KAM定理: 不可积的系统可以看作是由一个可积哈密顿函数H0加上一个不可积性的扰动项ξｖ迭加而成的系统

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谈谈线性关系与非线性关系的概念(2006-10-17 13:23:08)
转载 分类：文化复兴之科学观
　　线性应当是可迭加，可求和的意思。非线性应当是不可迭加，不可求和的意思。2苹果＋3苹果＝5苹果，这个等式是线性的，因为它可以求和，可以得到结果来。2苹果＋3桔子＝？，这个等式就是非线性的，因为它不可以求和，或者求和得不出结果来。2＋X＝？，这个等式也是非线性的，因为它也不可以求和，或者说求和得不出结果来。
　　物理学或系统学的研究，无非就是研究物体或系统的状态。物体或系统的状态等于其分状态的和，比如物体的能量状态＝动能状态＋势能状态，系统的量＝∑元素本身的量×元素联系系数，人的行为状态＝本能的行为状态＋自主的行为状态。
　　如果系统的某些状态是确定的状态，而另一些状态是不确定的状态，那么系统的总状态＝确定状态＋不确定状态，这个等式就如2＋X＝？一样是属于非线性的。比如，我们测人在某种信息刺激下的行为状态，我们能确定外来信息的含义与及人的本能，于是在外来信息作用下人的本能的反应状态也就是确定的；但人的自由意志显然是不确定的，外来信息与自由意志作用而导致的自主行为状态也是不确定的，于是人的总体状态是不确定的，我们不可能求出人的总体行为状态的含义。
　　基本粒子之所以没有具体的运动轨道或称没有具体的运动行为，也是因为我们无法测到它。粒子的具体的运动状态＝粒子性支配的运动状态＋波动性支配的运动状态。如果我们变成基本粒子，进到微观世界里去测粒子，那么粒子性支配的运动状态是确定的，它相当于人的本能行为状态；而粒子的波动性支配的运动状态不可测，相当于人的自由意志支配的行为状态。但如果我们在宏观世界用光子来测基本粒子，那么我们既测不到隐含在波动性里面的粒子性运动，也测不到具体的波动性运动，也就是粒子具体的运动状态是完全测不到。我们只能测到粒子各种波动性运动的整体，即粒子的本征运动状态。远离平衡态的临界系统，由于在量变时累积起过多的能量，系统本身的稳定能力已不能完全控制这些能量，正因为如此，远离平衡的临界系统是不稳定性已明显表现出来的系统。这种显示不稳定性的系统，总体上是由两部分构成，一部分是力求系统稳定存在的质量因素，另一部分是力求系统不稳定的能量因素，且这两种因素是势均力敌的。我们可以将系统的质量因素看作是系统的本能所在，而系统的能量因素看作是系统的自由性所在，于是远离平衡态的临界系统其具体的状态就象人的具体行为一样不可测量。
　　所谓的非线性微分方程就是诸如dX/dt=αx+βx^2这样的形式，其中βx^2是一个非线性项。这个非线性项就相当于上述的人的自主行为状态，是属于不确定的项。物理学上有一个KAM定理，说得是一个不可积的系统可以看作是由一个可积哈密顿函数H0加上一个不可积性的扰动项ξｖ迭加而成的系统。即H＝H0＋ξｖ。其中ｖ是一个不可积的哈密顿函数，ξ为扰动参数，只有当1）导致不可积的扰动性很小，2）函数ｖ足够光滑，3）未受扰动的哈密顿函数H0离开共振条件足够远，那么对于绝大多数初值而言，近可积系统（上式）的运动图象的定性性质与可积系统H0基本相同。（参阅柳延延：＜概率与决定论＞，上海社会科学出版社，第158页）。对人的行为状态来讲，就只有1）当人的自主意志的随机自由性ξ相当弱，2）自主意志本身受人的本能的影响很强，以致有较大的确定性，3）人的本能心理非常稳定，没受到强有力压抑，远离暴发状态。那么人的行为状态就基本上等同于他的本能状态。
　　所谓的两种或多种状态的统一，也就是发现它们的可迭加性。物体的运动动能与引力势能是可迭加的，因为动能可以转变为势能，势能也可以转变为动能，动能可以用势能来表示，势能也可以用动能来表示。于是动能＋势能＝势能＋势能＝动能＋动能。电场的变化状态与磁场的变化状态显然也是可以迭加的，因为电场的变化导致磁场的变化，磁场的变化导致电场的变化，电场的变化可以用磁场的变化来描述，磁场的变化也可以用电场的变化来描述。弱场与电磁场也可以迭加，这是因为电磁场与三种形式的弱场都属于SU（2）×U（1）对称所描述的弱电统一场的组成成分，也就是说它们具有共性。
　　天体的演变的整体状态是可确定的，人类社会整体发展状态也可确定，如果我们将天体演变状态与人类社会发展状态迭加起来，求其和，显然是不会有结果。这种非线性的情形就相当于2个苹果＋2个桔子。不过抽象地来看，人类社会的发展状态与天体的演变状态也可以迭加，因为它们都是属于系统的演化状态。而2个苹果加3个桔子同样是可迭加的，因为它们都是水果。2个苹果可写成2个水果，2个桔子也可写成2个水果。2个苹果＋2个桔子＝2个水果＋2个水果＝4个水果。物理学或系统学所谈的迭加或统一是属于可定量的迭加，而不是可定性的迭加。当我们将电磁场与弱场统一起来时，也就是发现其可迭加性时，我们可以得出新的定量结果，比如可以定量预言中性流。其实我们也可以用数学方程将电磁场与引力场迭加在一个表达式里，但是这个表达式如不能给出新的定量预言，那意味着这种迭加不是物理学所要求的定量统一。我们将社会发展状态与天体演变状态迭加起来时，我们得不出任何的新的定量的结果，这种不能定量预言新事实的迭加或统一，就只能算作是定性的迭加或统一。

　　我们所说的可迭加的线性关系，实际上是指能定量地加在一起的关系，而只能定性地加在一起的关系，就是非线性关系。当我们遇上非线性情况，我们将如何研究之呢？我们不能用定量的数学逻辑来研究它，而应当用定性的辩证逻辑来研究它们，对于线性现象我们主要是研究它的定量本质，也就是研究构成这个现象的各个概念的定量值。对于非线性现象我们主要是研究它的定性本质，也就是研究这种现象内在的矛盾关系。

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