哈密顿原理 系统的正确演变对于任何微扰必须是稳定的

来源: marketreflections 于 2010-03-19 11:46:06 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (2401 bytes)

哈密顿原理
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。


哈密顿原理是威廉·卢云·哈密顿于1833年建立的。哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日量的变分问题解答可以决定这物理系统的动力状态．拉格朗日量包含了这系统所有的物理资料。哈密顿原理提供了一种新的方法来表述物理系统的运动。不同于应用牛顿运动定律的微分方程方法，这方法使用积分方程来设定系统的作用量，又应用了变分法，在作用量稳定的要求下，计算整个系统的正确演变。

目录 [隐藏]
1 概念
2 定义
3 拉格朗日方程导引
4 参阅
5 参考文献


[编辑] 概念
微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变量的变化，一个物理变量如何改变。总合这些极小的改变，又加上已知这变量在某一点的数值或导数值，就能求得物理变量在任何点的数值。

哈密顿原理用积分方程来表述物理系统的运动。我们只需要设定系统在两个点的状态，叫做最初状态与最终状态。然后，经过求解系统作用量的极值，我们可以得到系统在，两个点之间，其他点的状态。不但是关于经典力学中的一个单独粒子，而且也关于经典场像电磁场与万有引力场，这表述都是正确的。更值得一提的是，现今，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来表述，求解一个物理系统作用量的极值（通常是最小值）,可以得到这系统随时间的演变（就是说，系统怎样从一个状态演变到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演变对于任何微扰必须是稳定的。这要求导致出描述正确演变的微分方程。

[编辑] 定义
哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点 、 的运动是正确运动，则作用量泛函 的一次变分 为零。

用数学方程表示，定义作用量为

。
这里， 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 是时间的函数。

如果 乃系统的正确运动，则 。

由于拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势，所以，这系统必须是单演系统。

[编辑] 拉格朗日方程导引
从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程。假设 是系统的正确运动，让 成为一个微扰 ；微扰在轨道两个端点的值是零：

。
取至 的一阶微扰，作用量泛函的一次变分为

。
这里，我们将拉格朗日量 展开至 的一阶微扰。

应用分部积分法于最右边项目

。
边界条件 使第一个项目归零：

。
作用量泛函 稳定的要求意味着，对于正确运动的任意微扰 ，一次变分 必须等于零：

。
特别注意，我们没有对广义坐标 做任何要求。在这里，我们要求所有的广义坐标都互不相依；也就是说，这系统是完整系统。这样，我们可以应用变分法基本引理而得到拉格朗日方程：

。
在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。

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