。这个能量大小等于-mB，或者-mBcos，其中m和B分别是m和B的大小。磁能的单位是焦耳。












图1.4: 磁矩为m的磁针会向磁场B的方向偏转。所需要的能量叫静磁能，当m和B的夹角最大时该能量达到极大值。


1.5 磁化强度和磁化率
磁化强度（magnetization, M）是单位体积或者单位质量的磁矩，相应的单位分别为Am-1与Am2kg-1。质子和电子可以等效于小磁矩。当有外场作用时，它们会被感应磁化。感应磁化强度与外场H的关系为：



其中b是体磁化率（bulk magnetic susceptibility），它是多种参数的函数，诸如样品的定向、温度、应力状态、观测的时间尺度以及外场大小等，但是它通常作为标量使用。

某些物质即使没有外加磁场的作用也可以产生磁场（例如永久磁铁）。我们在稍后将得知，这些所谓的"自发"磁矩也可以由电子自旋产生。在某些晶体中，电子自旋按一定方式排列，因此产生一个净磁场。这种磁矩，如果通过某些机制固定下来，就能记录古磁场。这种剩余磁化强度就是古地磁场的基础，并将在下面的章节种详细讨论。

1.6 B和H的关系
综上所述，B和H密切相关。而在实际的古地磁学研究中，二着都被称作“磁场”（magnetic field）。严格地讲，H是磁场，而B是磁感应强度，但是二者之间的区别常常被忽略。B和H的确切关系为：



其中0是自由空间磁导率（the permeability of free space），0 = 4*10-7 Hm-1。

1.7 cgs系统中的磁学单位
到目前为止，我们已经得到了国际单位制（SI）的磁学单位。然而，实际上，你会发现，许多实验室以及文献中，科学家们往往使用cgs单位系统，也就是根据厘米、克、秒来定义磁学单位。这两种单位系统的转换往往造成不必要的混乱甚至错误，因此值得进一步澄清。

在cgs系统中推导磁学单位与在SI系统中完全不同。首先我们考虑一个强度为p的磁极（Cullity, 1972）。根据库仑定律，用类推的方法，可以得出两个磁极p1和p2之间的作用力。由库仑定律给出的两个电荷（q1，q2）之间的力为：



其中r为两个电荷之间的距离。在cgs单位系统中，比例常数k为1。而在SI单位系统中，其值为 ，其中 ，c是真空中的光速。因此 =8.859*10-12 AsV-1m-1。[由此可见为什么大多数学者偏爱cgs单位而不是SI单位。但是，AGU的杂志不容许使用cgs单位，即使不情愿，我们还得面对这一现实！] 。

对于磁学单位，我们考虑强度为p1, p2的磁极，其单位为静电单位（electrostatic units，esu），那么式1.5变为:

在cgs单位系统中，力的单位为达因（dyn)），所以

那么一个单位的磁极强度为 1gm1/2cm3/2s-1。实际上，自然界没有独立的单磁极子，而只能以偶极子的方式存在。但是安慰磁极强度的概念仍然是cgs磁学单位的核心。

一个磁极子或者一个独立的电荷会在其周围空间产生一个磁感应强度0H。一个单位的磁场强度定义为（1 oersted或者Oe）相当于在每单位磁极强度上施加一达因的力。因此三者之间的关系为：

所以，具有一单位磁极强度的磁极放在一Oe的磁场中会受到一达因的力。这个力也等效于在距离具有一个磁极强度的磁极1cm的地方所受到的力。因此，在距离一个单极子1cm的地方的磁场为1 Oe，并且按着1/r2的规律递减。

现在我们可以定义1 Oe是每平方cm上1 line的力。假设一个半径为r的球包围一个磁单极子，球的表面积为4r2，这个球就为单位圆球（a unit sphere）（r＝1），在球面上的磁场就为1 Oe。那么一定有4 lines的力穿过这个球。

至于磁矩，从cgs系统的观点看，我们假设一个长为l的磁铁，其两端磁极的强度为p。把这个磁铁放在0H的磁场中，那么这个磁铁所受的扭力矩为：

其中pl是磁矩m，的单位是能量（在cgs系统中，其单位是ergs），所以，磁矩的定位是 ergs/Oe。我们因此定义一电磁单位（emu）为1 erg/Oe。[有人用emu来代替体积归一化的磁化强度，但是这是不正确的]。

注意，以上推导中我们用了系数0。在使用cgs单位的Cullity（1972）以及很多书籍和文章中，这个系数并不存在。原因是，在应用cgs系统时，这个系数值为1，所以oersteds (H) 和gauss (B) 经常被互换使用。然而在SI系统中，二者并不相同，因为这个系数的值为4 x 10-7。表1.1总结了常用的SI和cgs单位之间的转换关系。

表1.1 SI和cgs单位之间的转换关系

参数 SI单位 cgs单位 转换
磁矩 (m) Am2 emu 1 Am2 = 103 emu
磁化强度 (M) Am-1 emu cm-3 1 Am-1 = 10-3 emu cm-3
磁场 (H) Am-1 Oersted (oe) 1 Am-1 = 4x10-3 oe
磁感应强度 (B) T Gauss (G) 1 T = 104 G
自由空间磁导率 (0) Hm-1 1 4 x 10-7 Hm-1= 1
磁化率 ()
总值(m/H) m3 emu oe-1
体积归一(M/H) emu cm-3 oe-1
质量归一（ ） m3kg-1 emu g-1 oe-1
1 H = kg m2 A-2s-2, 1 emu = 1 G cm3, B = (H+M), 1 T = kg A-1 s-2。

1.8 磁位场
一个孤立的电荷能够产生电场，并以电荷为中心向外发散（图1.5a）。因为电力线没有回路，在图中存在一个净通量穿过虚线代表的盒子。电场向外发散这一特征可以用 来定义，它为该净通量的定量表达。对于电荷周围的电场， 不为零。

图1.5：a) 一个电荷及其产生的向外发散的电场。图中可见由一个通向虚线代表的盒子之外的净通量，可以表示为 。其值与盒子内部的源成正比。b) 磁偶极子，没有单独的磁荷。在任意空间内(例如虚线代表的盒子)，任何磁通量流进，又流出，因此净磁通量为零，即 。


磁场与电场不同。电荷可以独立存在，但是磁极子却不能，正负磁极子总是成双存在（磁偶极子）。因此，磁力线从一个磁极出发，必然要回到与之对应的另一个磁极，这样，净磁通量为零（图1.5b）。因此，磁场不具有发散性。这一性质可以描述成 (麦克斯韦方程组之一)。

我们已经知道磁场的旋度（ ）与电流密度（并不总为零）相关。因此，磁场并不能够用一个标量场的梯度来表示。然而，在缺少电流的特殊情况下，磁场能够用一个标量场（即，磁势magnetic potential, m）的梯度来表达：

磁矩m能够产生磁场，并能被表示为标量场的梯度。同时，磁场的散度为零，因此， 。这就是拉普拉斯方程。

磁势m是半径为r的矢量及其与磁矩的夹角 共同表达的函数。给定一个偶极矩（dipole moment）m，求解拉普拉斯方程，得到它产生的磁场的m为：

在点P磁场H的径向和切向的分量（图1.6）分别为：

和














图1.6: 在点P由磁矩m产生的磁场H。Hr和H分为磁场的径向和切向分量。

1.9 地磁发电机
麦克斯韦方程告诉我们电场与变化的磁场紧密相关并相互作用。在磁场中移动一个电导体会产生电流。这就是发电机的原理。由图1.7我们看到如何把机械能转化为磁能。旋转盘由金属构成。在一个初始磁场下，转动的圆盘会产生一个新的电位(图1.7b)。用来连接的刷子使得电流从导线流向线圈，从而产生新的磁场。如果圆盘的转动方向合适，新产生的磁场会迭加在初始磁场上，从而增大了初始磁场。如果系统涉及两个相互连接的圆盘时，这两个圆盘产生的磁场会相互作用，从而会处于一种随机状态。即使圆盘转动方式保持不变，磁场也会改变极性。与地球磁场相比，虽然这只是一个简单的模型，它证实了运动的电导体能够产生磁场。对于地球，这个运动的电导体就是由熔融铁构成的外核。
















图1.7: 法拉第圆盘发电机。a) 电磁体产生一个初始磁场（细箭头）。红盘子是导电盘。b) 当导电盘旋转时，电荷垂直于磁场方向运动，这样在圆盘外围与中心的导电棒之间产生电势差。c) 当导电盘与线圈相连接时，如果电流产生与初始磁场的方向相同的磁场，那么初始磁场就被增大。（Philip Staudigel帮助绘图）



附录
本附录将介绍一些有助于理解磁学的数学基本知识。

A 矢量

A1 矢量加法

为了把矢量A和B相加（见图A1），首先把它们分解为Ax,y和Bx,y。例如， ， ，其中|A|是矢量A的长度。相加后的矢量为C：
， 。这一结果还可以转换为极坐标（包括幅值和角度）。

A2 矢量减法
与矢量加法相似，首先把矢量A和B分解，然后相减的结果为C： ， 。



图A1：矢量A和B，它们的分量Ax,y和Bx,y及其与X轴的夹角和。这两个矢量之间的夹角为 = 。在X和Y轴方向的单位矢量为 和 。


A3 矢量乘法
矢量相乘有两种形式。第一种为点乘， ，这是一个标量。如果A、B都为单位矢量，那么结果就是两个矢量之间夹角的余弦。

另外一种形式是叉乘积（见图A2）。其结果也是一个矢量，方向与矢量A和B垂直。其分量可以按下面的式子求得：


为了计算这个行列式，我们遵循如下准则：


或者
















图A2：矢量A和B（夹角为）的叉乘，从而得到正交的矢量C。


A4 坐标变换
在古地磁学中，我们不得不经常进行坐标系变换，例如从样品坐标系统到地理坐标系统，或者进行构造校正。为了讨论这一过程，我们在图A3中显示一个简单的二维情况。给定一个矢量（图A3a），它与轴X1的夹角为。为了变换到另外一个坐标系统（轴为 和 ），我们首先得定义一组系数，即方向余弦。例如，方向余弦12是轴X1和 夹角的余弦。总共我们可以定义四个方向余弦来完整地描述这两个坐标系统之间的关系：

第一个下标与第二个下标分别代表旧与新的系统。

从旧坐标系中得到新的坐标值 ：


在三维坐标中：

一个简便的表达为： 。也就是对每一个坐标轴i，把对应的所有维数的aij相加。













图A3：轴变换。a)在一个坐标系中定义x1和x2。B) 旧的X轴与新的X轴之间角度的定义。


B梯度与散度

B1 梯度，
我们经常要沿着三轴方向对一个方程进行求导。例如，我们想要了解一个滑雪场地的地形特征(见图B1)。在X和Y坐标系中，对于每一个点（即在X、Y坐标系中），我们知道它的海拔高度。这是一个标量函数。现在我们想要建造一个滑雪胜地，为此，我们需要知道最陡峭的斜坡和下降方向(图B1的红色箭头)。














图B1：一个滑雪场所涉及的矢量（每点最陡的坡度的方向和大小，用红色箭头表示）和标量（海拔）之间的关系。

要想把标量场（海拔与位置）转化为矢量场（最大坡度的方向和大小），我们需要队地形函数进行求导。假设我们有一个比较奇怪的二维地形，其符合正弦函数，即z = f(x) = sin x，其中z为高度，和x为距离一个标志的水平距离。在x方向（ ）的坡度为 。如果f(x,y,z)是一个三维地形，那么地形梯度为：


为了便捷，我们定义vector differential operator为矢量，其分量为：

在极坐标中，可表示为：


与滑雪场地的地形梯度类似，磁场也可以表达为一个标量函数的梯度。这个标量函数定义为磁位场。在第一章中我们讨论过，磁场H是标量位场 的梯度：

对于一个简单的偶极场：


那么，该磁场的径向和切向分量分别为：


和



B2 散度
一个矢量（如，H）的散度为：

这里我们把 当成一个矢量，根据矢量点乘法，在笛卡儿坐标系中，

与所有的矢量点乘一样，矢量的散度是一个标量。


















图B2：具有非零散度的矢量场。


B3 散度的几何解释
之所以选择散度来命名是因为 描述有多少矢量从源头发散出去。实际上散度是定量地衡量流入与流出一个区域的净通量。图B2描述了一个矢量函数，其幅度与离中心的距离成线性正比，即v(r)=r。这个函数的散度是

这是一个标量。没有箭头返回到虚线盒子，而仅仅有发散出去的矢量。这个非零的散度代表发散出盒子外的净通量。

现在来看图B3描述的矢量函数，它在空间中是个常量，即v(r)=k。这个函数的散度为零。

零散度表示流入与流出的矢量相同。也就是说，零净通量产生零散度。因此，磁场的散度为零暗示着没有点源（即，单极子）存在。这与电场的情形是不同的，电场具有与电子或者质子相关的散度。














图B3：散度为零的矢量场。












图B4：旋度不为零的矢量场。


B4 旋度

B的旋度定义为： 。在笛卡儿坐标系中，我们得到：



旋度用来度量矢量函数环绕着一个给定点的程度。用于描述旋涡中水的流速的方程包含旋度，而平滑水流的函数则不包含这个参数。

图B4描述的是矢量函数 。这个函数的旋度为：


或者



所以其旋度为正，方向则沿着 轴。

当电流或者变换电场存在时，磁场的旋度不为零。然而，在自由空间，远离电流（比如闪电），磁场的旋度为零。

参考文献
Butler, R. F. (1992), Paleomagnetism: Magnetic Domains to Geologic Terranes, Blackwell Scientific Publications.
Cullity, B. (1972), Introduction to Magnetic Materials, Addison-Wesley Publishing Company.
Jiles, D. C. (1992), ‘Numerical determination of hysteresis parameters for the modeling of magnetic properties using the theory of ferromagnetic hysteresis’, IEEE Transactions on Magnetics 28, 27–35.