量子力学状态波函数ψ v:与经典物理在描述物理体系的方法上截然不同，其根本原因在于微观体系的运动规律具有不确定性和统计规律

关于量子力学中表象问题的讨论
冯小源
华中师范大学物理科学与技术学院2006 级基地班
摘要：表象问题是量子力学中一个重要而基本的问题，国内诸多教材对表象
问题，特别是表象变换的具体问题，或点到即止或说法不一，本文针
对表象及表象问题作了详细讨论，并对不同教材中关于表象变换表述
的分歧作了分析。
关键词 波函数 叠加原理 表象 表象变换
1、表象的引入
量子力学与经典物理在描述物理体系的方法上截然不同，其根本原因在于微
观体系的运动规律具有不确定性和统计规律。de Broglie 的波粒二象性学说引导
人们找到了描述微观体系状态的恰当方法—状态波函数ψ v
（r,t）。按照Born 的统计
诠释，波函数作为一个复函数，本身没有物理意义，它的意义在于发现粒子处于
vr
处的概率
为
2 ψ v
（r,t） dr3【1】，在此约束条件下，波函数应满足单值，连续，有限的标准条件。如果
知道了波函数，粒子处于空间某点的几率，力学量的平均值均可求得，因此说波函数完全描
述量子体系的运动状【2】态，因此波函数也称态函数。量子力学的另一基本假设为波函数满
足叠加原理：
1 1 2 2 n n ψ =cψ +cψ + ⋅⋅⋅ +cψ （1）
n ψ 是体系的可能态（本征态），
2
k c 为发现体系处于相应本征态k ψ 的概率，满足：
2
1
n
k
k
c
= Σ
=1 （2）
它的物理意义是，量子体系的一般状态是所有本征态的线性叠加。当我们对某一力学量进行
跟踪测量时，量子态将坍缩为某一本征态，因此，所测得的物理量是这个本征态对应的本政
值。
作为一组描述量子体系的本征函数系，函数之间应满足正交，归一，完备性。正是由
于本征函数系的这种性质，可以引入Hilbert 空间，将本征函数看做Hilbert 空间的基矢，即
态矢。任何非空的Hilbert 空间具有正交归一完备基的最大优势，是对于给定的矢量，通过
内积便很容易定出未知系【3】数，即叠加原理中的展开系数k c 。
某一力学量的本征函数系所构成的Hilbert 空间就构成了这一力学量的表象。换言之，
表象就是Hilbert 空间的“坐标系”，坐标系的基就是力学量的本征矢完备【2】系。在量子力
学中研究不同问题需要采用相应的表象，就如同经典物理中适当得选取坐标系研究具体问题
一样。表象变换就是Hilbert 空间中的“坐标变换”，是量子力学中的一个基本问题。
2、表象变换
在经典物理中，不同坐标系之间可以互相变换，例如，直角坐标系（x,y,z）
和球坐标系之间的变换关系：
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
θ ϕ
θ ϕ
θ
= ⎧⎪
= ⎨⎪
⎩ =
（3）
量子力学中，不同表象之间也可以进行相应变换。某一力学量（量子力学中力学
量用算符表示，在以后的讨论中不加区分，且省略算符符号“ ∧ ”）的表象可表
示为一个n 行1 列矩阵
1
2
n
ψ
ψ
ψ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
M
，而力学量在某一具体表象下对应于某个矩阵，这是一个
厄米矩阵，如某一力学量在自身表象下是由该力学量本征值所构成的对角矩【4】阵，力学量
在不同表象下的矩阵形式是不同的，下面详细讨论一下力学量在不同表象之间的变换问题。
如果已知力学量G 表象下的态矢i ， i 表示G 的本征函数系
1
2
i
ψ
ψ
ψ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
M
M
第i 行本征矢，力
学量F 和态矢a 在G 表象下的矩阵形式为, ij i F = i F j a = i a （ i a 是a 在G 表象下
的分量形式）。当然，我们想直接求出ij F ， i a 是不可能的，因为力学量F 和态矢a 对应的
矩阵是Hilbert 空间中的抽象矩阵，形式未知，假设我们知道F 和a 在已知表象Q 表象下
的表达形式, nm n F = n F m a = n a ， n 表示力学量Q 的本征函数系
1
2
n
ψ
ψ
ψ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
M
M
的第n 行态
矢，则问题转化为表象间的变换问题。
由已知条件可得如下表达式：
ia= ia （4）
ij F = i F j （5）
利用Q 的本征矢的完备性：
1
n
Σ n n = （6）
插入上两式：
1 i n
n n
a=ia=i a=Σinna=Σina （7）
, ,
1 1 ij nm
n m n m
F = iF j = i F j =Σin nFm mj =ΣinF mj （8）
令in S =in,则如果将所有元素按i 为行n 为列排列，则为一矩阵：
[ ]
11 12 1 1 1 2
in 21 22 2 1 2 2
S S i n i n
S S S S i n i n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜⎜ ⎟⎟=⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
L L
L L
M M L M M L
(9)
( l k i n 代表i=l n=k ),S 是厄米矩【4】阵，即S† =S%∗ ，利用i n n i ∗ = ，则矩阵元
( †)ni S =ni，（4）（5）式变为：
i in n
n
a= ΣSa （6）
†
,
( ) ij in nm mj
n m
F= ΣSF S （7）
进一步表示为：
a(G) =Sa(Q) （8）
F(G) =SF(Q) S† （9）
可见矩阵S 即为力学量F 和态矢a 从Q 表象到G 表象的变换矩阵。进一步讨论，力学量G
在自身表象下的本征值方程为：
i G i = g i （10）
左乘n ，插入Q 表象的单位算符1
n
= Σ n n ，得：
1
i
i
i
m
n G i g n i
n G i g n i
nG m m i g n i
=
=
Σ =
（11）
即：
1 1 2 2 1 1
2 1 2 2 2 i 2
n G m n G m m i n i
n G m n G m m i g n i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
L
L
M M L M M
（12）
简写为：
(Q) (Q) (Q)
i i i Gψ =gψ （13）
上面方程的意义是力学量G 在Q 表象下的本征值方程， (Q)
i ψ
=
1
2
n i
n i
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ M ⎠
为力学量G 在Q 表
象下的本征矢，将其转置变为( ) 1 2 i n i n L ，即G 在Q 表象下的本征矢按行排列，
即为S 矩阵的第i 行。所以，只需在Q 表象下求解G 的本征值方程，并将所得本征矢按行
排列，就得到变换矩阵。
有待商榷的是，有的量子力学教材中的力学量变换矩阵S′ ，是将G 在Q 表象下的本征
矢按列排列得到的，如文献【2】，这样得到的矩阵S′ 与本文中推导所得的矩阵S 是厄米共
轭的，即S′ =S† ，若以S′ 为变换矩阵，（8）（9）式就变为：
a(G) = S′† a(Q) （14）
F(G) = S′†F(Q)S′ （15）
这样会导致一个后果，若以S′ 为算符F 的变换矩阵，显然由态矢的变换式得变换矩阵应为
S′† ，态矢变换和力学量的变换描述不统一，而按本文中推导，就避免了这一矛盾，与文献
【4】的描述统一。
3、结束语
量子力学之所以难理解，一方面是由于它的描述方法的特殊，导致许多结论与我们的“经
验常识”严重抵触，另一方面就在于表象及表象变换的抽象，波函数的叠加原理是表象及表
象变换的基础。要正确理解表象就要求我们深入理解波函数及波函数的叠加原理。
参考文献
【1】 曾谨言著，《量子力学》卷Ⅰ（第四版），科学出版社（2007）。
【2】 汪德新著，《量子力学》（第三版），科学出版社（2008）.
【3】 何卫中，Hilbert 空间在量子力学中的应用，广西工学院学报，1999 年3 月。
【4】 刘连寿主编，《理论物理基础教程》，高等教育出版社（2003）。